Teilbarkeit

Teilbarkeit ist eine mathematische Beziehung zwischen zwei ganzen Zahlen. Eine ganze Zahl ist durch eine andere ganze Zahl teilbar, wenn bei der Division kein Rest verbleibt, also die „Geteilt-Rechnung aufgeht“.

So ist beispielsweise die Zahl 8 durch 4 teilbar, da 8 : 4 genau 2 ergibt; somit ist 4, aber auch 2, Teiler von 8. Dagegen ist die Zahl 9 nicht durch 4 teilbar, weil die 4 zweimal in die 9 „geht“, aber ein Rest von 1 übrig bleibt.

Die Zahl 11 hat nur zwei Teiler: 1 und die Zahl 11 selbst. Solche Zahlen nennt man Primzahlen. Die Zahl 12 dagegen hat viele Teiler: 1, 2, 3, 4, 6 und 12. Solche Zahlen nennt man hochzusammengesetzte Zahlen.

Die Funktion, die einer natürlichen Zahl n die Anzahl ihrer Teiler zuordnet, ist eine zahlentheoretische Funktion (die Teileranzahlfunktion). In der elementaren Zahlentheorie ist der Begriff Teilbarkeit auf natürliche Zahlen beschränkt.

In der Algebra dagegen wird der Begriff Teilbarkeit auf Integritätsringe, kommutative Ringe und nicht-kommutative Ringe erweitert.

Formale Definition

Eine ganze Zahl a teilt eine ganze Zahl b genau dann, wenn es eine ganze Zahl n gibt, für die a \cdot n = b ist. Man sagt dann „a ist Teiler von b“, „a teilt b“, „b ist teilbar durch a“, oder „b ist ein Vielfaches von a“ und schreibt formal:

a\mid b.

Für das Gegenteil, wenn es also keine ganze Zahl n gibt, für die a \cdot n = b ist, schreibt man:

a \nmid b.

Insbesondere für Primzahlpotenzen gibt es die Sprechweise: p^{n} teilt die ganze Zahl b exakt, geschrieben

{\displaystyle p^{n}\parallel b,}

wenn {\displaystyle p^{n}} die größte Potenz der Primzahl p ist, die b teilt, in Formeln: {\displaystyle p^{n}\mid b\;\;\wedge \;\;p^{n+1}\nmid b} ; Beispiel: {\displaystyle 8\parallel 40.} Die exakte Teilbarkeit von b durch {\displaystyle p^{n}=:a} hat die Teilerfremdheit von {\displaystyle {\tfrac {b}{a}}} und a zur Folge, in Formeln: {\displaystyle \operatorname {ggT} ({\tfrac {b}{a}},a)=1.} Die letztere Definition geht über Primzahlpotenzen hinaus; Beispiel: {\displaystyle 40\parallel 120.}

Folgerungen

Da 0\cdot n = 0 für alle n gilt, ist {\displaystyle 0} ein Teiler von {\displaystyle 0} und von keiner anderen Zahl, also {\displaystyle 0\nmid b} für jedes {\displaystyle b\neq 0.}

Schreibt man denselben Sachverhalt in der Form a\cdot 0=0, so erkennt man, dass jede Zahl a ein Teiler von {\displaystyle 0} ist.

Die 1 ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. die Multiplikation mit 1 ändert einen Ausgangswert nicht. Zu den Elementen e=\pm 1 gibt es ein multiplikatives Inverses, nämlich ein Element e' \; (=e) mit e \cdot e'= 1. Solche Elemente werden Einheiten des Rings genannt. Einheiten sind triviale Teiler einer jeden ganzen Zahl. Die Einheiten des Rings \mathbb {Z} der ganzen Zahlen sind gerade die Zahlen \pm 1. (Die Einheiten eines Rings bilden eine multiplikative Gruppe.)

Es gelte a\mid b und b \neq 0. Ist a keiner der trivialen Teiler \pm 1, \pm b, so nennt man a einen nichttrivialen Teiler oder echten Teiler von b. Eine ganze Zahl, die nicht Einheit ist und die nur die trivialen Teiler besitzt, nennt man Primelement und, wenn sie  >1 ist, Primzahl. Ist a eine Primzahl, so heißt a Primteiler oder Primfaktor von b.

Die Menge aller Teiler einer natürlichen Zahl n nennt man die „Teilermenge von n“. Die Quasiordnung der Teilbarkeit induziert auf ihr die Struktur eines Verbandes, man spricht deshalb auch vom „Teilerverband von n“.

