Quaternion

ℍ

Die Quaternionen (Singular: die Quaternion, von lat. quaternio, -ionis f. „Vierheit“) sind ein Zahlbereich, der den Zahlbereich der reellen Zahlen erweitert – ähnlich den komplexen Zahlen und über diese hinaus. Beschrieben (und systematisch fortentwickelt) wurden sie seit 1843 von Sir William Rowan Hamilton; sie werden deshalb auch hamiltonsche Quaternionen oder Hamilton-Zahlen genannt. Olinde Rodrigues entdeckte sie bereits 1840 unabhängig von Hamilton.^[2] Trotzdem wird die Menge der Quaternionen meistens mit $\mathbb H$ bezeichnet.

Die Quaternionen bilden einen Schiefkörper (oder Divisionsring), bei dem die Multiplikation nicht kommutativ ist. Das heißt, es gibt Quaternionen und , bei denen die beiden Produkte x y und y x von der Reihenfolge der Faktoren abhängen, also

$x y \;\; \neq \;\; y x$

ist. Einige aus dem Reellen bekannte Rechenregeln gelten deshalb für Quaternionen nicht, jedoch Assoziativ- und Distributivgesetz, sowie multiplikative Invertierbarkeit, d.h. die Existenz des Inversen $x^{-1}$ zu jedem $x\neq 0$ .

Die Quaternionen waren der erste derartige Gegenstand in der Geschichte der Mathematik.

Quaternionen erlauben in vielen Fällen eine rechnerisch elegante Beschreibung des dreidimensionalen euklidischen Raumes und anderer Räume, insbesondere im Kontext von Drehungen. Daher verwendet man sie unter anderem in Berechnungs- und Darstellungsalgorithmen für Simulationen, sowie zur Auswertung kristallographischer Texturen. Sie sind aber auch als eigenständiges mathematisches Objekt von Interesse und dienen so zum Beispiel im Beweis des Vier-Quadrate-Satzes.

Inhaltsverzeichnis

2 Schreibweise
3 Grundrechenarten
4 Grundlegende Begriffe
5 Polardarstellung
6 Funktionentheorie
7 Beschreibung anderer Konstrukte mit Hilfe von Quaternionen
8 Die endlichen Untergruppen
9 Automorphismen
10 Andere Konstruktionen
- 10.1 Matrixdarstellungen
  - 10.1.1 Komplexe Matrizen
  - 10.1.2 Reelle Matrizen
- 10.2 Quotientenalgebra
11 Die Quaternionen als Algebra
12 Andere Grundkörper
- 12.1 Quaternionen über den rationalen Zahlen
- 12.2 Weitere Grundkörper
13 Anwendungen
14 Geschichte
15 Verwandte Themen
16 Siehe auch
17 Literatur
18 Quellen
20 Anmerkungen

Konstruktion

Die Quaternionen entstehen aus den reellen Zahlen durch Hinzufügen (Adjunktion) dreier neuer Zahlen, denen in Anlehnung an die komplex-imaginäre Einheit die Namen $\mathrm {i}$ , $\mathrm {j}$ und $\mathrm k$ gegeben werden. So ergibt sich ein vierdimensionales Zahlensystem (mathematisch: ein Vektorraum) mit einem Realteil, der aus einer reellen Komponente besteht, und einem Imaginärteil aus drei Komponenten, der auch Vektorteil genannt wird.

Jede Quaternion lässt sich eindeutig in der Form

$x_{0}+x_{1}\mathrm {i} +x_{2}\mathrm {j} +x_{3}\mathrm {k}$

mit reellen Zahlen $x_{0}$ , $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ schreiben. Damit sind die Elemente $1,\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k$ eine Basis, die Standardbasis der Quaternionen über $\mathbb {R}$ . Die Addition ist komponentenweise und wird vom Vektorraum geerbt. Multiplikativ werden die neuen Zahlen $\mathrm {i}$ , $\mathrm {j}$ , $\mathrm k$ gemäß den Hamilton-Regeln

$\mathrm i^2=\mathrm j^2=\mathrm k^2=\mathrm{i}\mathrm{j}\mathrm{k}=-1$

verknüpft. Die Skalarmultiplikation $\R \times \mathbb H \to \mathbb H \,$ , die ebenfalls vom Vektorraum geerbt wird^[2] und bei der die Skalare als mit jedem Element vertauschbar angesehen werden, zusammen mit der Addition, dem Rechtsdistributivgesetz und den Hamilton-Regeln erlauben es, die Multiplikation von der Basis auf alle Quaternionen zu erweitern. Da so auch jeder Skalar $\lambda \in \mathbb {R}$ als $\lambda+0\mathrm i+0\mathrm j+0\mathrm k$ in $\mathbb H$ eingebettet wird, kann $\mathbb {R}$ als Unterring von $\mathbb H$ aufgefasst werden.

Die so definierte Multiplikation ist assoziativ, erfüllt die beiden Distributivgesetze ^[3] und macht so die Quaternionen zu einem Ring. Sie ist allerdings nicht kommutativ, d.h. für zwei Quaternionen und sind die beiden Produkte x y und y x im Allgemeinen verschieden (s.u.). Das Zentrum von ${\mathbb H}^{\times }$ , also die Menge derjenigen Elemente der multiplikativen Gruppe von $\mathbb H$ , die mit allen Elementen kommutieren, ist $\mathbb{R} ^{\times }$ .

Die Quaternionen bilden einen Schiefkörper (Divisionsring), da es zu jeder Quaternion $x\ne0$ eine inverse Quaternion $x^{-1}$ gibt mit

$x x^{-1}=x^{-1} x=1$ .

Wegen der fehlenden Kommutativität werden Notationen mit Bruchstrich, wie z.B. $\tfrac{y}x$ , vermieden.

Des Weiteren sind die Quaternionen eine vierdimensionale Divisionsalgebra über $\mathbb {R}$ – und bis auf Isomorphie die einzige.

Schreibweise

Im weiteren Text werden folgende Schreibweisen benutzt:

Ist eine Quaternion, dann werden ihre (reellen) Komponenten mit x_0, x_1, x_2, x_3 bezeichnet, und diese sind folgendermaßen zugeordnet

$x = x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k$ .

Gelegentlich wird eine vektorielle Schreibweise benötigt. Dabei werden bspw. die Komponenten (x_1,x_2,x_3) zu einem 3-dimensionalen Vektor ${\vec {x}}$ zusammengefasst, so dass man mit dem 4-dimensionalen Vektor $(x_0, \vec x) = (x_0, x_1, x_2, x_3)$ identifizieren kann. ^[4]

Analoge Abmachungen sollen für andere Buchstaben wie etc. gelten.

In mancher älteren Literatur wurden Quaternionen mit großen Frakturbuchstaben und die imaginären Einheiten als Einheitsvektoren mit kleinen $\mathfrak{e}_n$ in Fraktur bezeichnet, z.B. so:

$\mathfrak{X} = x_0 + \mathfrak{e}_1 x_1 + \mathfrak{e}_2 x_2 + \mathfrak{e}_3 x_3 = \scriptstyle \, \sum_{j=0}^3 \displaystyle \mathfrak{e}_j x_j$

mit $\mathfrak{e}_0 = 1$ .

Grundrechenarten

Die Konstruktion der Quaternionen ist der der komplexen Zahlen analog, allerdings wird nicht nur eine neue Zahl hinzugefügt, sondern deren drei, die mit $\mathrm {i}$ , $\mathrm {j}$ und $\mathrm k$ bezeichnet werden.

Die Linearkombinationen

$x_0\mathrm 1+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k$

über der Basis $\{\mathrm 1,\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k\}$ spannen mit reellen Komponenten $x_{i}$ den 4-dimensionalen Vektorraum der Quaternionen $\mathbb H$ auf. (Das Basiselement $\mathrm 1$ , das zugleich das neutrale Element der Multiplikation darstellt und welches die reellen Zahlen injektiv einbettet, wird in der Linearkombination meist weggelassen.) Die Addition und Subtraktion geschieht komponentenweise wie in jedem Vektorraum. Vom Vektorraum wird auch die Skalarmultiplikation übernommen, also die linke und rechte Multiplikation mit einer reellen Zahl, die distributiv zu jeder Komponente multipliziert wird.

Diese Skalarmultiplikation ist eine Einschränkung der Hamilton-Multiplikation, die auf ganz $\mathbb H$ definiert ist. Die Hamilton-Multiplikation der Basiselemente untereinander oder etwas umfassender innerhalb der Menge

$\mathrm{Q}_8 := \{\pm1,\pm\mathrm i,\pm\mathrm j,\pm\mathrm k\}$

geschieht nach den Hamilton-Regeln

$\mathrm i^2=\mathrm j^2=\mathrm k^2=-1$	$\scriptstyle (1)$
$\mathrm i\mathrm j=+\mathrm k,\quad \mathrm j\mathrm k=+\mathrm i,\quad \mathrm k\mathrm i=+\mathrm j$	$\scriptstyle (2)$
$\mathrm j\mathrm i=-\mathrm k,\quad \mathrm k\mathrm j=-\mathrm i,\quad \mathrm i\mathrm k=-\mathrm j$	$\scriptstyle (\bar 2)$

die zusammen mit der Vertauschbarkeit von $\pm1$ mit jedem anderen Element eine vollständige Tafel für eine Verknüpfung ausmachen, die sich als assoziativ erweist und $\mathrm{Q}_8$ zu einer Gruppe macht – der Quaternionengruppe.

Unter Voraussetzung der Regel $\scriptstyle (1)$ (und der Gruppenaxiome) sind die anderen beiden $\scriptstyle (2)$ und $\scriptstyle (\bar 2)$ , in denen sich u.a. das zyklische bzw. anti-zyklische Verhalten der drei nicht-reellen Quaternionen-Einheiten ausdrückt, äquivalent zu der Kurzform

$\mathrm i\mathrm j\mathrm k=-1$

$\scriptstyle (3)$ ^[5]

Mithilfe dieser Ersetzungsregeln, dem Assoziativgesetz und (linkem wie rechtem) Distributivgesetz lässt sich die Multiplikation auf ganz $\mathbb H$ fortsetzen. Die $\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k$ kann man wie anti-kommutierende Variablen behandeln. Treten Produkte von zweien von ihnen auf, so darf man sie nach den Hamilton-Regeln ersetzen.

Die ausgearbeiteten Formeln für die 2 Verknüpfungen von zwei Quaternionen

$x=x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k$ und $y=y_0+y_1\mathrm i+y_2 \mathrm j+y_3\mathrm k$

lauten

	$=(x_0+y_0)+(x_1+y_1)\mathrm i+(x_2+y_2)\mathrm j+(x_3+y_3)\mathrm k$	(Addition)
$x \; y$
	${} +( x_0 y_1 + x_1 y_0 {\color{OliveGreen} \; + \; x_2 y_3} {\color{red} \; - \; x_3 y_2}) \mathrm i$
	${} +( x_0 y_2 {\color{red} \; - \; x_1 y_3} + x_2 y_0 {\color{OliveGreen} \; + \; x_3 y_1}) \mathrm j$
	${} +( x_0 y_3 {\color{OliveGreen} \; + \; x_1 y_2} {\color{red} \; - \; x_2 y_1} + x_3 y_0) \mathrm k$	(Multiplikation)^[6]

Hiermit sind die für einen Ring erforderlichen 2 Verknüpfungen definiert. Es ist leicht nachgerechnet, dass alle Ring-Axiome erfüllt sind.

Das additive Inverse ist (wie in jedem Vektorraum) das Produkt mit dem Skalar –1. Die Subtraktion ist die Addition dieses Inversen.

