Kleinstes gemeinsames Vielfaches
Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist ein mathematischer Begriff. Sein Pendant ist der größte gemeinsame Teiler (ggT). Beide spielen unter anderem in der Bruchrechnung und der Zahlentheorie eine Rolle.
Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier ganzer
Zahlen
und
ist die kleinste positive
natürliche
Zahl, die sowohl Vielfaches
von
als auch Vielfaches von
ist. Zusätzlich wird für den Fall
oder
das kgV definiert als
.
Die englische Bezeichnung lcm (least common multiple) für das kgV ist in mathematischen Texten ebenfalls verbreitet.
Beispiel zur kgV-Berechnung
- Die Vielfachen von 12 sind: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, …
- Die Vielfachen von 18 sind: 18, 36, 54, 72, 90, 108, …
- Die gemeinsamen Vielfachen von 12 und 18 sind also 36, 72, 108, …
- und das kleinste von diesen ist 36; in Zeichen:
Berechnung über die Primfaktorzerlegung
ggT und kgV kann man über die Primfaktorzerlegung der beiden gegebenen Zahlen bestimmen. Beispiel:
Für das kgV nimmt man die Primfaktoren, die in mindestens einer der beiden Zerlegungen vorkommen, und als zugehörigen Exponenten den jeweils größeren der Ausgangsexponenten:
Das kgV von mehreren Zahlen
Man verwendet alle Primfaktoren, die in mindestens einer der Zahlen vorkommen, mit der jeweils höchsten vorkommenden Potenz, zum Beispiel:
also:
Man könnte auch zunächst
berechnen und danach
denn als eine zweistellige Verknüpfung
auf den natürlichen Zahlen ist das kgV assoziativ:
Dies rechtfertigt die Schreibweise
Anwendungen
Bruchrechnung
Angenommen, man möchte die Brüche
und
addieren. Dazu müssen diese durch Erweitern
auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Man könnte natürlich einfach
mit
multiplizieren, was
ergibt. Der kleinstmögliche gemeinsame Nenner (der sog. Hauptnenner) ist aber
.
Die beiden Brüche werden auf diesen Nenner erweitert und dann addiert:
Anwendungen in weiteren algebraischen Strukturen
Das
lässt sich nicht nur für natürliche (und ganze) Zahlen definieren. Man kann es
z. B. auch für Polynome bilden. Statt der Primfaktorzerlegung
nimmt man hier die Zerlegung in irreduzible
Faktoren:
Dann ist
.
Die Division mit Rest, die auch für Polynome existiert, erleichtert das Auffinden von gemeinsamen Teilern.
Analog zum ggT ist das
definiert: Ein Ringelement
heißt kleinstes gemeinsames Vielfaches zweier Ringelemente
und
,
wenn
ein gemeinsames Vielfaches von
und
ist und seinerseits jedes andere gemeinsame Vielfache von
und
ein Vielfaches von
ist.
Formal schreibt man diese Definition für einen Ring
so:
Diese allgemeinere Definition lässt sich auf mehrere Zahlen ausweiten (sogar auf unendlich viele).
Beispiele
Gaußscher Zahlenring
Im gaußschen
Zahlenring
ist der größte gemeinsame Teiler von
und
gerade
,
denn
und
.
Genau genommen ist
ein größter gemeinsamer Teiler, da alle zu dieser Zahl assoziierten
Zahlen ebenfalls größte gemeinsame Teiler sind.
Nicht in jedem Ring existiert für zwei Elemente ein ggT oder ein kgV. Wenn
sie einen ggT haben, können sie mehrere ggT haben. Ist der Ring ein Integritätsring,
dann sind alle ggT zueinander assoziiert,
in Zeichen .
Ist
ein Integritätsring und haben die Elemente
und
ein kgV, dann haben sie auch einen ggT, und es gilt die Gleichung
Ist jedoch nur bekannt, dass ein ggT von
und
existiert, dann muss nicht unbedingt auch ein kgV existieren.
Integritätsring
Im Integritätsring
haben die Elemente
keinen ggT: Die Elemente
und
sind zwei maximale gemeinsame Teiler, denn beide haben den gleichen Betrag.
Jedoch sind diese zwei Elemente nicht zueinander assoziiert, also gibt es keinen
ggT von
und
.
Die genannten Elemente
und
haben aber ihrerseits einen ggT, nämlich
.
Dagegen haben sie kein kgV, denn wenn
ein kgV wäre, dann folgt aus der „ggT-kgV-Gleichung“, dass
assoziiert zu
sein muss. Das gemeinsame Vielfache
ist jedoch kein Vielfaches von
,
also ist
kein kgV und die beiden Elemente haben gar kein kgV.
Ein Integritätsring, in dem je zwei Elemente einen ggT besitzen, heißt ggT-Ring oder ggT-Bereich. In einem ggT-Ring haben je zwei Elemente auch ein kgV.
In einem faktoriellen Ring haben je zwei Elemente einen ggT.
In einem euklidischen Ring lässt sich der ggT zweier Elemente mit dem euklidischen Algorithmus bestimmen.
Zusammenhang zwischen kgV und dem größten gemeinsamen Teiler
Es gilt die folgende Formel:
Damit lässt sich das kgV berechnen, falls der ggT (z. B. mit dem euklidischen Algorithmus) bereits bestimmt wurde. Umgekehrt kann man mit dieser Formel auch den ggT aus dem kgV berechnen.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 28.01. 2021