S3 (Gruppe)

Die sogenannte symmetrische Gruppe S_{3} bezeichnet im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie eine bestimmte Gruppe mit 6 Elementen. Sie lässt sich beschreiben als Gruppe der sechs Permutationen einer dreielementigen Menge. Alternative Bezeichnungen sind {\mathfrak  {S}}_{3} und Sym_{3} . Sie ist isomorph mit der Diedergruppe D_3 , der Gruppe der Kongruenzabbildungen des gleichseitigen Dreiecks auf sich.

Einführung

Die Wirkungen der Abbildungen d, d^2, s_{1}, s_{2} und s_3

Betrachtet man die Kongruenzabbildungen, die ein gleichseitiges Dreieck in sich selbst überführen, so findet man 6 Möglichkeiten

Diese Kongruenzabbildungen lassen sich durch Hintereinanderausführung kombinieren, wodurch man wieder eine Kongruenzabbildung erhält. Man schreibt einfach zwei Kongruenzabbildungen (oft ohne Verknüpfungszeichen, oder mit \circ ) nebeneinander und meint damit, dass

zuerst die rechtsstehende und dann die linksstehende

Kongruenzabbildung auszuführen ist.[1] Die Schreibweise d^2 macht bereits deutlich, dass die Drehung um 240° gleich der zweifachen Hintereinanderausführung der Drehung um 120° ist.

Man erhält auf diese Weise die sechselementige Gruppe S_{3}=\left\{e,d,d^{2},s_{1},s_{2},s_{3}\right\} aller Kongruenzabbildungen des gleichseitigen Dreiecks auf sich. Trägt man alle so gebildeten Verknüpfungen in eine Verknüpfungstafel ein, so erhält man

\cdot e d d^2 s_{1} s_{2} s_3
e e d d^2 s_{1} s_{2} s_3
d d d^2 e s_3 s_{1} s_{2}
d^2 d^2 e d s_{2} s_3 s_{1}
s_{1} s_{1} s_{2} s_3 e d d^2
s_{2} s_{2} s_3 s_{1} d^2 e d
s_3 s_3 s_{1} s_{2} d d^2 e

Will man das Produkt ab für zwei Elemente a,b aus S_{3} ausrechnen, so suche man in der Verknüpfungstafel die mit a gekennzeichnete Zeile und mit b gekennzeichnete Spalte auf; am Schnittpunkt aus dieser Zeile und dieser Spalte steht das Produkt.

Verallgemeinert man diese Konstruktion, indem man das gleichseitige Dreieck durch ein regelmäßiges n-Eck ersetzt, so kommt man zum Begriff der Diedergruppe. Daher wird die hier besprochene Gruppe S_{3} auch mit D_3 bezeichnet.

Elemente der S3 als Permutationen

Eine Kongruenzabbildung des gleichseitigen Dreiecks ist bereits dadurch eindeutig festgelegt, wie die mit 1, 2 und 3 bezeichneten Ecken aufeinander abgebildet werden. Jedes Element der S_{3} kann daher als Permutation der Menge \{1,2,3\} aufgefasst werden. Sie sehen im Folgenden zuerst die Zweizeilenform und dahinter die Zykelschreibweise der Elemente sowie deren Ordnungen:

{\begin{array}{rcccll}e&=&{\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}}&=&(1)&\qquad {\mathrm  {ord}}\left(e\right)=1\\\\d&=&{\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}}&=&(1~2~3)&\qquad {\mathrm  {ord}}\left(d\right)=3\\\\d^{2}&=&{\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}}&=&(1~3~2)&\qquad {\mathrm  {ord}}\left(d^{2}\right)=3\\\\s_{1}&=&{\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}}&=&(2~3)&\qquad {\mathrm  {ord}}\left(s_{1}\right)=2\\\\s_{2}&=&{\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}}&=&(1~3)&\qquad {\mathrm  {ord}}\left(s_{2}\right)=2\\\\s_{3}&=&{\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}}&=&(1~2)&\qquad {\mathrm  {ord}}\left(s_{3}\right)=2\end{array}}

Eigenschaften

Keine abelsche Gruppe

Die Gruppe S_{3} ist keine abelsche Gruppe, wie obiger Verknüpfungstafel entnommen werden kann; beispielsweise gilt ds_{1}=s_{3}\neq s_{2}=s_{1}d. Sie ist bis auf Isomorphie die kleinste nicht-abelsche Gruppe, das heißt, jede nicht-abelsche Gruppe ist entweder isomorph zu S_{3} oder hat mehr Elemente.

