Diedergruppe

Diese Schneeflocke hat die Symmetriegruppe eines regelmäßigen Sechsecks

In der Gruppentheorie ist die Diedergruppe D_{n} als semidirektes Produkt {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \rtimes _{g\mapsto g^{-1}}\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} } erklärt (siehe unten) und enthält daher genau 2n Elemente. Für n \ge 3 ist diese Gruppe isomorph zur Isometriegruppe eines regelmäßigen Polygons in der Ebene. Sie ist dann nicht-abelsch und enthält n Drehungen und n Achsenspiegelungen. Ihr Name leitet sich vom Wort Dieder (Silbentrennung: Di-eder, Aussprache [diˈeːdər]) (griechisch: Zweiflächner) für regelmäßige n-Ecke ab. Diese Gruppen treten häufig in der Geometrie und Gruppentheorie auf, werden von zwei Spiegelungen (Elementen der Ordnung 2) erzeugt und sind damit die einfachsten Beispiele von Coxeter-Gruppen.

Bezeichnungen

Es gibt für Diedergruppen zwei abweichende Bezeichnungen. In der Geometrie schreibt man üblicherweise D_{n}, um den Zusammenhang mit dem regelmäßigen n-Eck zu unterstreichen. In der Gruppentheorie schreibt man oft auch D_{2n}, um stattdessen die Ordnung 2n hervorzuheben. Diese Zweideutigkeit lässt sich jedoch leicht durch eine erläuternde Ergänzung beheben. In diesem Artikel steht D_{n} für die Diedergruppe mit 2n Elementen.

Definition

Die Diedergruppe D_{n} kann für n \ge 3 als die Isometriegruppe eines regelmäßigen n-Ecks in der Ebene definiert werden. Diese besteht aus n Drehungen und n Spiegelungen, hat also insgesamt 2n Elemente. Die Isometrien bezeichnet man auch als Symmetrietransformationen. Als Verknüpfung der Gruppe D_{n} dient die Hintereinanderausführung von Symmetrietransformationen.

In den Fällen n=1 und n=2 führt die geometrische Definition jedoch zu anderen Gruppen. Daher ist hier die algebraische Definition über das semidirekte Produkt {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} } vorzuziehen (dabei ist in dem semidirekten Produkt die Operation von {\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} } auf {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } durch Inversion gegeben). Diese algebraische Definition gilt für alle n\geq 1.

Beispiele

Ein Beispiel ist die Diedergruppe D_3 der Kongruenzabbildungen eines gleichseitigen Dreiecks auf sich, die isomorph zur symmetrischen Gruppe S_{3} ist. D_{4} ist entsprechend die Symmetriegruppe des Quadrats unter Spiegelungen und Drehungen.

D_{2} ist isomorph zur Kleinschen Vierergruppe und ist die Symmetriegruppe (bestehend nur aus den beiden Spiegelungen, der Drehung um 180° und der Identität) von den vier Ecken eines Quadrats, bei dem nur die rechte und linke Seite eingezeichnet sind (also zwei Zweiecke). D_{1} ist die Symmetriegruppe eines Zweiecks.

D_{2} ist auch die Symmetriegruppe eines nicht gleichseitigen Rechtecks oder einer nicht gleichwinkligen Raute. D_{1} ist auch die Symmetriegruppe eines gleichschenkligen Dreiecks, das nicht gleichseitig ist.

Die folgende Grafik illustriert die Diedergruppe D_8 anhand der Drehungen und Spiegelungen eines Stoppschildes: Die erste Zeile zeigt die acht Drehungen, die zweite Zeile die acht Spiegelungen.

