Untergruppe

In der Gruppentheorie der Mathematik ist eine Untergruppe $(U, \circ)$ einer Gruppe $(G, \circ)$ eine Teilmenge von , die bezüglich der Verknüpfung $\circ$ selbst wieder eine Gruppe ist. Es gibt die Kurzschreibweise $U\leq G$ , zu lesen als " ist Untergruppe von ".

Die Gruppe $(G, \circ)$ heißt Obergruppe der Untergruppe $(U, \circ)$ , in Zeichen $G \geq U$ .

Untergruppen sind die Unterstrukturen in der Gruppentheorie.

Äquivalente Definitionen

Eine nichtleere Teilmenge von bildet genau dann eine Untergruppe $(U, \circ)$ von $(G, \circ)$ , wenn zu zwei beliebigen Elementen in auch deren Verknüpfung in ist, und zu jedem Element in auch dessen Inverses in ist:

$a,b \in U \Rightarrow a \circ b \in U$
$a \in U \Rightarrow a^{-1} \in U$

Dann enthält nämlich auch ein neutrales Element, welches mit dem von übereinstimmt.

Weitere äquivalente Kriterien: Die nichtleere Teilmenge von ist genau dann eine Untergruppe von ,

wenn für alle $a,b \in U \Rightarrow a \circ b^{-1} \in U$ gilt.
wenn $a\sim b:\Longleftrightarrow a\circ b^{-1}\in U$ eine Äquivalenzrelation auf ist.
wenn für alle $a\in U, b\notin U\Rightarrow a\circ b\notin U$ gilt.

Je nach Art der Verknüpfung können verschiedene Kriterien zum Nachweis der Untergruppeneigenschaft von Vorteil sein. In der Definition und dem ersten äquivalenten Kriterium wird ausschließlich auf die innere Struktur der Untergruppe Bezug genommen. Im zweiten und dritten äquivalenten Kriterium werden Elemente außerhalb der Untergruppe mit einbezogen, wobei das dritte Kriterium ohne Inversenbildung formuliert ist und daher für Matrixgruppen anwendbar wird, bei denen die Inversenbildung aufwändig ist.

Beispiele

Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ sind bezüglich der Addition eine Untergruppe der rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ .
Jede Untergruppe von $(\Z,+)$ hat die Form $n\Z := \{nm| m\in \Z\}$
Die Menge der Permutationen $\{\mbox{id}, (1\ 3\ 2), (1\ 2\ 3)\}$ (Zyklenschreibweise) ist eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe .
Die Gruppe der $n\times n$ -Matrizen mit Determinante 1 ist Untergruppe der Gruppe der invertierbaren Matrizen.

Spezielle Untergruppen

Von einer Gruppe sind stets selbst sowie die einelementige Gruppe $\{e\}$ Untergruppen. Diese werden die trivialen Untergruppen von genannt. Im Fall $G=\{e\}$ sind diese beiden Untergruppen gleich und stellen die einzige Untergruppe dar. Alle anderen Gruppen $G\neq\{e\}$ haben mindestens zwei Untergruppen, nämlich die beiden voneinander verschiedenen trivialen.
Eine von verschiedene Untergruppe wird echte Untergruppe genannt, in Kurzschreibweise .
Untergruppen, die unter der Konjugation in sich abgebildet werden, heißen Normalteiler. Mit ihnen können Faktorgruppen gebildet werden.
Untergruppen, die unter allen Automorphismen der Gruppe in sich abgebildet werden, heißen charakteristische Untergruppen. Offenbar sind charakteristische Untergruppen Normalteiler.

Eigenschaften

Das neutrale Element einer Gruppe ist das neutrale Element jeder Untergruppe und somit ist es insbesondere in jeder Untergruppe enthalten.

Der Durchschnitt einer Familie von Untergruppen einer Gruppe ist eine Untergruppe von .

Die Untergruppenrelation ist transitiv. Das heißt, wenn Untergruppe einer Gruppe ist, die ihrerseits Untergruppe von ist, dann ist auch Untergruppe von . Kurz gilt also

$A\leq B, B\leq C\Rightarrow A\leq C$

Zu beachten ist, dass die entsprechende Aussage für Normalteiler nicht gilt.

Der Satz von Lagrange liefert für endliche Gruppen ein notwendiges Kriterium für die Existenz einer Untergruppe mit einer bestimmten Ordnung. Aus ihm folgt nämlich, dass die Ordnung einer Untergruppe einer endlichen Gruppe die Ordnung der Gruppe teilt. Ist beispielsweise |G| eine Primzahl, so kann die Ordnung einer Untergruppe nur 1 oder |G| betragen. Also sind in diesem Falle die trivialen Untergruppen die einzigen Untergruppen von . Weitere Aussagen über die Existenz bestimmter Untergruppen mit einer bestimmten Ordnung erhält man aus den Sylow-Sätzen. Ist eine Primzahl und p^n ein Teiler der Gruppenordnung, so gibt es Untergruppen der Ordnung $p^k, 0\le k \le n$ . Die 12-elementige alternierende Gruppe A₄ hat keine Untergruppe der Ordnung 6.

Erzeugte Untergruppen

Da der Durchschnitt von Untergruppen wieder eine Untergruppe ist, gibt es zu jeder Teilmenge $E \subseteq G$ einer Gruppe $(G,\circ)$ eine bezüglich der Inklusion minimale Untergruppe von , die enthält. Diese Untergruppe wird mit $\langle E \rangle$ bezeichnet und die von erzeugte Untergruppe $\langle E \rangle$ von genannt. Abstrakt definiert man also

$\langle E \rangle := \bigcap_{E\subseteq U\leq G} U$

Man kann zeigen, dass die Elemente von $\langle E \rangle$ genau die Elemente von sind, welche man durch Verknüpfungen von endlich vielen $a_i \in E\cup E^{-1}$ erhält. Hierbei bezeichnet $E^{-1}$ die Menge der Inversen der Elemente von . Es gilt also:

$\langle E \rangle = \{ a_1 \circ a_2 \circ ... \circ a_n | a_1,\dotsc,a_n \in E\cup E^{-1}, n \in \N \}$

Gilt für eine Untergruppe , dass $U=\langle E \rangle$ , so heißt ein Erzeugendensystem von . Das Erzeugendensystem einer Untergruppe ist nicht eindeutig.

Eine Untergruppe , welche ein endliches Erzeugendensystem besitzt, wird als endlich erzeugte Gruppe bezeichnet. Besitzt ein Erzeugendensystem aus einem Element , so heißt zyklisch und man schreibt $U= \langle g \rangle :=\langle \{ g \} \rangle$ . Will man $\langle g \rangle$ explizit durch seine Elemente beschreiben, so erhält man:

$\langle g \rangle := \{ g^z | z \in \Z \}$ ,

Die Gruppenordnung $| \langle g \rangle |$ heißt die Ordnung des erzeugenden Elements .

Die Menge aller Untergruppen einer Gruppe bildet einen vollständigen Verband, den Untergruppenverband. Die beiden trivialen Untergruppen $\{e\}$ und entsprechen dem Null- bzw. dem Einselement des Verbandes. Dabei sind die Verbandsoperationen

$U \land V = U\cap V$ (Durchschnitt),

$U \lor V = \langle U \cup V\rangle$ (von der Vereinigung erzeugte Untergruppe).

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de