Die Menge aller Vielfachen einer natürlichen Zahl n heißt entsprechend Vielfachenmenge. Bei den ganzen Zahlen \mathbb {Z} ist die Mächtigkeit dieser Menge abzählbar unendlich.

Eigenschaften der Teilbarkeit

Seien a, b, c und d ganze Zahlen.

Die natürlichen Zahlen \mathbb {N} _{0} sind mit der Teilbarkeitsrelation eine quasigeordnete Menge, sogar ein vollständiger distributiver Verband, dessen Verknüpfungen durch kgV und ggT gegeben sind. Das kleinste Element ist die 1 (1 teilt jedes andere), das größte ist die {\displaystyle 0} ({\displaystyle 0} wird von jedem anderen geteilt).

Teilbarkeitsregeln im Dezimalsystem

Siehe auch: Dezimalsystem

Zweier-Potenzen

Fünfer-Potenzen

Zehner-Potenzen

Produkte aus Zweier- und Fünfer-Potenzen

Teilbarkeitsregeln basierend auf Quersummen

Will man für eine Zahl x eine Teilbarkeitsregel mit Quersummen aufstellen, so sucht man nach einem Vielfachen, das entweder 10^n-1 oder 10^n+1 für ein beliebiges n ist. Im ersten Fall kann die Teilbarkeit mit der nichtalternierenden n-Quersumme, im zweiten Fall mit der alternierenden n-Quersumme überprüft werden.

Entsprechende Faktoren existieren für alle Zahlen, die mit 10 teilerfremd sind. Allerdings ist die Prüfung zum Teil schon für relativ kleine Zahlen unpraktisch (siehe zum Beispiel die unten angegebenen Regeln für Teilbarkeit durch 17 und 19).

Teilbarkeitsregeln basierend auf nichtalternierenden Quersummen

Ist 10^n-1 ein Vielfaches der betrachteten Zahl x, dann gilt die Teilbarkeitsregel: „Eine Zahl ist genau dann durch x teilbar, wenn ihre nichtalternierende n-Quersumme durch x teilbar ist.“

Beispielsweise ist 9=10^1-1 ein Vielfaches von 3, so dass die Teilbarkeit durch 3 anhand der (1er-)Quersumme geprüft werden kann.

Die Quersumme muss nicht vollständig berechnet werden, sondern es genügt, den Rest einer Ziffer (oder Zifferngruppe) bei Division durch x zu berücksichtigen. Es kann auch nach jeder Addition der Rest bei Division durch x berechnet werden. Um z.B. zu ermitteln, ob 7654 durch 3 teilbar ist, kann man rechnen:

Da der im letzten Schritt berechnete Rest nicht Null ist, ist 7654 nicht durch 3 teilbar.

Teilbarkeitsregeln basierend auf alternierenden Quersummen

Ist hingegen 10^n+1 ein Vielfaches der betrachteten Zahl x, dann gilt die Teilbarkeitsregel: „Eine Zahl ist genau dann durch x teilbar, wenn ihre alternierende n-Quersumme durch x teilbar ist.“

Betrachtet man beispielsweise die Zahl 7, so kann man durch Ausprobieren sehen, dass 7 \cdot 143 = 1001 = 10^3+1. Daraus ergibt sich dann die Teilbarkeitsregel mit einer alternierenden 3er-Quersumme.

Teilbarkeit durch 7

Neben der schon genannten Teilbarkeitsregel mittels der alternierenden 3er-Quersumme gibt es für die 7 weitere, teils einfachere, Teilbarkeitsregeln. Diese ergeben sich aus der Betrachtung von Vielfachen der Zahl, die nah an 10er-Potenzen liegen, also beispielsweise im nächsten Beispiel {\displaystyle 14\cdot 7=98}. Man zieht wiederholt 98 ab, wodurch sich die Hunderter um 1 verringern, die Einer aber um zwei erhöhten ({\displaystyle 98=100-2}). Im Babylonischen Talmud findet sich die Teilbarkeitsregel, bei der man letztlich nur überprüfen muss, ob eine zweistellige Zahl durch 7 teilbar ist, in folgender Form: Eine Zahl wird an der vorletzten Stelle in zwei Teile aufgespalten. Die Ziffern vor der vorletzten Stelle bilden die Zahl a und die letzten beiden Ziffern die Zahl b. 3815 wird beispielsweise in die Zahlen a = 38 und b = 15 zerlegt. Nun zählt man b und das Doppelte von a zusammen. Ist die Summe durch 7 teilbar, so ist auch die ursprüngliche Zahl durch 7 teilbar. Für 3815 erhält man so 2 \cdot a + b = 2 \cdot 38 + 15 = 91. Da 91 durch 7 teilbar ist, ist auch 3815 durch 7 teilbar. Bei sehr großen Zahlen kann man dieses Verfahren solange wiederholen, bis man irgendwann eine zweistellige Zahl erhält. Um die Gültigkeit der Teilbarkeitsregel zu zeigen, betrachtet man die Gleichung