Untergruppen und Normalteiler

Die Untergruppen neben den trivialen Untergruppen \{e\} und S_{3} selbst sind:

Erzeuger und Relationen

Man kann Gruppen auch dadurch beschreiben, dass man ein Erzeugendensystem und Relationen, die die Erzeuger erfüllen müssen, angibt. Erzeuger und Relationen notiert man, durch das Zeichen | getrennt, in spitzen Klammern. Die Gruppe ist dann die von den Erzeugern erzeugte freie Gruppe modulo dem von den Relationen erzeugten Normalteiler. In diesem Sinne ist:

S_{3}=\langle d,s\mid d^{3},s^{2},dsds\rangle

Irreduzible Darstellungen

Bis auf Äquivalenz hat die S_{3} drei irreduzible Darstellungen, zwei eindimensionale und eine zweidimensionale. Zur Angabe dieser Darstellungen genügt es, die Bilder von d und s_{1} anzugeben, denn diese Elemente erzeugen die Gruppe.

Zwar erhält man eine andere zweidimensionale Darstellung, wenn man s_{1} durch s_{2} ersetzt, aber diese ist äquivalent zur angegebenen. Diese Überlegungen führen zu folgender Charaktertafel:[2]

S_{3} 1 3 2
  1 (1,2) (1,2,3)
\chi _{1} 1 1 1
\chi_2 1 -1 1
\chi_3 2 {\displaystyle 0} -1

Weitere Beispiele

Allgemeine lineare Gruppe über ℤ/2

Die allgemeine lineare Gruppe 2-ten Grades über dem Restklassenkörper \mathbb{Z } /2={\mathbb  {F}}_{2}=\{0,1\},

GL(2,{\mathbb  {F}}_{2})=\left\{{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0&1\\1&1\end{bmatrix}}\right\}

ist isomorph zur S_{3}.

Transformationengruppe

Die gebrochen linearen Funktionen s_{1},s_{2} mit Koeffizienten aus einem beliebigen Körper K und den Zuordnungen[3]

s_{1}: X\mapsto 1-X
s_{2}: X\mapsto X^{{-1}}

erzeugen mit der Hintereinanderausführung als Gruppenverknüpfung eine Gruppe G, die isomorph zur S_{3} ist. Die übrigen 4 Gruppenmitglieder sind:

d:=s_{1}\circ s_{2}: X\mapsto {\tfrac  {X-1}{X}}
s_{3}:=d\circ s_{1}=s_{2}\circ d: X\mapsto {\tfrac  {X}{X-1}}
d^{{2}}:=d\circ d=s_{2}\circ s_{1}: X\mapsto {\tfrac  {1}{1-X}}
d^{{3}}:=d\circ d^{{2}}=e: X\mapsto X

Die Verknüpfungstafel ist wie oben.
Die 6 Gruppenmitglieder s\in G unterscheiden sich bei einer Einsetzung von Elementen x\in K\!\setminus \!\{0,1\}

s_{K}:x\mapsto s_{K}(x):=s(x)

auch in den Wertetabellen, wenn K wenigstens 5 Elemente hat.

Automorphismengruppe

Die S_{3} ist isomorph zur Automorphismengruppe der kleinschen Vierergruppe. Das ergibt sich leicht aus der Beobachtung, dass jede Permutation der drei Elemente der Ordnung 2 der kleinschen Vierergruppe einen Automorphismus definiert.

Anmerkungen

  1. Diese Reihenfolge kommt von der Operatorenperspektive, wie sie bei der Hintereinanderschaltung von Abbildungen (so auch bei den Permutationen) vorherrscht. Für die pure Gruppentheorie ist die Reihenfolge unerheblich.
  2. Kurt Meyberg: Algebra II. Carl Hanser Verlag (1976), ISBN 3-446-12172-2, Beispiel 9.7.1 b
  3. Ist K der Körper der komplexen Zahlen, genauer: die riemannsche Zahlenkugel, dann handelt es sich um Möbiustransformationen.
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 22.12. 2019