Assoziierte Elemente

Die assoziierten Elemente eines Rings sind ein Begriff aus der Teilbarkeitslehre in der Mathematik. Zwei Elemente a und b heißen assoziiert, wenn sie wechselseitig teilbar sind, wenn also „a teilt b“ und „b teilt a“ gleichzeitig erfüllt sind.

Definition

Kommutative Ringe

Zwei Elemente a,b eines Integritätsringes R (nullteilerfreier kommutativer Ring mit 1) heißen zueinander assoziiert, falls eine Einheit \epsilon mit b=a\cdot \epsilon existiert. Dies ist genau dann erfüllt, wenn sich a und b gegenseitig teilen, das heißt a\mid b und b\mid a erfüllt sind. Man schreibt auch a\sim b, oder a~{\hat  {=}}~b.

Nicht-kommutative Ringe

Zwei Elemente a,b eines nicht-kommutativen Rings R mit 1 heißen zueinander rechts assoziiert, falls eine Rechtseinheit \epsilon mit b=a\cdot \epsilon existiert. Dann ist sowohl b rechtes Vielfaches von a, das heißt a linker Teiler von b, als auch a rechtes Vielfaches von b.

Entsprechend definiert man links assoziiert mit einer Linkseinheit und linken Vielfachen. Sind zwei Elemente a,b\, sowohl links wie rechts assoziiert, gelten sie als zweiseitig assoziiert.

Darüber hinaus lassen sich zwei Elemente a,b\in R als erweitert assoziiert definieren, wenn es 2 Einheiten \delta ,\epsilon mit b=\delta \cdot a\cdot \epsilon gibt. Dann stehen a,b zwar nicht notwendigerweise in einer Teilbarkeitsbeziehung, es folgt jedoch aus zweiseitig assoziiert sowohl links assoziiert wie rechts assoziiert und sowohl aus links assoziiert wie aus rechts assoziiert noch erweitert assoziiert.

Bemerkung:

Im nicht-kommutativen Fall muss man bei der Teiler- und Vielfachen-Eigenschaft die Seitigkeit (linke, rechte) benennen, was das einfache Teilbarkeitssymbol (dessen symmetrische Gestalt schon einer Spiegelung mit inverser Bedeutung im Wege steht) des kommutativen Falls nicht ausdrücken kann.

Eigenschaften

Assoziiertheit ist eine Äquivalenzrelation (auch die drei Formen einschließlich der erweiterten im nicht-kommutativen Fall). Sie ist mit der Teilerrelation (im nicht-kommutativen Fall in der richtig gewählten Seitigkeit) verträglich, das heißt für seitig assoziierte Elemente a,b sind die Teiler bzw. Vielfachen von a genau die Teiler bzw. Vielfachen von b.

In einem Integritätsring sind zwei Elemente genau dann assoziiert, wenn sie dasselbe Hauptideal erzeugen.

Beispiele

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 02.02. 2020