Die für einen Schiefkörper erforderliche Division muss wegen der fehlenden Kommutativität durch eine Multiplikation mit dem (multiplikativen) Inversen ersetzt werden (siehe Inverses und Division).^[7]

Grundlegende Begriffe

Skalarteil und Vektorteil

Aufgrund der besonderen Stellung der Komponente $x_{0}$ einer Quaternion

$x=x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k$

bezeichnet man sie – wie bei den komplexen Zahlen – als Realteil oder Skalarteil

$\operatorname{Re}\,x := x_0$ ,

während die Komponenten x_1,x_2,x_3 zusammen den Imaginärteil oder Vektorteil

$\operatorname{Im}\,x := x_1\mathrm i + x_2\mathrm j + x_3\mathrm k$

bilden. Häufig identifiziert man den Vektorteil auch mit dem Vektor $\vec x:=(x_1,x_2,x_3) \in \R^3$ .

Konjugation

Zu jeder Quaternion

$x=x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k$

ist die konjugierte Quaternion definiert als

$\bar x := x_0-x_1\mathrm i-x_2\mathrm j-x_3\mathrm k$ .

Da hier der Imaginärteil mit seinen Einheitsvektoren verknüpft bleibt und der Realteil als reelle Zahl eindeutig in die Quaternionen einzubetten ist, ergeben sich die einfachen Beziehungen

$x = \operatorname{Re}\,x + \operatorname{Im}\,x$

und

$\bar{x} = \operatorname{Re}\,x - \operatorname{Im}\,x$ ,

aus denen sich unmittelbar

$\operatorname{Re}\,x = \frac12(x+\bar{x})$

und

$\operatorname{Im}\,x = \frac12(x-\bar{x})$

ausrechnet.^[8]

Ist eine Quaternion gleich ihrer Konjugierten, so ist sie reell, d.h. der Vektorteil ist null. Ist eine Quaternion gleich dem Negativen ihrer Konjugierten, so ist sie eine reine Quaternion, d.h. der Skalarteil ist null.

Weitere wichtige Eigenschaften der Konjugation sind:

$\overline{(\bar x)}=x$	Die Konjugation ist eine Involution.
$\overline{x+y}=\bar x+\bar y$ und $\overline{\lambda x}=\lambda\bar x$ für reelle Zahlen $\lambda$	Die Konjugation ist $\mathbb {R}$ -linear.
$\overline{x y}=\bar y\bar x$	Die Konjugation ist ein involutiver Antiautomorphismus.
$\overline x = -\tfrac12(x + \mathrm i\,x\,\mathrm i + \mathrm j\,x\,\mathrm j + \mathrm k x \mathrm k)$	Die Konjugation lässt sich „mit arithmetischen Mitteln“ darstellen.^[9]

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt $\langle{\cdot},{\cdot}\rangle\colon \mathbb H \times \mathbb H \to\R$ zweier Quaternionen, aufgefasst als Vektoren im $\mathbb {R} ^{4}$ , ist definiert durch:

$\langle x,y \rangle:=x \cdot y:= x_0y_0+x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3=\operatorname{Re}(\bar xy)=\operatorname{Re}(x\bar y) = \frac{1}{2} (x\bar y + y\bar x)$ .

Es ist eine positiv definite symmetrische Bilinearform, über die sich Norm und Betrag definieren lassen und mit der Winkel und Orthogonalität bestimmt werden können.

Ferner kann man damit die einzelnen Komponenten einer Quaternion isolieren:

$x_0 = \mathrm 1 \cdot x,\quad x_1 = \mathrm i \cdot x,\quad x_2 = \mathrm j \cdot x,\quad x_3 = \mathrm k \cdot x$ .

Im Folgenden sei das Skalarprodukt, und zwar sowohl das 4- wie das 3-dimensionale – wie in der Physik üblich – mit dem Mittepunkt $\cdot$ notiert.

Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt zweier Quaternionen x,y ist das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) ihrer Vektorteile und bis auf den Faktor 2 ihr Kommutator. Ist $x=:(x_0,\vec x)$ und $y =: (y_0,\vec y)$ , so ist

${\begin{aligned}x\times y&:={\vec x}\times {\vec y}\\&\;={\tfrac 12}(xy-yx)\\&\;=(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}){\mathrm i}+(x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}){\mathrm j}+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}){\mathrm k}\;.\end{aligned}}$

Quaternionenmultiplikation als Skalar- und Kreuzprodukt

Identifiziert man Quaternionen

$x = x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k$

und

$y = y_0+y_1\mathrm i+y_2\mathrm j+y_3\mathrm k$

mit Paaren aus einem Skalar $\in \R$ und einem Vektor $\in \R^3$

$x=(x_0,\vec x)$ mit $\vec x :=(x_1,x_2,x_3)$

bzw.

$y=(y_0,\vec y)$ mit $\vec y :=(y_1,y_2,y_3)$ ,

so lässt sich die Multiplikation mithilfe des (dreidimensionalen) Skalarprodukts und Kreuzprodukts beschreiben:

$xy = (x_0,\vec x) (y_0,\vec y)=\Big(x_0 y_0 -\vec x \cdot\vec y,\quad x_0 \vec y+\vec x y_0+\vec x\times\vec y\Big)$ .

Zwei Quaternionen sind demnach genau dann miteinander vertauschbar, wenn ihr Kreuzprodukt 0 ist, wenn also ihre Vektorteile als reelle Vektoren linear abhängig sind (s.a. Einbettung der komplexen Zahlen).

Norm und Betrag

Das Skalarprodukt einer Quaternion mit sich selbst, welches gleich dem Quaternionenprodukt mit der Konjugierten ist, wird Norm genannt:

$\mathrm{Norm}(x) := x \cdot x = x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2 = x\bar x = \bar x x$ .^[10]

Insbesondere ist dieser Wert reell und nichtnegativ.

Die Quadratwurzel hieraus

${\sqrt {{x_{0}}^{2}+{x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+{x_{3}}^{2}}}=:|x|$

wird Betrag oder Länge der Quaternion genannt und stimmt überein mit Betrag oder euklidischer Länge des Vektors (x_0,x_1,x_2,x_3) . Er erfüllt die wichtige Eigenschaft

$|x y|=|x|\;|y|$ ,

die Multiplikativität des Betrags. Mit dem Betrag werden die Quaternionen zu einer reellen Banachalgebra.

Inverses und Division

Bei einer nicht-kommutativen Multiplikation muss man die Gleichungen

und

b x=a

unterscheiden. Wenn das Inverse $b^{-1}$ existiert, dann sind

$x=a b^{-1}$

bzw.

$x=b^{-1} a$

respektive Lösungen, die nur dann übereinstimmen, wenn und kommutieren, insbesondere wenn der Divisor reell ist. In solch einem Fall kann die Schreibweise ${\tfrac {a}{b}}$ verwendet werden – bei allgemeinen Divisionen wäre sie nicht eindeutig.

Wenn zusätzlich $c^{-1}$ existiert, gilt die Formel

$b^{-1} c^{-1}=(c b)^{-1}$ ,

denn

$b^{-1} c^{-1} c b=1$ und $(c b)^{-1} c b=1$ .

Für

$x=x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k\ne0$

ist die Norm

$\mathrm{Norm}(x) = x \bar x = \bar x x = x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2>0$

reell und positiv. Die Quaternion

$x^{-1} := \frac{\bar x}{x \bar x}$

erfüllt dann die Bedingungen des Rechts-

$x x^{-1} = x \frac{\bar x}{x \bar x} = 1$

und des Links-Inversen

$x^{-1} x = \frac{\bar x}{\bar x x} x = 1$

und kann deshalb als das Inverse schlechthin von bezeichnet werden.

Reine Quaternion

Eine Quaternion, deren Vektorteil 0 ist, wird mit der ihrem Skalarteil entsprechenden reellen Zahl identifiziert.

Eine Quaternion, deren Realteil 0 ist, nennt man reine Quaternion (auch: rein imaginär oder vektoriell). Reine Quaternionen lassen sich auch als diejenigen Quaternionen charakterisieren, deren Quadrat reell und nichtpositiv ist. Für die Menge der reinen Quaternionen schreibt man

$\mathbb H _{\text{pure}} \; := \; \operatorname{Im}\,\mathbb H \; := \; \{x\in\mathbb H\mid\operatorname{Re}\,x=0\} \; = \; \{x\in\mathbb H\mid x^2\in\R,\ x^2\leq0\}$ .

Sie ist ein dreidimensionaler reeller Vektorraum mit Basis $\{\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k\}$ .

Für reine Quaternionen nimmt die Multiplikation eine besonders einfache Form an:

$(0,\vec x)(0,\vec y) \; = \; \Big({-\vec x \cdot \vec y}, \, \vec x\times\vec y\Big)$ .

Einheitsquaternion

Eine Einheitsquaternion (auch: normierte Quaternion, Quaternion der Länge 1) ist eine Quaternion, deren Betrag gleich 1 ist. Für sie gilt (analog zu den komplexen Zahlen)

$|x|=1\iff x\bar x=1\iff \bar x=x^{-1}$ .

Für eine beliebige Quaternion $x\ne0$ ist

$\frac x{|x|}=\frac{x_0}{|x|}+\frac{x_1}{|x|}\mathrm i+\frac{x_2}{|x|}\mathrm j+\frac{x_3}{|x|}\mathrm k$

eine Einheitsquaternion, die man manchmal auch als das Signum von bezeichnet.

Das Produkt zweier Einheitsquaternionen und die Inverse einer Einheitsquaternion sind wieder Einheitsquaternionen. Die Einheitsquaternionen bilden also eine Gruppe.

Geometrisch kann man die Menge der Einheitsquaternionen als die Einheits-3-Sphäre $\mathbb{S}^3$ im vierdimensionalen euklidischen Raum und damit als Lie-Gruppe interpretieren, mit dem Raum der reinen Quaternionen als zugehöriger Lie-Algebra. Die Darstellung als komplexe Matrizen verdeutlicht die umkehrbar eindeutige Entsprechung der Einheitsquaternionen mit der speziellen unitären Gruppe $\mathrm{SU}(2)$ .

Die einzigen reellen Einheitsquaternionen sind $\pm 1$ . Sie machen auch das Zentrum von $\mathbb{S}^3$ aus.

Reine Einheitsquaternion

Einheitsquaternionen, die auch reine Quaternionen sind, lassen sich als diejenigen Quaternionen charakterisieren, deren Quadrate ergeben:

$\epsilon _{0}=0\;\land \;{\epsilon _{1}}^{2}+{\epsilon _{2}}^{2}+{\epsilon _{3}}^{2}=1\qquad \iff \qquad \epsilon ^{2}=-1$ .^[11]

Sie liegen auf dem Rand und in der Äquatorhyperebene der 3-Sphäre $\mathbb{S}^3$ und machen die Einheits-2-Sphäre $\mathbb{S}^2$ des dreidimensionalen Raums $\operatorname{Im}\,\mathbb H$ aus.

Einbettung der komplexen Zahlen

Jede Quaternion $\epsilon$ mit Quadrat definiert einen Einbettungsisomorphismus $\iota_{\epsilon}$ der komplexen Zahlen in die Quaternionen

$\begin{array}{rccc} \iota_{\epsilon} \colon & \C & \to & \mathbb H \\ & u+v\mathrm i_\C & \mapsto & u+v \epsilon \end{array}$

mit $u,v\in\R$ und $\mathrm i_\C$ als imaginärer Einheit der komplexen Zahlen. Dabei sind die Bildmengen der $\epsilon$ und $\bar \epsilon$ entsprechenden Einbettungen identisch: $\iota_{\epsilon}(\C) = \iota_{\bar \epsilon}(\C)$ .

Eine jede solche Quaternion darf $\mathrm {i}$ genannt werden, eine senkrechte dazu $\mathrm {j}$ und ihr Produkt $\mathrm k$ .^[12] Jede nicht-reelle Quaternion liegt in genau einer solchen Einbettung von $\mathbb {C}$ . Zwei Quaternionen sind genau dann vertauschbar, wenn es eine gemeinsame Einbettung gibt.

Zwei verschiedene Bilder haben die reelle Achse zum Durchschnitt.

