Untergruppe
In der Gruppentheorie
der Mathematik ist eine
Untergruppe
einer Gruppe
eine Teilmenge
von
,
die bezüglich der Verknüpfung
selbst wieder eine Gruppe ist. Es gibt die Kurzschreibweise
,
zu lesen als "
ist Untergruppe von
".
Die Gruppe
heißt Obergruppe der Untergruppe
,
in Zeichen
.
Untergruppen sind die Unterstrukturen in der Gruppentheorie.
Äquivalente Definitionen
Eine nichtleere Teilmenge
von
bildet genau dann eine Untergruppe
von
,
wenn zu zwei beliebigen Elementen in
auch deren Verknüpfung in
ist, und zu jedem Element in
auch dessen Inverses in
ist:
Dann enthält
nämlich auch ein neutrales Element, welches mit dem von
übereinstimmt.
Weitere äquivalente Kriterien: Die nichtleere Teilmenge
von
ist genau dann eine Untergruppe von
,
- wenn für alle
gilt.
- wenn
eine Äquivalenzrelation auf
ist.
- wenn für alle
gilt.
Je nach Art der Verknüpfung können verschiedene Kriterien zum Nachweis der Untergruppeneigenschaft von Vorteil sein. In der Definition und dem ersten äquivalenten Kriterium wird ausschließlich auf die innere Struktur der Untergruppe Bezug genommen. Im zweiten und dritten äquivalenten Kriterium werden Elemente außerhalb der Untergruppe mit einbezogen, wobei das dritte Kriterium ohne Inversenbildung formuliert ist und daher für Matrixgruppen anwendbar wird, bei denen die Inversenbildung aufwändig ist.
Beispiele
- Die ganzen
Zahlen
sind bezüglich der Addition eine Untergruppe der rationalen Zahlen
.
- Jede Untergruppe von
hat die Form
- Die Menge der Permutationen
(Zyklenschreibweise) ist eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe
.
- Die Gruppe der
-Matrizen mit Determinante 1 ist Untergruppe der Gruppe der invertierbaren Matrizen.
Spezielle Untergruppen
- Von einer Gruppe
sind stets
selbst sowie die einelementige Gruppe
Untergruppen. Diese werden die trivialen Untergruppen von
genannt. Im Fall
sind diese beiden Untergruppen gleich und stellen die einzige Untergruppe dar. Alle anderen Gruppen
haben mindestens zwei Untergruppen, nämlich die beiden voneinander verschiedenen trivialen.
- Eine von
verschiedene Untergruppe
wird echte Untergruppe genannt, in Kurzschreibweise
.
- Untergruppen, die unter der Konjugation in sich abgebildet werden, heißen Normalteiler. Mit ihnen können Faktorgruppen gebildet werden.
- Untergruppen, die unter allen Automorphismen der Gruppe in sich abgebildet werden, heißen charakteristische Untergruppen. Offenbar sind charakteristische Untergruppen Normalteiler.
Eigenschaften
Das neutrale Element einer Gruppe ist das neutrale Element jeder Untergruppe und somit ist es insbesondere in jeder Untergruppe enthalten.
Der Durchschnitt einer Familie von Untergruppen einer Gruppe
ist eine Untergruppe von
.
Die Untergruppenrelation ist transitiv.
Das heißt, wenn
Untergruppe einer Gruppe
ist, die ihrerseits Untergruppe von
ist, dann ist
auch Untergruppe von
.
Kurz gilt also
Zu beachten ist, dass die entsprechende Aussage für Normalteiler nicht gilt.
Der Satz
von Lagrange liefert für endliche Gruppen ein notwendiges Kriterium für die
Existenz einer Untergruppe mit einer bestimmten Ordnung. Aus ihm folgt
nämlich, dass die Ordnung einer Untergruppe
einer endlichen
Gruppe
die Ordnung der Gruppe
teilt. Ist beispielsweise
eine Primzahl, so kann die Ordnung einer Untergruppe
nur 1 oder
betragen. Also sind in diesem Falle die trivialen Untergruppen die einzigen
Untergruppen von
.
Weitere Aussagen über die Existenz bestimmter Untergruppen mit einer bestimmten
Ordnung
erhält man aus den Sylow-Sätzen.
Ist
eine Primzahl und
ein Teiler der Gruppenordnung, so gibt es Untergruppen der Ordnung
.
Die 12-elementige alternierende
Gruppe A4 hat keine Untergruppe der Ordnung 6.
Erzeugte Untergruppen
Da der Durchschnitt von Untergruppen wieder eine Untergruppe ist, gibt es zu
jeder Teilmenge
einer Gruppe
eine bezüglich der Inklusion minimale Untergruppe
von
,
die
enthält. Diese Untergruppe wird mit
bezeichnet und die von
erzeugte
Untergruppe
von
genannt. Abstrakt definiert man also
Man kann zeigen, dass die Elemente von
genau die Elemente von
sind, welche man durch Verknüpfungen von endlich vielen
erhält. Hierbei bezeichnet
die Menge der Inversen der Elemente von
.
Es gilt also:
Gilt für eine Untergruppe ,
dass
,
so heißt
ein Erzeugendensystem von
.
Das Erzeugendensystem einer Untergruppe ist nicht eindeutig.
Eine Untergruppe ,
welche ein endliches Erzeugendensystem besitzt, wird als endlich erzeugte Gruppe
bezeichnet. Besitzt
ein Erzeugendensystem aus einem Element
,
so heißt
zyklisch
und man schreibt
.
Will man
explizit durch seine Elemente beschreiben, so erhält man:
,
Die Gruppenordnung
heißt die Ordnung
des erzeugenden Elements
.
Die Menge aller Untergruppen einer Gruppe
bildet einen vollständigen
Verband, den Untergruppenverband. Die beiden trivialen Untergruppen
und
entsprechen dem Null- bzw. dem Einselement des Verbandes. Dabei sind die
Verbandsoperationen
(Durchschnitt),
(von der Vereinigung erzeugte Untergruppe).



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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 26.08. 2017