n = 100 \cdot a + b = 98 \cdot a + 2 \cdot a + b

Da 98 und damit auch 98 \cdot a durch 7 teilbar ist, ist n genau dann durch 7 teilbar, wenn 2 \cdot a + b durch 7 teilbar ist.

Für eine weitere Teilbarkeitsregel spaltet man eine Zahl in ihre letzte Ziffer b und den Rest a auf. Zum Beispiel 3815 in die Zahlen a=381 und b=5. Dann gilt folgender Satz:

Eine Zahl n = 10 \cdot a + b ist genau dann durch 7 teilbar, wenn ihr Doppeltes 2 \cdot n = 20 \cdot a + 2 \cdot b = 21 \cdot a - (a - 2 \cdot b) durch 7 teilbar ist, weswegen man lediglich die Teilbarkeit von a - 2 \cdot b prüfen muss.

Für 3815 muss man also überprüfen, ob 381 - 2 \cdot 5 = 371 durch 7 teilbar ist. Dazu kann man 371 wieder in 37 und 1 zerlegen. Da 37 - 2 \cdot 1 = 35 = 5 \cdot 7 durch 7 teilbar ist, sind auch 371 und 3815 durch 7 teilbar. Die Begründung dieser Methode ist, dass 21 durch 7 teilbar ist und um die Einer am Ende der Zahl auf 0 zu bringen, für jeden Einer zwei Zehner abgezogen werden müssen. Danach teilt man die entstehende Zahl dann noch durch Zehn. Ist die Zahl durch 21 teilbar, so ist der Rest bei dieser Methode also 0.

Man kann eine Zahl n auch vor der drittletzten Ziffer spalten, so dass die letzten drei Ziffern die Zahl a und die Ziffern davor die Zahl b bilden. Dann zieht man b von a ab und prüft, ob diese Differenz durch 7 teilbar ist. Da

n = 1000 \cdot b + a = 1001 \cdot b + (a-b)

und 1001 \cdot b durch 7 teilbar ist, ist n genau dann durch 7 teilbar, wenn a-b durch 7 teilbar ist.

Teilbarkeit durch 17

Ein Verfahren, um die Teilbarkeit durch 17 festzustellen, beruht auf der Identität 17 · 6 = 102. Deswegen gilt

100 \cdot a + b = 102 \cdot a - 2 \cdot a + b \equiv -2 \cdot a +b \mod 17

Man spaltet also die zu prüfende Zahl n vor der vorletzten Stelle in zwei Teile, nimmt das Doppelte des linken Teils und zieht den rechten Teil ab (oder umgekehrt). Ist das Resultat durch 17 teilbar, so gilt dies auch für n.

Beispiel: 5831 = 17 \cdot 343. Also 2 \cdot 58 - 31 = 85, was durch 17 teilbar ist.

Teilbarkeit durch 19

Um die Teilbarkeit durch 19 zu überprüfen, spaltet man eine Zahl in ihre letzte Ziffer b und den Rest a auf. Zum Beispiel 7904 in die Zahlen a=790 und b=4. Dann gilt folgender Satz:

Eine Zahl 10 \cdot a + b ist genau dann durch 19 teilbar, wenn a + 2 \cdot b durch 19 teilbar ist.

Für 7904 muss man also überprüfen, ob 798 = 790 + 2 \cdot 4 durch 19 teilbar ist. Dazu kann man 798 wieder in 79 und 8 zerlegen. Da 79 + 2 \cdot 8 = 95 = 5 \cdot 19 durch 19 teilbar ist, sind auch 798 und 7904 durch 19 teilbar.

Teilbarkeitsregeln für beliebige Zahlen

Um die Teilbarkeit durch eine beliebige Zahl n zu überprüfen, verwendet man deren Primfaktorzerlegung. Man überprüft dann die Teilbarkeit durch die einzelnen Primzahlpotenzen dieser Zerlegung.