So betrachtet, sind die Quaternionen eine Vereinigung komplexer Ebenen.

Polardarstellung

Jede Einheitsquaternion $q\ne\pm 1$ kann auf eindeutige Weise in der Form

$q=\cos\phi+\epsilon\,\sin\phi$

mit dem Polarwinkel^[13] von

$\phi := \arccos(q_0) = \arccos(\operatorname{Re} q) \in{]0,\pi[}$

und der reinen Einheitsquaternion

$\epsilon := \frac{q_1 \mathrm i + q_2 \mathrm j + q_3 \mathrm k}{\sin \phi} = \frac{\operatorname{Im} q}{|\operatorname{Im} q|} = \frac{\vec q}{|\vec q|}$

dargestellt werden.

Mit der verallgemeinerten Exponentialfunktion lässt sich dies wegen $\epsilon^2=-1\$ auch schreiben als

$q=\exp(\epsilon\phi)$

mit der reinen Quaternion $\epsilon\phi$ . Will man also eine reine Quaternion $\xi\ne 0$ exponentiieren, so ist $\phi=|\xi|$ und die reine Einheitsquaternion $\epsilon=\xi/\phi$ zu bilden, und es ergibt sich die Einheitsquaternion

$\exp \xi = \cos\phi+\epsilon\,\sin\phi$ .

Der Fall $\exp 0 = 1$ lässt sich stetig ergänzen. Damit ist die Exponentialabbildung $\exp\colon \operatorname{Im}\,\mathbb H \to \mathbb{S}^3$ surjektiv – und bijektiv $\to \mathbb{S}^3\setminus \{-1\}$ bei Einschränkung auf $|\xi| < \pi$ , denn es ist $\exp \xi = -1$ für unendlich viele $\xi$ mit $|\xi| = \pi$ . Sie ist stetig, wegen der Nicht-Kommutativität der Multiplikation aber kein Homomorphismus^[14].

Allgemein lässt sich jede nicht-reelle Quaternion eindeutig in der Form

$x=|x| \; (\cos\phi+\epsilon\,\sin\phi)$

mit dem Polarwinkel von

$\phi = \arccos \left(\frac{\operatorname{Re} x}{|x|}\right) \in{]0,\pi[}$

und der reinen Einheitsquaternion (der reinen und normierten Quaternion von )

$\epsilon = \frac{\operatorname{Im} x}{|x| \, \sin \phi} = \frac{\vec x}{|\vec x|}$

schreiben. Durch die Festlegung $\phi \in{]0,\pi[}$ ist $\sin \phi > 0$ , so dass $\epsilon$ in dieselbe Richtung wie der Vektorteil $\operatorname{Im} x$ zeigt.

Jede nicht reell-negative Quaternion schreibt sich eindeutig als

$x=|x|\exp \xi$

mit einer reinen Quaternion $\xi$ mit $|\xi|<\pi$ .

Diese Darstellungen sind der Polarform komplexer Zahlen

$z=|z|(\cos\phi+\mathrm i_\C\sin\phi)=|z| \exp(\mathrm i_\C\phi)$

(mit $\mathrm i_\C$ als imaginärer Einheit) analog. Für die Funktionalgleichung

$x y = |x| \; |y| \; \exp (\xi+\eta)$

müssen x,y allerdings kommutieren ^[14]. ^[15]

Funktionentheorie

Exponentialfunktion, Logarithmus

Das Exponential einer nicht-reellen Quaternion ist:

$\exp (x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = \exp (\operatorname{Re} x) \left(\cos |\vec x|+\frac{\vec x}{|\vec x|} \sin |\vec x| \right)$

mit $\vec x:=\operatorname{Im} x$ .

Der (natürliche) Logarithmus einer nicht-reellen Quaternion ist:

$\ln(x) = \ln |x| + \frac{\vec x}{|\vec x|} \arccos \left(\frac{\operatorname{Re} x}{|x|}\right)$ .

Für nicht-reelles sind sie Umkehrfunktionen voneinander

$\exp (\ln(x)) = x$

und, falls $|\vec x| < \pi$ ,

$\ln(\exp (x)) = x$ .

Für nicht-reelles, mit kommutierendes gelten die Funktionalgleichungen

$\exp (x+y) = \exp (x) \exp (y)$

und

$\ln (x) + \ln (y) = \ln (x y)$ ,

letzteres für x,y mit hinreichend kleinem Imaginärteil.

Fortsetzungen komplexer Funktionen

Im kommutativen Diagramm müssen sich $\scriptstyle g_{\epsilon}$ und $\scriptstyle g_{\zeta}$ auf $\scriptstyle \iota_{\epsilon}\C \; \cap \; \iota_{\zeta}\C \; \subset \; \mathbb H$ vertragen.

Da $\mathbb H$ als eine Vereinigung von Einbettungen komplexer Ebenen aufgefasst werden kann (s. Abschnitt #Einbettung der komplexen Zahlen), kann man versuchen, Funktionen $g \colon \C \to \C$ ^[16] mithilfe der genannten Einbettungsisomorphismen $\iota_{\epsilon}$ vom Komplexen ins Quaternionische zu liften. Dabei ist zu fordern, dass die so gewonnenen Funktionen $g_{\epsilon} \colon \iota_{\epsilon} (\C) \to \iota_{\epsilon} (\C) \subset \mathbb H$ mit $g_{\epsilon}(x) := \iota_{\epsilon} \circ g \circ {\iota_{\epsilon}}^{-1}(x)$ bei Überschneidungen der Definitionsbereiche dasselbe Ergebnis liefern, so dass die vereinigte Funktion $\tilde g$ auf der Vereinigungsmenge $\cup_{\epsilon} ( \iota_{\epsilon} (\C) ) = \mathbb H$ vermöge $\forall x \in \mathbb H \; \exists \epsilon : x \in \iota_{\epsilon} (\C)$ als $\tilde g(x) := g_{\epsilon} (x)$ in wohldefinierter Weise gebildet werden kann.

Sei $g(z) = u(\xi,\eta) + v(\xi,\eta) \mathrm i_\C$ eine komplexwertige Funktion $\C \to \C$ einer komplexen Variablen $z = \xi + \eta \mathrm i_\C$ mit reellen $\xi,\eta$ und reellen $u(\xi,\eta),v(\xi,\eta)$ .
Einbettbarkeit: ist genau dann einbettbar in die Quaternionen, wenn eine gerade und eine ungerade Funktion von $\eta$ ist.>

Beweis: Ist eine beliebige nicht-reelle Quaternion, dann ist $\epsilon := \operatorname{Im} x / |\operatorname{Im} x|$ eine reine und normierte Quaternion mit $\epsilon^2 = -1$ . Seien ferner $\xi := \operatorname{Re} x$ und $\eta := |\operatorname{Im} x|$ , die beide reell sind. Sowohl $\iota_{\epsilon}$ wie $\iota_{\bar\epsilon}$ ist ein Einbettungsisomorphismus für das Bild . Im ersteren Fall ist $z_{\epsilon} := \xi+\eta\mathrm i_\C \in \C$ das Urbild von $x = \xi+\eta\epsilon$ , im zweiten Fall haben wir wegen $x = \xi-\eta\bar\epsilon$ das Urbild $z_{\bar\epsilon} := \iota_{\bar\epsilon}^{-1} (\xi-\eta\bar\epsilon) = \xi-\eta\mathrm i_\C$ ; jeweils mit $\mathrm i_\C$ als der imaginären Einheit von $\mathbb {C}$ . Die Urbilder sind verschieden, das Bild, das bei der zu bildenden Funktion $\tilde g$ als Argument fungieren soll, ist aber beidesmal .
Das „Liften“ wird durch die Einbettung der Funktionswerte als

$g_{\epsilon}(x) := \iota_{\epsilon}(g(z_{\epsilon})) = \iota_{\epsilon}(u(\xi,+\eta) + v(\xi,+\eta) \mathrm i_\C ) = u(\xi,+\eta) + v(\xi,+\eta) \epsilon$

und

$g_{\bar\epsilon}(x) := \iota_{\bar\epsilon}(g(z_{\bar\epsilon})) = \iota_{\bar\epsilon}(u(\xi,-\eta) + v(\xi,-\eta) \mathrm i_\C ) = u(\xi,-\eta) + v(\xi,-\eta) \bar\epsilon$

vervollständigt (s. Diagramm). Nun ist nach Voraussetzung

$u(\xi,+\eta)=u(\xi,-\eta), \quad v(\xi,+\eta) = -v(\xi,-\eta) \quad$ ,

so dass sich

$g_{\bar\epsilon}(x) = u(\xi,-\eta) + v(\xi,-\eta) \bar \epsilon = u(\xi,-\eta) - v(\xi,-\eta) \epsilon = u(\xi,+\eta) + \ v(\xi,+\eta) \epsilon = g_{\epsilon}(x)$

ergibt und $\tilde g(x)$ nicht von der Wahl des Einbettungsisomorphismus abhängt.

Die Bedingung ist auch notwendig. Denn lässt umgekehrt die Funktion $g(z) = u(\xi,\eta) + v(\xi,\eta) \mathrm i_\C$ eine Einbettung $\tilde g(x) \colon \mathbb H \to \mathbb H$ in die Quaternionen zu, so haben wir zu jedem $x \in \mathbb H$ eine geeignete reine Einheitsquaternion $\epsilon$ mit $x = \xi\,+\,\eta \epsilon$ und

$\tilde g(x) = g_{\epsilon}(\xi\,+\,\eta \epsilon) = g_{\epsilon}(\iota_{\epsilon} (z)) := \iota_{\epsilon}(g(z)) = \iota_{\epsilon}(u(\xi,+\eta)\,+\,v(\xi,+\eta) \mathrm i_\C) = u(\xi,+\eta)\,+\,v(\xi,+\eta) \epsilon$ .

Nun hat die konjugierte Einbettung $\iota_{\bar\epsilon}$ dasselbe Bild wie $\iota_{\epsilon}$ , somit $g_{\bar\epsilon}(x)$ dieselbe Definitionsmenge wie $g_{\epsilon}(x)$ . Der Funktionswert

$\tilde g(x) = g_{\bar\epsilon}(\xi\,-\,\eta \bar\epsilon) = g_{\bar\epsilon}(\iota_{\bar\epsilon} (\bar z)) \; = \iota_{\bar\epsilon}(g(\bar z)) = \iota_{\bar\epsilon}(u(\xi,-\eta)\,+\,v(\xi,-\eta) \mathrm i_\C) = u(\xi,-\eta)\,+\,v(\xi,-\eta) \bar\epsilon$

$= u(\xi,-\eta)\,-\,v(\xi,-\eta) \epsilon$

muss also mit dem vorigen für alle $\xi,\eta \in \R$ übereinstimmen. ■

Die eingebettete Funktion $\tilde g$ stimmt auf allen Teilmengen $\iota_{\epsilon} (\C) \cong \C$ mit überein, kann also als Fortsetzung von angesehen werden und, wenn Verwechslungen nicht zu befürchten sind, wird auch der Funktionsname beibehalten.

Ist $g(z) = u(\xi,\eta) + v(\xi,\eta) \mathrm i_\C$ eine einbettbare Funktion, so ist $v(\xi,0) = -v(\xi,0)$ wegen der Ungeradheit von in der zweiten Variablen, also $v(\xi,0) = 0$ und $g(z) \in \R$ für $z\in \mathbb {R}$ . Somit folgt aus der Einbettbarkeit, dass die Einschränkung aufs Reelle reell ist.^[17] Zu dieser Klasse von komplexen Funktionen gehören Norm und Betrag, aber auch alle Laurent-Reihen $\scriptstyle \sum_{n=-\infty}^\infty a_n z^n$ mit reellen Koeffizienten $a_{n}$ , so die Exponential- und Logarithmusfunktion.