Dihedral8.png

Matrix-Darstellung

Wir betrachten ein ebenes regelmäßiges n-Eck. Seinen Mittelpunkt wählen wir als Nullpunkt O eines Koordinatensystems, irgendeine seiner n Symmetrieachsen als x-Achse und die Normale dazu (in üblicher Orientierung, sodass sich ein Rechtssystem ergibt) als y-Achse. Die Diedergruppe D_{n} lässt sich dann leicht als Matrixgruppe darstellen. Hierzu sei r_{k} die Drehung um O um den Winkel {\displaystyle \alpha _{k}:=k\cdot 2\pi /n} und s_k die Spiegelung an der Geraden durch O, die im Winkel \alpha_k/2=k\cdot \pi/n gegenüber der positiven x-Achse geneigt ist. Als Matrizen schreiben sich diese Transformationen dann so:

{\displaystyle r_{k}={\begin{pmatrix}\cos(\alpha _{k})&-\sin(\alpha _{k})\\\sin(\alpha _{k})&\cos(\alpha _{k})\end{pmatrix}}\qquad {\text{und}}\qquad s_{k}={\begin{pmatrix}\cos(\alpha _{k})&\sin(\alpha _{k})\\\sin(\alpha _{k})&-\cos(\alpha _{k})\end{pmatrix}}}

Hierbei fallen folgende Relationen auf:

Wenn n ungerade ist, dann verläuft jede der n Spiegelachsen durch einen Eckpunkt und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. Für gerades n gibt es hingegen zwei Arten von Spiegelachsen, durch zwei gegenüberliegende Eckpunkte oder durch zwei gegenüberliegende Seitenmittelpunkte.

In dieser Darstellung schreiben sich zum Beispiel die acht Elemente der Diedergruppe D_{4} wie folgt:


  \begin{align}
    r_0 &= \bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}\bigr), &
    r_1 &= \bigl(\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}\bigr), &
    r_2 &= \bigl(\begin{smallmatrix}-1&0\\0&-1\end{smallmatrix}\bigr), &
    r_3 &= \bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0\end{smallmatrix}\bigr), \\
    s_0 &= \bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}\bigr), &
    s_1 &= \bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}\bigr), &
    s_2 &= \bigl(\begin{smallmatrix}-1&0\\0&1\end{smallmatrix}\bigr), &
    s_3 &= \bigl(\begin{smallmatrix}0&-1\\-1&0\end{smallmatrix}\bigr).
  \end{align}

Diese Drehungen und Spiegelungen lassen sich bildlich wie folgt darstellen:

Zykel-Graph von D_{4}:
a ist die Drehung um 90° im Uhrzeigersinn.
b ist die Spiegelung an der vertikalen Mittelachse.
Group D8 id.svg
r_{0} (Drehung um 0°)
Group D8 270.svg
r_{1} (Drehung um 90°)
Group D8 180.svg
r_{2} (Drehung um 180°)
Group D8 90.svg
r_3 (Drehung um 270°)
Group D8 fv.svg
s_{0} (Spiegelung an der x-Achse)
Group D8 f13.svg
s_{1} (Spiegelung an der Diagonale y=x)
Group D8 fh.svg
s_{2} (Spiegelung an der y-Achse)
Group D8 f24.svg
s_3 (Spiegelung an der Diagonale y=-x)
Drehungen und Spiegelungen eines Quadrates. Die vier Ecken sind nummeriert und eingefärbt, um die Transformation bildlich darzustellen.

Permutations-Darstellung

Betrachten wir zunächst als Beispiel die Diedergruppe D_{4}. Diese operiert durch Symmetrietransformationen auf einem Quadrat wie in der vorangehenden Grafik gezeigt. Betrachtet man die Aktion der Diedergruppe D_{4} auf den Eckpunkten {\displaystyle 1,2,3,4}, erhält man eine treue Darstellung in die symmetrische Gruppe S_{4}, also einen injektiven Gruppenhomomorphismus \tau \colon D_4 \to S_4. Genauer gesagt wirken die Transformationen auf den Ecken als folgende Permutationen:

{\begin{aligned}\tau (r_{0})&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\1&2&3&4\end{smallmatrix}}{\bigr )}&\tau (r_{1})&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}&\tau (r_{2})&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\3&4&1&2\end{smallmatrix}}{\bigr )}&\tau (r_{3})&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\4&1&2&3\end{smallmatrix}}{\bigr )}\\\tau (s_{0})&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\4&3&2&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}&\tau (s_{1})&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\3&2&1&4\end{smallmatrix}}{\bigr )}&\tau (s_{2})&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\2&1&4&3\end{smallmatrix}}{\bigr )}&\tau (s_{3})&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\1&4&3&2\end{smallmatrix}}{\bigr )}\end{aligned}}