Beispielsweise ist eine Zahl genau dann durch 75 = 3 \cdot 5^2 teilbar, wenn sie durch 5^2 = 25 und 3 teilbar ist. Das heißt, ihre letzten beiden Ziffern müssen 00, 25, 50 oder 75 sein und die Quersumme durch drei teilbar sein. Bei multiplikativ zusammengesetzten Zahlen ist die Teilbarkeit eines beliebigen Teilfaktors hinreichend, so ist bspw. {\displaystyle ((-1)^{n}+2^{(1+n)})\cdot (1+(-1)^{n}\cdot 2^{(2+n)}+5\cdot 2^{(3+2n)})\cdot (1+(-1)^{n}\cdot 2^{(2+n)}-2^{(5+2n)}),0\leq n} durch 5 teilbar, wobei hier die Teilbarkeit der drei Faktoren 4-zyklisch in n ist.

Teilbarkeitsregeln in beliebigen Zahlensystemen

In einem Zahlensystem zur Basis B lassen sich Teilbarkeitsregeln für Teiler T finden, die sich in eine teilerfremde Faktorenzerlegung möglichst kleiner Zahlen zerlegen lässt, die Teiler von B^{n}, B^n - 1 oder B^n + 1 sind. n sollte dabei möglichst klein sein, für Kopfrechnen sind nur Werte bis maximal 4 sinnvoll.

{\displaystyle B=2}: Teiler 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 15, 16, 17, 21, 31, 32, 33, 63, 64, 65, …
{\displaystyle B=3}: Teiler 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 13, 14, 16, 20, 26, 27, 28, 40, 41, 80, 81, 82, …
{\displaystyle B=4}: siehe {\displaystyle B=2}
{\displaystyle B=5}: Teiler 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 18, 24, 25, 26, 31, 39, 62, 63, 78, 124, 125, 126, 156, 312, 313, 624, 625, 626, …

Die folgenden Teilbarkeitsregeln benutzen andere Stellenwertsysteme:

Weitere Teilbarkeitseigenschaften findet man im Artikel Kongruenz (Zahlentheorie).

Verallgemeinerung des Teilbarkeitsbegriffs

Kommutative Ringe

Der Teilbarkeitsbegriff wird auch wesentlich allgemeiner in kommutativen Ringen betrachtet. Die Definition von Teilbarkeit in natürlichen und ganzen Zahlen wird hier direkt übernommen:

Es sei R ein kommutativer Ring. Sind a, b \in R Ringelemente, dann ist a ein Teiler von b, falls ein weiteres Ringelement n \in R mit a \cdot n = b existiert.

In Ringen teilt a genau dann b, wenn das von a erzeugte Hauptideal (a) das von (b) erzeugte umfasst, formal: a \mid b \Leftrightarrow (a) \supseteq (b).

Ein einfaches Beispiel aus den ganzen Zahlen: Das von 2 erzeugte Hauptideal (2) ist die Menge aller Vielfachen von 2, (4) dementsprechend die Menge aller Vielfachen von 4. (2) \supseteq (4), also ist 2 ein Teiler von 4.

Die fruchtbarsten Teilbarkeitseigenschaften erhält man in Integritätsringen, das sind nullteilerfreie kommutative unitäre Ringe.

Nicht-kommutative Ringe

Bei nicht-kommutativen Ringen R \, muss man bei der Teiler- und Vielfachen-Eigenschaft die Seitigkeit (linke, rechte oder zweiseitige) mit angeben. Dies lässt sich mit dem einfachen Teilbarkeitssymbol „\mid“ (dessen symmetrische Gestalt schon einer Spiegelung mit inverser Bedeutung im Wege steht) des kommutativen Falls nicht mehr ausdrücken.

Von zwei Elementen a,b\in R heißt a \, linker Teiler von b \, , falls ein x\in R mit b=a\cdot x existiert. Dann ist auch b \, rechtes Vielfaches von a \, . Diese Teilbarkeit entspricht der Inklusion der Rechtsideale b \cdot R \subseteq a \cdot R. Entsprechend definiert man rechten Teiler, linkes Vielfaches und, wenn für links wie rechts gültig, auch zweiseitigen Teiler, zweiseitiges Vielfaches.

Körper

In Strukturen, in denen auch eine allgemeine Division als Umkehr der Multiplikation möglich ist (Körper und Schiefkörper), wie beispielsweise in den reellen Zahlen, ist die Theorie der Teilbarkeit trivial: Jede Zahl (bzw. jedes Körper-Element) ist durch jede andere Zahl außer {\displaystyle 0} teilbar, d.h. auch: alle von 0 verschiedenen Elemente sind Einheiten.

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 01.01. 2022