Nicht zu dieser Klasse gehört bspw. die Funktion $g(z) := \mathrm i_\C$ , bei der $v(\xi,\eta) = 1$ nicht ungerade ist in $\eta$ . Gleichwohl ist $\hat g(x) := \mathrm i$ eine wohldefinierte Funktion $\mathbb H \to \mathbb H$ und eine Fortsetzung von g(z) , denn es besteht Übereinstimmung auf der Teilmenge $\iota_{\mathrm i} (\C) \cong \C$ .

Analysis

Schwieriger ist es, eine allgemeine quaternionische Analysis mit Differential- und/oder Integralrechnung aufzustellen. Ein Problem springt unmittelbar ins Auge: der Begriff des Differenzenquotienten $\tfrac{f( x + h ) - f( x )} h$ , der in der reellen wie der komplexen Analysis so erfolgreich ist, muss wegen der Nicht-Kommutativität als linke und rechte Version definiert werden. Legt man dann genauso strenge Maßstäbe wie bei der komplexen Differenzierbarkeit an, dann stellt sich heraus, dass bestenfalls lineare Funktionen, und zwar $x \mapsto a + x b$ links und $x \mapsto a + b x$ rechts, differenzierbar sind. Immer definieren lässt sich aber eine Richtungsableitung und das Gâteaux-Differential.

Ausgehend von den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen und dem Satz von Morera wurde folgender Regularitätsbegriff gefunden: Eine quaternionische Funktion ist regulär an der Stelle , wenn ihr Integral über jeder hinreichend kleinen umschließenden Hyperfläche verschwindet.

Beschreibung anderer Konstrukte mit Hilfe von Quaternionen

Minkowski-Skalarprodukt

Das Minkowski-Skalarprodukt zweier Quaternionen, aufgefasst als Vektoren im Minkowski-Raum, ist der Skalarteil von :

$x_0y_0-x_1y_1-x_2y_2-x_3y_3=\operatorname{Re}(xy).$

Vektoranalysis

Im Folgenden werden Vektoren im dreidimensionalen Raum $\mathbb {R} ^{3}$ mit reinen Quaternionen $\in \operatorname{Im}\,\mathbb H$ , also die üblichen (x,y,z) -Koordinaten mit den (x_1,x_2,x_3) -Komponenten identifiziert. Definiert man den Nabla-Operator (wie Hamilton) als

$\vec \nabla \;=\; \mathrm i \, \frac\part{\part x}+\mathrm j \, \frac\part{\part y}+\mathrm k \, \frac\part{\part z}$

und wendet ihn auf eine skalare Funktion f(x,y,z) als (formale) Skalarmultiplikation an, erhält man den Gradienten

$\vec \nabla f \;=\; \mathrm{grad} \, f \;=\; \mathrm i \, \frac{\part f}{\part x}+\mathrm j \, \frac{\part f}{\part y}+\mathrm k \, \frac{\part f}{\part z}.$

Die Anwendung auf ein Vektorfeld

$\vec F(x,y,z) \;=\; \mathrm i \, F_1(x,y,z)+\mathrm j \, F_2(x,y,z) +\mathrm k \, F_3(x,y,z)$

als (formales) Skalarprodukt ergibt die Divergenz

$\vec \nabla \cdot \vec F \;=\; \mathrm{div} \, \vec F \;=\; \frac{\part F_1}{\part x} + \frac{\part F_2}{\part y}+ \frac{\part F_3}{\part z}$ .

Die Anwendung auf ein Vektorfeld als (formales) Kreuzprodukt ergibt die Rotation

$\vec \nabla \times \vec F \;=\; \mathrm{rot} \, \vec F \;=\; \mathrm i \left ( \frac{\part F_3}{\part y} - \frac{\part F_2}{\part z}\right ) + \mathrm j \left ( \frac{\part F_1}{\part z} - \frac{\part F_3}{\part x}\right ) + \mathrm k \left ( \frac{\part F_2}{\part x} - \frac{\part F_1}{\part y}\right )$ .

Die Anwendung auf ein Vektorfeld als (formales) Produkt zweier reiner Quaternionen ergibt

$\vec \nabla \vec F \;=\; -\mathrm{div}\,\vec F+\mathrm{rot}\,\vec F$

mit $-\mathrm{div}\,\vec F$ als Skalarteil und $\mathrm{rot} \, \vec F$ als Vektorteil der Quaternion.

Zweimalige Anwendung auf eine Funktion ergibt den Laplace-Operator $\triangle$

$\vec \nabla^2 \, f \;:=\; \vec \nabla \cdot (\vec \nabla \, f) \;=\; \mathrm{div}\left(\mathrm{grad}\,f\right) \;=\; -\triangle f \;=\; -\left(\frac{\part^2f}{\part x^2}+\frac{\part^2f}{\part y^2}+\frac{\part^2f}{\part z^2}\right),$

d.h. $\nabla$ wirkt wie ein Dirac-Operator als (formale) „Quadratwurzel“ des (negativen) Laplace-Operators.

Drehungen im dreidimensionalen Raum

Einheitsquaternionen können für eine elegante Beschreibung von Drehungen im dreidimensionalen Raum verwendet werden: Für eine feste Einheitsquaternion ist die Abbildung

$\rho_q\colon x\mapsto qxq^{-1}$ bzw. $\rho_q\colon x\mapsto qx\overline{q}$

auf $\operatorname{Im}\,\mathbb H$ eine Drehung. (Hier, wie im Folgenden, ist nur von Drehungen die Rede, die den Ursprung festlassen, d.h. deren Drehachse durch den Ursprung verläuft.)

Die Polardarstellung stellt die Einheitsquaternion $q\neq\pm 1$ durch einen Winkel $0<\alpha<2\pi$ und eine reine Einheitsquaternion $\epsilon$ eindeutig dar als

$q = \cos\frac{\alpha}{2} + \epsilon\sin\frac{\alpha}{2}$ .

Dann ist $\rho_q\$ eine Drehung des $\R^3\$ um die Achse $\epsilon\in\R^3\$ mit Drehwinkel $\alpha$ .

Für jede Einheitsquaternion definieren und dieselbe Drehung; insbesondere entsprechen und beide der identischen Abbildung (Drehung mit Drehwinkel 0). Im Unterschied zur Beschreibung von Drehungen durch orthogonale Matrizen handelt es sich also um keine 1:1-Entsprechung, zu jeder Drehung $\rho$ gibt es genau zwei Einheitsquaternionen mit $\rho_q=\rho$ .

Die Hintereinanderausführung von Drehungen entspricht der Multiplikation der Quaternionen, d.h.

$\rho_{q_1}\circ\rho_{q_2}=\rho_{q_1 q_2}.$

Die Umkehrung der Drehrichtung entspricht dem Inversen:

$\rho_{q^{-1}}=\rho_q^{-1}.$

Damit ist die Abbildung

$\begin{array}{rccc} \rho \colon & \mathbb{S}^3 & \to & \mathrm{SO}(3) \\ & q & \mapsto & \rho_q \end{array}$

ein Homomorphismus der Gruppe $\mathbb{S}^3$ der Einheitsquaternionen in die Drehgruppe $\mathrm{SO}(3)$ . Sie ist eine Überlagerung der $\mathrm{SO}(3)$ , und, da ein Bildelement $\rho_q$ genau die zwei Urbilder $\pm q\in \mathbb{S}^3$ hat, zweiblättrig, weshalb der Homomorphismus auch 2:1-Überlagerung(shomomorphismus)^[12] genannt wird. Ferner ist sie universell, da $\mathrm{SU}(2)\cong \mathbb{S}^3$ einfach zusammenhängend ist.

Bezug zu orthogonalen Matrizen

Explizit entspricht der Einheitsquaternion $q \in \mathbb{S}^3$ ,

$q=q_0+q_1\mathrm i+q_2\mathrm j+q_3\mathrm k$

mit $q_i \in \R$ und $\mathrm{Norm}(x) = q_0^2+q_1^2+q_2^2+q_3^2=1$ die Drehmatrix

$D_q := \begin{bmatrix} q_0^2 + q_1^2 - q_2^2 - q_3^2 & -2q_0q_3+2q_1q_2 & 2q_0q_2+2q_1q_3 \\ 2q_0q_3+2q_1q_2 & q_0^2 - q_1^2 + q_2^2 - q_3^2 & -2q_0q_1+2q_2q_3 \\ -2q_0q_2+2q_1q_3 & 2q_0q_1+2q_2q_3 & q_0^2 - q_1^2- q_2^2+ q_3^2 \end{bmatrix}$

${}=\begin{bmatrix} 1-2(q_2^2 + q_3^2) & -2q_0q_3+2q_1q_2 & 2q_0q_2+2q_1q_3 \\ 2q_0q_3+2q_1q_2 & 1-2(q_1^2 + q_3^2) & -2q_0q_1+2q_2q_3 \\ -2q_0q_2+2q_1q_3 & 2q_0q_1+2q_2q_3 & 1-2(q_1^2 + q_2^2) \end{bmatrix} \in \mathrm{SO}(3)$ .^[13]

Sie bildet eine reine Quaternion $\xi$ auf $(0, D_q \; \vec \xi) = q \; \xi \; q^{-1}$ ab.

Ist umgekehrt die Drehmatrix

$D = \begin{bmatrix} d_{11} & d_{12} & d_{13} \\ d_{21} & d_{22} & d_{23} \\ d_{31} & d_{32} & d_{33} \end{bmatrix} \in \mathrm{SO}(3)$

gegeben und ist die Spur

$T_D := d_{00} + d_{11} + d_{22} + d_{33} > 0$ mit $d_{00} := 1$ ,

dann bewerkstelligt die Quaternion

$q_D := T_D + (d_{32}-d_{23}) \mathrm i + (d_{13}-d_{31}) \mathrm j + (d_{21}-d_{12}) \mathrm k$

die Drehung $D \; \vec \xi$ , denn es ist $q_D \; \xi \; q_D^{-1} = (0, D \; \vec \xi)$ für jede reine Quaternion $\xi$ .

Wenn man die homogen formulierte Version von D_q als Eingabematrix nimmt, produziert die gezeigte Lösung mit $d_{00} := \mathrm{Norm}(q)$ die Quaternion q_D = 4 q_0 q . Wegen $\mathrm{det}(D_q) = \mathrm{Norm}(q)^3$ kann die Homogenität in den $d_{ij}$ durch die Setzung $d_{00} := \sqrt[3]{\mathrm{det}(D)}$ aufrechterhalten werden.

Die $\mathrm{SO}(3)$ hat wie die $\mathbb{S}^3$ über $\mathbb {R}$ die Dimension 3. Die 9 Komponenten von können also nicht alle frei wählbar sein. Da einer jeden Matrix $D\in\mathrm{SO}(3)$ eine Quaternion entspricht, decken die Drehmatrizen D_q die ganze $\mathrm{SO}(3)$ ab. Bei D_q ist $T_{D_q} = 4 q_0^2$ . Falls also wirklich $\in\mathrm{SO}(3)$ , ist auch $\frac{q_D}{2 \sqrt{T_D}}$ die Einheitsquaternion zu q_D .

