Ordnung eines Gruppenelementes

Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie versteht man unter der Ordnung eines Gruppenelementes oder Elementordnung eines Elements einer Gruppe $(G, \cdot)$ die kleinste natürliche Zahl n>0 , für die $g^{n}=e$ gilt, wobei das neutrale Element der Gruppe ist. Gibt es keine derartige Zahl, so sagt man, habe unendliche Ordnung. Elemente endlicher Ordnung werden auch Torsionselemente genannt. Die Ordnung wird manchmal mit $\operatorname {ord}(g)$ oder $\operatorname {o} (g)$ bezeichnet.

Die Potenz $g^{n}$ eines Gruppenelementes ist dabei für natürliche Hochzahlen $n \ge 0$ induktiv definiert:

$g^{0}:=e$
$g^{k+1}:=g^{k}\cdot g$ für alle natürlichen $k\geq 0$

Die Zahl $\exp(G):=\operatorname {kgV} \left\{\operatorname {ord} (g)\,|\,g\in G\right\}$ wird, wenn sie endlich ist, Gruppenexponent genannt.

Eigenschaften

Nach dem Satz von Lagrange haben alle Elemente einer endlichen Gruppe eine endliche Ordnung, die ein Teiler der Gruppenordnung, d.h. der Anzahl der Elemente der Gruppe, ist.
Umgekehrt existiert in einer endlichen Gruppe nach dem Satz von Cauchy zu jedem Prim teiler der Gruppenordnung ein Element, das die Ordnung hat. Für zusammengesetzte Teiler ist keine allgemeine Aussage möglich (während zum trivialen Teiler 1 das neutrale Element $e=e^{1}$ gehört).
Die Ordnung eines Elementes ist gleich der Ordnung der Untergruppe, die von diesem Element erzeugt wird.
Es gilt $g^{d}=e$ genau dann, wenn ein Vielfaches der Ordnung $\operatorname {ord}(g)$ des Elements ist.
In abelschen Gruppen ist die Ordnung des Produktes $g\cdot h$ ein Teiler des kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Ordnungen von und . In nichtabelschen Gruppen ist keine derartige Aussage möglich; beispielsweise hat das Element $\left[\!{\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}}\!\right]$ der Gruppe SL₂(Z) unendliche Ordnung, obwohl es das Produkt der Elemente $\left[\!{\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0\end{smallmatrix}}\!\right]$ mit der Ordnung 4 und $\left[\!{\begin{smallmatrix}0&-1\\1&1\end{smallmatrix}}\!\right]$ mit der Ordnung 6 ist.

Basierend auf einem Artikel in:

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