Ganz allgemein definiert die Operation der Diedergruppe D_{n} auf den Eckpunkten {\displaystyle P_{1},P_{2},\dotsc ,P_{n}} eine treue Darstellung \tau \colon D_n \to S_n. In obiger Notation erhält man zum Beispiel die Permutation

{\displaystyle \tau (r_{1})=(1,2,3,\dotsc ,n).}

In Zyklenschreibweise ist dies die zyklische Permutation, die P_{1} auf P_{2} abbildet, P_{2} auf P_{3} und so weiter, bis schließlich P_{n} auf P_{1} abgebildet wird. Die weiteren Drehungen erhält man hieraus mittels der Relation r_k = r_1^k für alle k. Für die Spiegelung an der Symmetrieachse durch P_{n} erhält man entsprechend in Zyklenschreibweise

{\displaystyle \tau (s_{1})=(1,n-1)(2,n-2)\dots \left({\bigl \lfloor }{\tfrac {n-1}{2}}{\bigl \rfloor },{\bigl \lfloor }{\tfrac {n+2}{2}}{\bigl \rfloor }\right)}

mit der Gaußschen Ganzteilfunktion {\displaystyle x\mapsto \lfloor x\rfloor } (die jeder reellen Zahl x die größte ganze Zahl zuordnet, die nicht größer als x ist). Die weiteren Spiegelungen erhält man hieraus mittels der Relation {\displaystyle s_{k+1}=r_{k}s_{1}} für alle k (mit {\displaystyle s_{4}=s_{0}}).

Erzeuger und Relationen

Alle n Drehungen werden von r=r_1 erzeugt. Diese bilden eine zyklische Untergruppe der Ordnung n und demnach von Index 2. Man erhält die gesamte Gruppe durch Hinzufügen einer beliebigen Spiegelung, zum Beispiel s = s_0, und so die Präsentation

{\displaystyle D_{n}=\left\langle r,s\mid r^{n}=s^{2}=e,\ srs=r^{-1}\right\rangle ,}

wobei e das neutrale Element der Gruppe ist.

Cayleygraph der Diedergruppe D_5

Die Verkettung von zwei Spiegelungen ist eine Drehung. Ist der Winkel zwischen den beiden Spiegelachsen \alpha , so ist diese Verkettung eine Drehung um den Winkel 2\alpha. Das bedeutet, dass die Diedergruppe D_{n} von zwei benachbarten Spiegelungen, zum Beispiel s_{0} und s_{1}, erzeugt wird. Man erhält so die Präsentation

{\displaystyle D_{n}=\left\langle s_{0},s_{1}\mid s_{0}^{2}=s_{1}^{2}=(s_{0}s_{1})^{n}=e\right\rangle .}

Dies ist der einfachste Fall einer Coxeter-Gruppe.

Für alle Indizes i und j gilt außerdem:

  1. {\displaystyle r_{i}r_{j}=r_{i+j}}
  2. {\displaystyle r_{i}s_{j}=s_{i+j}}
  3. {\displaystyle s_{i}r_{j}=s_{i-j}}
  4. {\displaystyle s_{i}s_{j}=r_{i-j}}

Dabei werden die Indizes jeweils modulo n betrachtet ({\displaystyle r_{i+n}=r_{i}} und {\displaystyle s_{i+n}=s_{i}}).

Anwendungen

Geometrie

Diedergruppen sind die einfachsten Beispiele von Spiegelungsgruppen. Diese spielen in der klassischen Geometrie eine wichtige Rolle, zum Beispiel bei der Klassifikation der regulären Polyeder. In Dimension 2 entsprechen hier Diedergruppen den regulären Polygonen.

Codierung

Die durch obige Permutationen definierte Zahlenverknüpfung wird bei Prüfsummenverfahren als Alternative zu diversen modulo-basierten Verfahren angewendet. Zum Beispiel besaßen die deutschen Banknoten Dieder-Prüfsummen.

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 10.02. 2021