Bezug zu Eulerwinkeln

Für Eulerwinkel gibt es verschiedene Konventionen; die folgende Darlegung bezieht sich auf die Drehung, die man erhält, wenn man zuerst um die -Achse um den Winkel $2\Psi$ , dann um die neue -Achse um den Winkel $2\Theta$ und schließlich um die neue -Achse um den Winkel $2\Phi$ dreht, d.i. die sog. „x-Konvention“ (z, x’, z’’) mit allen Winkeln doppelt. Die Einzeldrehungen entsprechen den Einheitsquaternionen

$\cos\Psi+\mathrm k \, \sin\Psi,\quad \cos\Theta+\mathrm i \, \sin\Theta,\quad \cos\Phi+\mathrm k \, \sin\Phi,$

und da jeweils um die mitgedrehten Achsen gedreht wird, ist die Reihenfolge der Komposition umgekehrt. Die Gesamtdrehung entspricht also

$\left(\cos\Psi+\mathrm k \, \sin\Psi\right)\left(\cos\Theta+\mathrm i \, \sin\Theta\right)\left(\cos\Phi+\mathrm k \, \sin\Phi\right)$

${}=\cos\Psi\cos\Theta\cos\Phi-\sin\Psi\cos\Theta\sin\Phi$

${}+\mathrm i\left(\cos\Psi\sin\Theta\cos\Phi+\sin\Psi\sin\Theta\sin\Phi\right)$

${}+\mathrm j\left(-\cos\Psi\sin\Theta\sin\Phi+\sin\Psi\sin\Theta\cos\Phi\right)$

${}+\mathrm k\left(\sin\Psi\cos\Theta\cos\Phi+\cos\Psi\cos\Theta\sin\Phi\right).$

Für andere Konventionen ergeben sich ähnliche Formeln.

Die Eulerwinkel zu einer gegebenen Quaternion lassen sich an der zugehörigen Drehmatrix ablesen.

Universelle Überlagerung der Drehgruppe; Spingruppe

Wie im Abschnitt Einheitsquaternionen gezeigt, gibt es einen durch die Hamiltonschen Zahlen vermittelten Isomorphismus zwischen der Gruppe $\mathbb{S}^3$ der Einheitsquaternionen und der speziellen unitären Gruppe $\mathrm{SU}(2)$ . Diese beiden Gruppen sind isomorph zur Spingruppe $\mathrm{Spin(3)}$ (zur Physik: siehe Spin).

Die 2:1-Überlagerung liefert also einen Homomorphismus der Spingruppe $\mathrm{Spin(3)}$ in die Drehgruppe $\mathrm{SO}(3)$ . Diese Überlagerung ist zweiblättrig und universell, da $\mathrm{Spin(3)}\cong\mathrm{SU}(2)\cong \mathbb{S}^3$ im Gegensatz zur $\mathrm{SO}(3)$ einfach zusammenhängend ist. Die natürliche Operation von $\mathrm{SU}(2)$ auf $\mathbb {C} ^{2}$ ist eine sog. Spinordarstellung.

Die aus der Quantenmechanik bekannten sog. Pauli-Matrizen $\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3$ stehen in einfacher Beziehung zu den drei Erzeugenden $\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k$ der $\mathrm{SU}(2)$ . Dies wird besonders deutlich in der Darstellung als komplexe Matrizen:

$\sigma_1 = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} = -\mathrm i_\C \mathrm k,\quad \sigma_2 = \begin{bmatrix} 0 & -\mathrm i_\C\\ \mathrm i_\C & 0 \end{bmatrix} = -\mathrm i_\C \mathrm j,\quad \sigma_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix} = -\mathrm i_\C \mathrm i$ ,

dabei ist $\mathrm i_\C$ die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen.

Die Pauli-Matrizen haben –1 zur Determinante (sind also keine Quaternionen), sind spurfrei und hermitesch und kommen daher in der Quantenmechanik als messbare Größen in Frage, was sich für die Anwendungen (s. mathematische Struktur der Quantenmechanik) als wichtig erwiesen hat. Einzelheiten sind im Artikel SU(2) dargestellt.

Orthogonale Abbildungen des vierdimensionalen Raumes

Analog zum dreidimensionalen Fall kann man jede orientierungserhaltende orthogonale Abbildung von $\mathbb H$ in sich selbst in der Form

$\rho_{a,b}\colon x\mapsto ax\bar b$

für Einheitsquaternionen a,b beschreiben. Es gilt

$\rho_{a_1,b_1}\circ\rho_{a_2,b_2}=\rho_{a_1a_2,b_1b_2}\quad\mathrm{und}\quad\rho_{\bar a,\bar b}=\rho_{a,b}^{-1}.$

Diese Konstruktion liefert eine Überlagerung

$\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{SU}(2)\to\mathrm{SO}(4)$

mit Kern $\{(1,1),(-1,-1)\}$ .

Die endlichen Untergruppen

Der 2:1-Überlagerungshomomorphismus

$\rho\colon q \mapsto \rho_q$ ,

der einer Einheitsquaternion $q\in \mathbb{S}^3$ die 3D-Drehung

$\begin{array}{rccc} \rho_q \colon & \operatorname{Im}\,\mathbb H & \to & \operatorname{Im}\,\mathbb H \\ & x & \mapsto & qx\bar q \end{array}$

zuordnet, muss eine endliche Gruppe von Quaternionen in eine endliche Gruppe $\rho(Q):=\{\rho_q \mid q \in Q\}$ überführen, die dann eine endliche Drehgruppe im $\mathbb {R} ^{3}$ ist. Man findet zyklische Gruppen $\mathrm{C}_n$ und Polyedergruppen, also die Diedergruppen $\mathrm{D}_n$ (Zählweise der n-Ecke), die Tetraedergruppe $\mathrm{T}$ , die Oktaedergruppe $\mathrm{O}$ und die Ikosaedergruppe $\mathrm{I}$ .

Die Erzeugenden der zyklischen Gruppen sind Einbettungen von Einheitswurzeln $\exp(2\pi \mathrm i_\C/n)$ . Die Urbilder der $\mathrm{D}_n$ , $\mathrm{T}$ , $\mathrm{O}$ , $\mathrm{I}$ unter $\rho$ werden als $\mathrm{2D}_n$ , $\mathrm{2T}$ , $\mathrm{2O}$ , $\mathrm{2I}$ bezeichnet und heißen binäre Diedergruppe etc. Für eine Polyedergruppe $\mathrm{P}$ also $\mathrm{2P}:=\{q \mid \rho_q \in \mathrm{P} \}$ .

Die endlichen Gruppen von Quaternionen sind demnach $\scriptstyle (2 \leq n \in \Z)$ :

Gruppe	erzeugt von	Ordnung	konvexe Hülle im $\mathbb {R} ^{2}$ bzw. $\mathbb {R} ^{4}$
$\mathrm{C}_n$	$\langle e_{n/2}\rangle$		reguläres n-Eck
$\mathrm{2D}_n$	$\langle e_n,\mathrm j\rangle$		$\{2n\} \Box \{2n\}$ , bei n=2 zugleich: regulärer 16-Zeller
$\mathrm{2T}$	$\langle \mathrm i,\omega\rangle$		regulärer 24-Zeller
$\mathrm{2O}$	$\langle q_O,\omega\rangle$		$\text{f}_{1,2}\text{F}_4$ = Dihektaoktokontaoktochor (288-Zeller)
$\mathrm{2I}$	$\langle q_I,\omega\rangle$		regulärer 600-Zeller

mit

$e_n:=\exp(\pi \mathrm i/n)$ , $\omega: = \frac{-1+\mathrm i+\mathrm j+\mathrm k}2$ , $q_O:=\frac{\mathrm j+\mathrm k}{\sqrt 2}$ , $q_I: = \frac{2 \mathrm i+(\sqrt 5+1) \mathrm j+(\sqrt 5-1) \mathrm k}4$ .

Die zyklischen Gruppen $\mathrm{C}_n$ sind in naheliegender Weise Untergruppen von anderen Gruppen. Die Quaternionengruppe $\mathrm{Q}_8$ = $\mathrm{2D}_2$ ist eine Untergruppe der binären Tetraedergruppe $\mathrm{2T}$ . Die Automorphismengruppe von $\mathrm{Q}_8$ ist isomorph zur Oktaedergruppe $\mathrm{O} = \mathrm{Sym}_4$ (Symmetrische Gruppe). Ihre Elemente sind ebenfalls Automorphismen von $\mathrm{2T}$ , $\mathrm{2O}$ , $\mathrm{2I}$ und $\mathbb H$ .

Die konvexen Hüllen sind (bis auf die Fälle $\mathrm{C}_n$ , bei denen man mit 2 Dimensionen auskommt) 4-Polytope und haben, da alle Gruppenelemente von der Länge 1 sind, die Einheits-3-Sphäre $\mathbb{S}^3$ als Um-3-Sphäre. Die Ränder dieser 4-Polytope, also die Zellen, sind Ansammlungen von Tetraedern – bis auf den Fall $\mathrm{2T}$ , bei dem es Oktaeder sind. Bei den regulären unter den konvexen Hüllen ist es klar, dass die Zellen ebenfalls regulär und zueinander kongruent sind und es eine In-3-Sphäre gibt, die alle Zellen (an ihrem Mittelpunkt) berührt. Die übrigen, nämlich $\mathrm{2D}_n$ und $\mathrm{2O}$ , spannen sog. perfekte 4-Polytope auf. Hier sind die Zellen tetragonale Disphenoide, welche ebenfalls alle zueinander kongruent sind und an ihrem Mittelpunkt von der In-3-Sphäre berührt werden.

Automorphismen

Ein jeder Ring-Automorphismus $\sigma$ von $\mathbb H$ ist ein innerer, d.h. es gibt eine Quaternion , so dass $\sigma\colon x \mapsto qxq^{-1}$ . Daraus folgt:

Das Zentrum $\mathbb {R}$ bleibt fest, d.h. $\sigma(\lambda)=\lambda$ für alle $\lambda\in \R$ .
Man kann sich auf die Einheitsquaternionen $q\in \mathbb{S}^3$ beschränken.
Ein Automorphismus ändert nicht das Skalarprodukt, d.h. $\sigma(x) \cdot \sigma(y) = x \cdot y$ .
Die Automorphismen sind genau die winkel- und längentreuen Drehungen von $\operatorname{Im}\,\mathbb H$ aus dem Abschnitt Drehungen im dreidimensionalen Raum.
Wegen der Längentreue sind die Automorphismen stetig, somit zusätzlich topologisch.
$\mathbb{S}^3$ hat das Zentrum $\{\pm 1\}$ . Folglich ist die Automorphismengruppe $\mathrm {Aut}(\mathbb H) \cong \mathbb{S}^3/\{\pm 1\}$ .

Die Konjugation als Spiegelung an der reellen Achse ist antihomomorph in der Multiplikation, d.h. $\overline{x y}=\bar y \bar x$ , und wird als involutiver Antiautomorphismus bezeichnet, weil sie zudem eine Involution ist.

Andere Konstruktionen

Matrixdarstellungen

Komplexe Matrizen

Im Ring $\C^{2\times 2}$ der komplexen 2×2-Matrizen bildet man den von den Elementen

$1_H := \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\quad \mathrm i_H := \begin{bmatrix} \mathrm i_\C & 0 \\ 0 & -\mathrm i_\C \end{bmatrix},\quad \mathrm j_H := \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix},\quad \mathrm k_H := \begin{bmatrix} 0 & \mathrm i_\C \\ \mathrm i_\C & 0 \end{bmatrix}$

erzeugten Unterring ^[20], wobei die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen als $\mathrm i_\C$ kenntlich gemacht ist.^[21] Eine Matrix

$x_0 \, 1_H+x_1\,\mathrm i_H+x_2\,\mathrm j_H+x_3\,\mathrm k_H=\begin{bmatrix}x_0+x_1\,\mathrm i_\C \quad &x_2+x_3\,\mathrm i_\C\\-x_2+x_3\,\mathrm i_\C \quad &x_0-x_1\,\mathrm i_\C\end{bmatrix}\;=\;\begin{bmatrix}w&z\\-\overline z&\overline w\end{bmatrix}$

mit reellen x_0,x_1,x_2,x_3 und komplexen $w:=x_0+x_1\mathrm i_\C,z:=x_2+x_3\mathrm i_\C$ hat die Determinante x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2=|w|^2+|z|^2 , die nur dann 0 ist, wenn (w,z)=(0,0) . Somit sind alle von der Nullmatrix verschiedenen Matrizen invertierbar – und der Ring ist ein Schiefkörper.^[22]

Der so konstruierte Schiefkörper erweist sich als isomorph zu den Quaternionen. Denn die Abbildung $\mathbb H \to H$ mit den Zuordnungen

$1 \mapsto 1_H,\quad \mathrm i \mapsto \mathrm i_H,\quad \mathrm j \mapsto \mathrm j_H,\quad \mathrm k \mapsto \mathrm k_H$

ist homomorph in den Verknüpfungen Addition und Multiplikation, wobei letztere der Matrizenmultiplikation zuzuordnen ist. Die konjugierte Quaternion geht auf die adjungierte Matrix und die Norm auf die Determinante. Darüber hinaus ist die Abbildung injektiv und stetig, also topologisch.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten für die Einbettung $\mathbb H \to H$ , die alle zueinander konjugiert und homöomorph sind.^[23]

Reelle Matrizen

Ganz analog kann man die Quaternion $x_{0}+x_{1}\mathrm {i} +x_{2}\mathrm {j} +x_{3}\mathrm {k}$ auch als reelle 4×4-Matrix

${\begin{bmatrix}{\begin{array}{rrrr}x_{0}&x_{1}&x_{2}&x_{3}\\-x_{1}&x_{0}&-x_{3}&x_{2}\\-x_{2}&x_{3}&x_{0}&-x_{1}\\-x_{3}&-x_{2}&x_{1}&x_{0}\end{array}}\end{bmatrix}}$

$=x_{0}\left[{\begin{smallmatrix}{\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\end{smallmatrix}}\right]+x_{1}\left[{\begin{smallmatrix}{\begin{array}{rrrr}0&1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{array}}\end{smallmatrix}}\right]+x_{2}\left[{\begin{smallmatrix}{\begin{array}{rrrr}0&0&1&0\\0&0&0&1\\-1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{array}}\end{smallmatrix}}\right]+x_{3}\left[{\begin{smallmatrix}{\begin{array}{rrrr}0&0&0&1\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\-1&0&0&0\end{array}}\end{smallmatrix}}\right]$

schreiben. Die Konjugation der Quaternion entspricht der Transposition der Matrix und der Betrag der vierten Wurzel aus der Determinante.

Das Modell der reellen Matrizen ist bspw. dann vorteilhaft, wenn man eine Software für lineare Algebra mit Schwächen bei den komplexen Zahlen hat.

Quotientenalgebra

Eine elegante, aber zugleich abstrakte Konstruktion stellt der Weg über den Quotienten des nichtkommutativen Polynomrings in drei Unbestimmten dar, deren Bilder $\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k$ sind, modulo dem Ideal, das von den Hamilton-Regeln erzeugt wird. Alternativ kommt man auch mit nur zwei Unbestimmten aus.

Auf diese Weise ergibt sich die Quaternionen-Algebra als Clifford-Algebra der zweidimensionalen, euklidischen Ebene mit Erzeugern $\mathrm i \mapsto e_1,\, \mathrm j \mapsto e_2,\, \mathrm k=\mathrm {ij} \mapsto e_1e_2$ . Im Zusammenhang mit dreidimensionalen Drehungen ist auch die Interpretation als der gerade Anteil der Clifford-Algebra des dreidimensionalen, euklidischen Raumes wichtig. Die Erzeuger werden dann mit $\mathrm i \mapsto e_2e_3,\, \mathrm j \mapsto e_3e_1,\,\mathrm k \mapsto e_1e_2$ identifiziert.

Die Quaternionen als Algebra

Es gibt bis auf Isomorphie genau vier endlichdimensionale $\mathbb {R}$ -Algebren, deren Multiplikation ohne Nullteiler ist, nämlich den Körper $\mathbb {R}$ der reellen Zahlen selbst, den Körper $\mathbb {C}$ der komplexen Zahlen, den Schiefkörper $\mathbb H$ der Quaternionen und den Alternativkörper $\mathbb O$ der Cayleyschen Oktaven. ^[24]^[25]-->^[41]

Das Zentrum von $\mathbb H$ ist $\mathbb {R}$ ; die Quaternionen sind also eine zentraleinfache Algebra über $\mathbb {R}$ . Reduzierte Norm und Spur sind durch

$\mathrm{Nrd}(x)=|x|^2 = x \bar x = \bar x x = \langle x,x \rangle$ bzw. $\mathrm{Trd}(x)=2\cdot\operatorname{Re}\,x$

gegeben.

Beim Basiswechsel von $\mathbb {R}$ zum algebraischen Abschluss $\mathbb {C}$ werden die Quaternionen zu einer Matrizenalgebra:

$\mathbb H\otimes_{\R}\C\cong M_2(\C).$

Die komplexe Konjugation auf dem Faktor $\mathbb {C}$ des Tensorproduktes entspricht einer Involution der Matrizenalgebra. Die Invarianten von , d.s. die von fix gelassenen Elemente mit v(x)=x , bilden eine zu $\mathbb H$ isomorphe Algebra. Zur oben angegebenen Matrixdarstellung der Quaternionen als komplexe Matrizen passt die Involution

$v(x):= \epsilon\bar x \epsilon^{-1}$ mit $\epsilon:=\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}$ .

Die Tatsache, dass die Brauergruppe von $\mathbb {R}$ nur aus zwei Elementen besteht, spiegelt sich auch darin wider, dass

$\mathbb H\otimes_{\R}\mathbb H\cong M_4(\R)$

ist.

Allgemein bezeichnet man jede vierdimensionale zentraleinfache Algebra über einem Körper als eine Quaternionenalgebra.

Die Quaternionen sind die Clifford-Algebra zum Raum $\mathbb {R} ^{2}$ mit einer negativ-definiten symmetrischen Bilinearform.

Andere Grundkörper

Quaternionen über den rationalen Zahlen

Bei allen obigen Arten der Konstruktion spielt die Vollständigkeit des Koeffizientenvorrats keine Rolle. Deshalb kann man (anstatt von den reellen Zahlen $\R \,$ über $\C = \R( \mathrm i ) \,$ zu $\mathbb H \,$ ) auch von anderen Grundkörpern, z.B. den rationalen Zahlen $\Q \,$ , ausgehen, um via gaußsche Zahlen $\Q( \mathrm i ) \,$ bei den Quaternionen mit rationalen Koeffizienten

$R := \{ x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k \; \mid \; x_0,x_1,x_2,x_3 \in \Q \} \,$

anzukommen – mit formal denselben Rechenregeln. Danach kann, falls überhaupt erforderlich, die Vervollständigung für die Betrags metrik durchgeführt werden mit einem Endergebnis isomorph zu $\mathbb H \,$ .

Insofern kann bei vielen Aussagen $\R \,$ durch $\Q \,$ , $\C \,$ durch $\Q( \mathrm i ) \,$ und $\mathbb H \,$ durch $R \,$ ersetzt werden.

Da es nach dem Satz von Wedderburn keinen endlichen Schiefkörper mit nicht-kommutativer Multiplikation gibt und die Dimension des Vektorraums $R \,$ über seinem Primkörper und Zentrum $\Q \,$ mit $2^2=4 \,$ minimal ist, gehört $R \,$ als abzählbare Menge zu den „kleinsten“ Schiefkörpern mit nicht-kommutativer Multiplikation – auf jeden Fall enthält $R \,$ keinen kleineren.

Der Schiefkörper $R \,$ besitzt einen sog. Ganzheitsring d.h. eine Untermenge von Zahlen, genannt Hurwitzquaternionen, die einen Ring bilden und $R \,$ zum Quotientenkörper haben, – ganz ähnlich, wie es sich bei den ganzen Zahlen $\Z \,$ und ihrem Quotientenkörper $\Q \,$ verhält. In einem solchen Ring lassen sich bspw. Approximationsfragen, Teilbarkeitsfragen u.Ä. untersuchen.

→ Hauptartikel: Hurwitzquaternion

Weitere Grundkörper

Auch Körper $K \ncong \Q \,$ eignen sich als Ausgangspunkt zur Bildung nicht-kommutativer Erweiterungskörper nach Art der Quaternionen. Wichtig ist, dass in $K \,$ die Summe aus 4 Quadraten $x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2 \,$ nur für $x_0=x_1=x_2=x_3=0 \,$ verschwindet. Dann gibt es auch kein $\mathrm i \in K \,$ mit $\mathrm i^2 + 1 = 0 \,$ und $K( \mathrm i ) \,$ ist eine echte quadratische Erweiterung, die eine Konjugation definiert. Diese Bedingungen sind z.B. bei allen formal reellen Körpern erfüllt.

Aber auch bei Körpern, die nicht angeordnet werden können, kann die obige Bedingung betreffend die Summe aus 4 Quadraten erfüllt sein, bspw. im Körper $\mathbb {Q} _{2}$ der 2-adischen Zahlen. Der so über $\mathbb {Q} _{2}$ gebildete Quaternionenkörper ist isomorph zur Vervollständigung des (oben beschriebenen) Körpers der Quaternionen mit rationalen Koeffizienten für die folgende (nichtarchimedische diskrete) Bewertung , dem 2-Exponenten der Norm,

$\begin{array}{rccccc} v \colon & R^* & \xrightarrow{\mathrm{Norm}} & \Q^* & \xrightarrow{v_2} & \Z \\ & x & \mapsto & x \bar x & \mapsto & v_2(x \bar x) \end{array}$

mit $\mathrm{Norm}(x) = x \bar x = 2^n m, n\in\Z, m\in\Q^*, 2\nmid m, 2\nmid m^{-1}$ . Die Primzahl p=2 ist die einzige, für die die Quaternionen-Algebra über $\mathbb {Q} _{p}$ nullteilerfrei und ein Schiefkörper ist.

Anwendungen

Eulerscher Vier-Quadrate-Satz

Die Identität, die aus dem Produkt zweier Summen von vier Quadraten


	$+ \; (x_0y_1 + x_1y_0+ x_2y_3- x_3y_2)^2$
	$+ \; (x_0y_2- x_1y_3 + x_2y_0+ x_3y_1)^2$
	$+ \; (x_0y_3+ x_1y_2- x_2y_1 + x_3y_0)^2$

wieder eine Summe von vier Quadraten macht, gilt universell – einschließlich aller Varianten, die durch Vorzeichenspiel und Permutation entstehen, – in jedem Polynomring R[x_0,x_1,x_2,x_3,y_0,y_1,y_2,y_3] über einem kommutativen unitären Ring und kann im Nachhinein als „Abfallprodukt“ der Multiplikativität des quaternionischen Betrags angesehen werden. Ihre Entdeckung 1748, also lange vor der Quaternionenzeit, geht jedoch auf Leonhard Euler zurück, der mit ihrer Hilfe den 1770 erstmals erbrachten Beweis von Joseph Louis Lagrange für den lange vermuteten Vier-Quadrate-Satz wesentlich vereinfachen konnte.

Informatik und Ingenieurwissenschaften

Die Darstellung von Drehungen mithilfe von Quaternionen wird heutzutage im Bereich der interaktiven Computergrafik genutzt, insbesondere bei Computerspielen, sowie bei der Steuerung und Regelung von Satelliten. Bei Verwendung von Quaternionen an Stelle von Drehmatrizen werden etwas weniger Rechenoperationen benötigt. Insbesondere, wenn viele Drehungen miteinander kombiniert (multipliziert) werden, steigt die Verarbeitungsgeschwindigkeit. Des Weiteren werden Quaternionen, neben den Eulerwinkeln, zur Programmierung von Industrierobotern (z.B. ABB) genutzt.

Physik

Durch die Verwendung der Quaternionen kann man in vielen Fällen auf getrennte Gleichungen zur Berechnung von Zeit und Raum verzichten. Dies bietet Vorteile in der Physik, unter anderem in den Gebieten Mechanik, Wellengleichungen, Spezielle Relativitätstheorie und Gravitation, Elektromagnetismus sowie der Quantenmechanik.

Wie im Abschnitt Vektoranalysis werden Vektoren im dreidimensionalen Raum mit reinen Quaternionen identifiziert.

Elektromagnetismus

Die Maxwell-Gleichungen zur Beschreibung des Elektromagnetismus sind der bekannteste Anwendungsfall für Quaternionen. Die Maxwellgleichungen werden durch eine Gruppe von Kommutatoren und Antikommutatoren des Differenzoperators, des elektrischen Feldes E und dem magnetischen Feld B im Vakuum definiert. Im Wesentlichen sind dieses die homogene Maxwellgleichung und das gaußsche Gesetz.

Im Folgenden werden modifizierte Kommutatoren bzw. Antikommutatoren verwendet:

$\mathrm{Ungerade} \left\langle x ; y \right\rangle \;:=\; \frac{x \, y - y \, x}{2} \;=\; (0, \, \vec x \times \vec y)$ ^[27]

bzw.

$\mathrm{Gerade} \left\langle x ; y \right\rangle \;:=\; \frac{x \, y + y \, x}{2} \;=\; (x_0 y_0 - \vec x \cdot \vec y, \, x_0 \vec y + \vec x y_0)$ ^[27]

und

$\overrightarrow{\mathrm{Gerade} \left\langle x ; y \right\rangle } \;=\; x_0 \vec y + \vec x y_0$

mit x,y als (formalen) Quaternionen und diversen formalen Produkten.

Die homogene Maxwellgleichung ist definiert durch:

$\mathrm{Gerade} \left\langle \left( \frac{\part}{\part t}, \vec\nabla \right) ; \left( 0, \vec B \right) \right\rangle + \mathrm{Ungerade} \left\langle \left( \frac{\part}{\part t}, \vec\nabla \right) ; \left( 0, \vec E \right) \right\rangle$

$= \left( - \vec\nabla\cdot \vec B, \vec\nabla \times \vec{E} + \frac{\part\vec{B}}{\part t} \right) = \left( 0, \vec 0 \right)$ .

Hierbei besagt $-\vec\nabla\cdot \vec B = 0$ , dass keine magnetischen Monopole existieren. $\textstyle \vec\nabla \times \vec{E} + \frac{\part\vec{B}}{\part t} = \vec 0$ ist das Faradaysche Induktionsgesetz.

Das gaußsche Gesetz definiert sich umgekehrt aus:

$\mathrm{Ungerade} \left\langle \left( \frac{\part}{\part t}, \vec\nabla \right) ; \left( 0, \vec B \right) \right\rangle - \mathrm{Gerade} \left\langle \left( \frac{\part}{\part t}, \vec\nabla \right) ; \left( 0, \vec E \right) \right\rangle$

$= \left( \vec\nabla\cdot \vec E, \vec\nabla \times \vec{B} - \frac{\part\vec{E}}{\part t} \right) = 4 \, \pi \, \left( \rho, \vec{J} \right)$ .

Hierbei ergibt $\vec\nabla\cdot \vec E$ das gaußsche Gesetz und $\textstyle \vec\nabla \times \vec{B} - \frac{\part\vec{E}}{\part t}$ das von Maxwell korrigierte Ampèresche Durchflutungsgesetz.

Elektromagnetisches Viererpotential

Die elektrischen und magnetischen Felder werden häufig als elektromagnetisches Viererpotential (d.h. als 4-wertiger Vektor) ausgedrückt. Dieser Vektor kann auch als Quaternion umformuliert werden.

$E = \overrightarrow{\mathrm{Gerade} \left\langle \left( \frac{\part}{\part t}, -\vec\nabla \right) ; \left( \phi, -\vec{A} \right) \right\rangle } = \left( 0, -\frac{\part \vec A}{\part t} -\vec\nabla \phi \right)$

$B = \mathrm{Ungerade} \left\langle \left( \frac{\part}{\part t}, -\vec\nabla \right) ; \left( \phi, -\vec{A} \right) \right\rangle = \left( 0, \vec\nabla \times \vec{A} \right)$

Das elektrische Feld E ist der Antikommutator des konjugierten, differenzierten Vierpotenzials. Das magnetische Feld B verwendet den Kommutator. Durch diese Darstellungsform kann man direkt in die Maxwellgleichungen einsetzen:

$\mathrm{Gerade} \left\langle \left( \frac{\part}{\part t}, \vec\nabla \right) ; \mathrm{Ungerade} \left\langle \left( \frac{\part}{\part t}, -\vec\nabla \right) ; \left( \phi, -\vec{A} \right) \right\rangle \right\rangle$

$+ \mathrm{Ungerade} \left\langle \left( \frac{\part}{\part t}, \vec\nabla \right) ; \overrightarrow{ \mathrm{Gerade} \left\langle \left( \frac{\part}{\part t}, -\vec\nabla \right) ; \left( \phi, -\vec{A} \right) \right\rangle} \right\rangle$

$= \left( -\vec\nabla \cdot\vec\nabla \times \vec{A}, \frac{\part \, \vec\nabla \vec{A}}{\part t} - \vec\nabla \times \frac{\part \vec A}{\part t} - \vec\nabla \times \vec\nabla \, \phi \right)$

$= \left( -\vec\nabla\cdot \vec B, \vec\nabla \times \vec E + \frac{\part\vec B}{\part t} \right) = \left( 0, \vec 0 \right)$

sowie

$\mathrm{Ungerade} \left\langle \left( \frac{\part}{\part t}, \vec\nabla \right) ; \mathrm{Ungerade} \left\langle \left( \frac{\part}{\part t}, -\vec\nabla \right) ; \left( \phi, \vec{A} \right) \right\rangle \right\rangle$

$- \mathrm{Gerade} \left\langle \left( \frac{\part}{\part t}, \vec\nabla \right) ; \overrightarrow{ \mathrm{Gerade} \left\langle \left( \frac{\part}{\part t}, -\vec\nabla \right) ; \left( \phi, -\vec{A} \right) \right\rangle} \right\rangle$

$= \left( -\vec\nabla\cdot\vec\nabla\,\phi - \vec\nabla\cdot\frac{\part\vec A}{\part t}, \vec\nabla\times\vec\nabla\times\vec A + \frac{\part^2 \vec A}{\part t^2} + \frac{\part\vec\nabla\phi}{\part t} \right)$

$= \left( \vec\nabla \cdot \vec E, \vec\nabla \times \vec{B} + \frac{\part\vec{E}}{\part t} \right) = 4\,\pi\,\left( \rho, \vec J \right)$ .

Hierbei sind die Ausdrücke $-\vec\nabla \cdot\vec B$ und $\vec\nabla \cdot \vec E$ die beiden Quellenfelder, die durch die Differenz aus zwei Kommutatoren und zwei Antikommutatoren gebildet werden.

Das Induktionsgesetz $\textstyle \vec\nabla \times \vec E + \frac{\part\vec B}{\part t} = 0$ und das Durchflutungsgesetz $\textstyle \vec\nabla \times \vec{B} + \frac{\part\vec{E}}{\part t} = 4\,\pi\,\vec J$ werden durch die Summe aus den zwei ineinanderliegenden Kommutatoren und Antikommutatoren gebildet.

Lorentzkraft

Die Lorentzkraft wird auf ähnliche Weise aus den Maxwellgleichungen abgeleitet. Allerdings müssen die Vorzeichen korrigiert werden.

$\mathrm{Ungerade} \left\langle \left( \gamma, \gamma\,\vec\beta \right) ; \left( 0, \vec B \right) \right\rangle - \mathrm{Gerade} \left\langle \left( -\gamma, \gamma\vec\beta \right) ; \left( 0, \vec E \right) \right\rangle$

$= \left( \gamma\,\vec\beta\cdot\vec E, \gamma\,\vec E + \gamma\,\vec\beta\times\vec B \right)$

Erhaltungssatz

Der Erhaltungssatz der elektrischen Ladung wird durch die Anwendung des konjugierten Differenzoperators auf die Quellen der Maxwellgleichung gebildet. Mit $\mathrm{Skalar}( x )$ sei hier der Real- oder Skalarteil der Quaternion bezeichnet. In den Beispielen ist ein Quaternionenprodukt.

$\mathrm{Skalar}\left ( \left( \frac{\part}{\part t}, -\vec\nabla \right ) \left ( \vec\nabla \cdot \vec{E}, \vec\nabla \times \vec{B} - \frac{\part \vec{E}}{\part t} \right ) \right )$	$\mathrm{Skalar} \left( \left( \frac{\part}{\part t}, -\vec\nabla \right) \, 4\,\pi\left( \rho, \vec{J} \right) \right)$
$\frac{\part}{\part t} \vec\nabla\cdot \vec{E} - \vec\nabla \cdot \frac{\part\vec{E}}{\part t} + \vec\nabla\cdot\vec\nabla\times\vec{B}$	$4\,\pi\,\left( \vec\nabla\cdot\vec{J} + \frac{\part\rho}{\part t} \right)$

Diese Gleichung zeigt, dass das Skalarprodukt des elektrischen Feldes ${\vec {E}}$ plus dem Kreuzprodukt des magnetischen Feldes ${\vec {B}}$ auf der einen Seite, sowie der Stromdichte ${\vec {J}}$ plus der Frequenz der Ladungsdichte $\rho$ auf der anderen Seite, gleich ist. Dieses bedeutet, dass die Ladung bei der Umformung erhalten bleibt.

Poyntings Energieerhaltungssatz wird in auf dieselbe Weise abgeleitet, mit dem Unterschied, dass statt des Differentials das konjugierte elektrische Feld ${\vec {E}}$ verwendet wird.

$\mathrm{Skalar}\left( \left( 0, -\vec{E} \right) \left( \vec\nabla \, \vec{E}, \vec\nabla\times\vec{B} - \frac{\part\vec{E}}{\part t} \right) \right)$		$\mathrm{Skalar}\left( \left( 0, -\vec{E} \right) \, 4\,\pi\,\left( \rho, \vec{J} \right) \right)$
$\vec{E}\cdot\vec\nabla\times\vec{B}-\vec{E}\cdot\frac{\part\vec{E}}{\part t}$		$4\,\pi\vec{E}\,\vec{J}$

Mit den Vektoridentitäten

$\vec{E}\cdot\left( \vec\nabla\times\vec{B} \right) = \vec{B}\cdot\left( \vec\nabla\times\vec{E} \right) + \vec\nabla\cdot\left( \vec{B}\times\vec{E} \right)$

$\vec\nabla\times\vec{E} = -\frac{\part\vec{B}}{\part t}$

$\vec{E}\cdot\frac{\part\vec{E}}{\part t} = \frac{ {\left( \frac{\part\vec{E}}{\part t} \right) }^2}{2}$

$\vec{B}\cdot\frac{\part\vec{B}}{\part t} = \frac{ {\left( \frac{\part\vec{B}}{\part t} \right) }^2}{2}$

kann man diese Gleichung nach

$-\left( \vec\nabla\cdot\left( \vec{E}\times\vec{B} \right) + \frac{{\left( \part\vec{E} + \part\vec{B} \right)}^2 }{2\,\part t^2} \right) = 4\pi\vec{E} \cdot \vec{J}$

umformen, was der Poynting-Gleichung entspricht. Der Ausdruck $\vec{E}\times\vec{B}$ entspricht hierbei dem Poynting-Vektor.

Geschichte

Gedenktafel an der Broom Bridge in Dublin, wo William Rowan Hamilton die Multiplikationsregeln im Oktober 1843 spontan in den Stein ritzte.

William Rowan Hamilton hatte 1835 die Konstruktion der komplexen Zahlen als Zahlenpaare angegeben. Dadurch motiviert, suchte er lange nach einer entsprechenden Struktur auf dem Raum $\mathbb {R} ^{3}$ der Zahlentripel; heute weiß man, dass keine derartige Struktur existiert. 1843 schließlich gelangte er zu der Erkenntnis, dass es möglich ist, eine Multiplikation auf der Menge der 4-Tupel zu konstruieren, wenn man dazu bereit ist, die Kommutativität aufzugeben. In einem Brief an seinen Sohn gibt er als Datum den 16. Oktober 1843 an und berichtet, er habe sich spontan dazu hinreißen lassen, die Multiplikationsregeln in einen Stein an der Brougham Bridge (heute Broombridge Road) in Dublin zu ritzen; später wurde dort eine Gedenktafel angebracht. Die Rechenregeln für Quaternionen waren in Ansätzen schon früher bekannt, so findet sich die Formel für den Vier-Quadrate-Satz bereits bei Leonhard Euler (1748). Andere, auch allgemeinere Multiplikationsregeln wurden von Hermann Graßmann untersucht (1855).

Schon kurz nach der Entdeckung der Quaternionen fand Hamilton die Darstellung von Drehungen des Raumes mithilfe von Quaternionen und damit eine erste Bestätigung der Bedeutung der neuen Struktur; Arthur Cayley entdeckte 1855 die entsprechenden Aussagen über orthogonale Abbildungen des vierdimensionalen Raumes. Die bloße Parametrisierung der $3\times3$ -Drehmatrizen war hingegen schon Euler bekannt. Cayley gab 1858 in der Arbeit, in der er Matrizen einführte, auch die Möglichkeit der Darstellung von Quaternionen durch komplexe $2\times 2$ -Matrizen an.

Hamilton widmete sich fortan ausschließlich dem Studium der Quaternionen; sie wurden in Dublin ein eigenes Examensfach. In seiner Nachfolge wurde 1895 sogar ein „Weltbund zur Förderung der Quaternionen“ gegründet. Der deutsche Mathematiker Felix Klein schreibt rückblickend über diese anfängliche Euphorie:

„Wie ich schon andeutete, schloß sich Hamilton eine Schule an, die ihren Meister an Starrheit und Intoleranz noch überbot. […] Die Quaternionen sind gut und brauchbar an ihrem Platze; sie reichen aber in ihrer Bedeutung an die gewöhnlichen komplexen Zahlen nicht heran. […] Die Leichtigkeit und Eleganz, mit der sich hier die weittragendsten Theoreme ergeben, ist in der Tat überraschend, und es läßt sich wohl von hier aus die alles andere ablehnende Begeisterung der Quaternionisten für ihr System begreifen, die […] nun bald über vernünftige Grenzen hinauswuchs, in einer weder der Mathematik als Ganzem noch der Quaternionentheorie selbst förderlichen Weise. […] Die Verfolgung des angegebenen Weges – der neu sein will, obwohl er tatsächlich nur eine peinlich genaue Übertragung längst bekannter Gedanken auf ein einziges neues Objekt, also durchaus keine geniale Konzeption bedeutet – führt zu allerhand Erweiterungen der bekannten Sätze, die in ihrer Allgemeinheit das Hauptcharakteristikum verlieren und gegenstandslos werden, allenfalls zu Besonderheiten, die ein gewisses Vergnügen gewähren mögen.“

– Felix Klein: Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert

Siehe auch

Spezielle unitäre Gruppe

Literatur

Max Koecher, Reinhold Remmert: Hamiltonsche Quaternionen. In: H.-D. Ebbinghaus et al.: Zahlen. Springer-Verlag, Berlin 1983. ISBN 3-540-12666-X

John H. Conway, Derek A. Smith: On Quaternios and Octonions, A K Peters Ltd, 2003, ISBN 1-56881-134-9 (englisch)
Jack B. Kuipers: Quaternions and Rotation Sequences, Princeton University Press, 2002, ISBN 0-691-10298-8 (englisch)
W. Bolton: Complex Numbers (Mathematics for Engineers), Addison-Wesley, 1996, ISBN 0-582-23741-6 (englisch)
Andrew J. Hanson: Visualizing Quaternions, Morgan Kaufmann Publishers, 2006, ISBN 0-12-088400-3 (englisch)

Lew Semjonowitsch Pontrjagin: Verallgemeinerungen der Zahlen, Verlag Harri Deutsch, 1995

S. Eilenberg and I. Niven: The „fundamental theorem of algebra“ for quaternions. Bull. Amer. Soc. 50(1944), 246-248.

Anmerkungen

↑ Bei Gauß findet sich eine Notiz über die Multiplikation und Konjugation von Quadrupeln im Kapitel Mutation des Raumes Carl Friedrich Gauß Werke, Achter Band, Seiten 357-361, König. Gesell. Wissen. Göttingen, 1900, die auf das Jahr 1819 datiert wird. Die Unterschiede zu Hamilton gehen nicht über notationelle Konventionen hinaus.
↑ Sie ist nicht mit dem Skalarprodukt zu verwechseln.
↑ die wegen der fehlenden Kommutativität in der Multiplikation nicht automatisch auf eines reduziert werden können
↑ NB: ${\vec {x}}$ wird bei Bedarf genauso als Spaltenvektor eingesetzt.
↑ Dasselbe leistet eine jede der 5 alternativen Kurzformen

$\mathrm j\mathrm k\mathrm i=\mathrm k\mathrm i\mathrm j=-1$
oder

$\mathrm k\mathrm j\mathrm i=\mathrm j\mathrm i\mathrm k=\mathrm i\mathrm k\mathrm j=+1$ .
↑ In Gauß' Text aus dem Jahr 1819 a. a. O. sind die Vorzeichen zwischen rot und grün vertauscht, was der Kurzform $\mathrm i\mathrm j\mathrm k=+1$ und einer gespiegelten Orientierung des Dreibeins $(\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k)$ , d.h. der Multiplikation $x \circ y := y x$ im Gegenring $\mathbb H^{op}$ entspricht. Die Identität auf der Grundmenge $\mathbb {R} ^{4}$ ist ein Antiisomorphismus und die Konjugation ein Isomorphismus $\mathbb H := (\R^4,+,) \;\; \to \;\; \mathbb H^{op} := (\R^4,+,\circ)$ .
Die Nichtkommutativität ist gleichbedeutend mit der Verschiedenheit von $\mathbb H$ und $\mathbb H^{op}$ . Da beide Ringe die Ringaxiome der Quaternionen erfüllen, müssen diese „unvollständig“ sein im Sinne Hölders.
↑ Reelle Faktoren kommutieren mit $\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k$ und damit mit allen Quaternionen, d.h. es gilt beispielsweise

$2\mathrm i\mathrm j=\mathrm i2\mathrm j=\mathrm i\mathrm j 2=2\mathrm k,$
aber

$2\mathrm j\mathrm i=\mathrm j 2\mathrm i=\mathrm j\mathrm i 2=-2\mathrm k.$
Nicht alle aus der elementaren Algebra bekannten Rechenregeln gelten für die Quaternionen, zB. gilt

$(\mathrm i+\mathrm j)(\mathrm i-\mathrm j)=\mathrm i\mathrm i-\mathrm i\mathrm j+\mathrm j\mathrm i-\mathrm j \mathrm j=(-1)-\mathrm k+(-\mathrm k)-(-1)=-2\mathrm k.$
Die binomischen Formeln oder sind hier also nicht anwendbar. Sie setzen voraus, dass gilt.
↑ Im Komplexen gilt dagegen

$\operatorname{Im}\,z = \frac{1}{2\mathrm i_\C}(z-\bar{z})$
mit Abspaltung der imaginären Einheit $\mathrm i_\C$ von der rein-imaginären Komponente, so dass der Imaginärteil eine reelle Zahl ist. Und es gilt:

$z = \operatorname{Re}\,z + \mathrm i_\C \; \operatorname{Im}\,z.$
↑ und damit auch Betrag und die Teilmenge der reellen Zahlen. Bei den komplexen Zahlen gilt dies nicht (s.a. Komplexe Zahl#Körpertheorie und algebraische Geometrie).
↑ Viele Autoren setzen jedoch Norm dem Betrag gleich.
↑ Den unendlich vielen Nullstellen des Polynoms steht das Fehlen einer Nullstelle beim Polynom $\mathrm i X - X \mathrm i + 1$ vom Grad 1 gegenüber. Letzteres besitzt 2 Monome vom Grad 1, dem höchsten Grad seiner Monome. In nicht-kommutativen Ringen wird der Grad des Monoms $a_0 X a_1 ... a_{n-1} X a_n$ mit $a_i \neq 0$ zu definiert, und ein Monom dominiert ein Polynom, wenn es unter allen Monomen den höchsten Grad hat. Dann ist der Grad des Polynoms auch gleich dem Grad der dominierenden Monome. Hat ein Polynom über $\mathbb H$ ein einziges dominierendes Monom von einem Grad > 0, dann hat es immer eine Nullstelle in $\mathbb H$ .
↑ Conway a. a. O., Seite 40. Und: Ein Automorphismus definiert eine solche Einbettung (durch Einschränkung), die nur eine Einbettung von $\mathbb {R}$ -Algebren ist. $\mathbb H$ ist keine Algebra über $\mathbb {C}$ .
↑ Der Polarwinkel ist das Analogon zum komplexen Argument $\operatorname{arg}(z)$ , allerdings ist bei dessen Hauptwert das Signum des Imaginärteils mit hinein genommen, was sich bei den Quaternionen nicht machen lässt, so dass $\operatorname{arg}$ nicht eine einfache Einschränkung des Polarwinkels ist.
↑ ^a ^b Für $\xi:=\mathrm i\pi$ und $\eta:=\mathrm j\pi$ ist

$\exp \xi \exp \eta = \exp(\mathrm i\pi) \exp(\mathrm j\pi) = (-1)(-1)=1$

$\ne \exp(\xi+\eta) = \exp((\mathrm i+\mathrm j)\pi) = \cos(\pi \sqrt 2)+\frac{\mathrm i+\mathrm j}{\sqrt 2}\sin(\pi \sqrt 2)$ .
↑ Laut Lam a. a. O. Seite 22 mag das Scheitern dieser Funktionalgleichung das größte Hindernis für eine quaternionische Funktionentheorie gewesen sein.
↑ Die Überlegungen gelten schon, wenn der Definitionsbereich von ein Gebiet ist.
↑ Letzteres ist aber nicht hinreichend, denn die Funktion $g(z) := \operatorname{Im} z$ ist trotz $g\mid_\R \, = 0 \in \R$ nicht einbettbar. Sind allerdings die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt, folgt aus der Ungeradheit von die Geradheit von , jeweils in der zweiten Variablen.
↑ Conway a. a. O., Seite 33
↑ zu $\mathrm{SO}(3)$ siehe Orthogonale Gruppe#Dreidimensionale Drehungen
↑ ein $\mathbb {R}$ -Vektorraum, der aber weder $\C^{2\times 2}$ -Ideal noch $\mathbb {C}$ -Vektorraum ist, da $\mathrm i_\C \, 1_H \notin H$
↑ Die Matrizen $\mathrm i_H,\mathrm j_H,\mathrm k_H$ sind spurfrei und schiefhermitesch.
↑ Nur Matrixringe der Dimensionen 1, 2 und 4 über $\mathbb {R}$ sind nullteilerfrei (siehe auch #Die Quaternionen als Algebra).
↑ Diese Möglichkeiten entsprechen der Vorschaltung eines Automorphismus.
↑ Satz von Frobenius (reelle Divisionsalgebren) ( Corollary 6.8 in Chapter iX von Hungerford: Algebra (Springer 1974)
↑ Satz von Hurwitz (normierte Divisionsalgebren)
↑ Satz von Pontrjagin (1931) in Pontrjagin: Jeder lokalkompakte, zusammenhängende topologische Schiefkörper ist entweder der Körper der reellen Zahlen oder der Körper der komplexen Zahlen oder der Schiefkörper der Quaternionen.
↑ ^a ^b Die Beispiele haben als ersten Operanden alle einen Differentialoperator, der auf den zweiten Operanden wirkt. Die Brüche enthalten jedoch mit $y \, x$ eine unbrauchbare Reihenfolge. Bei den Ausrechnungen ganz rechts kommt immer vor .