Polynom

Ein Polynom summiert die Vielfachen von Potenzen einer Variablen bzw. Unbestimmten:

{\displaystyle P(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dotsb +a_{n}x^{n},\quad n\geq 0}

oder kurz mit dem Summenzeichen:

{\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i},\quad n\geq 0}

Dabei ist {\displaystyle \textstyle \sum } das Summenzeichen, die Zahlen a_{i} sind die jeweiligen Vielfachen und x ist die Unbestimmte.

Exponenten der Potenzen sind natürliche Zahlen. Die Summe ist außerdem stets endlich. Unendliche Summen von Vielfachen von Potenzen mit natürlichzahligen Exponenten einer Unbestimmten heißen formale Potenzreihen.

In der elementaren Algebra identifiziert man diesen Ausdruck mit einer Funktion in x (einer Polynomfunktion). In der abstrakten Algebra unterscheidet man streng zwischen einer Polynomfunktion und einem Polynom als Element eines Polynomrings. In der Schulmathematik wird eine Polynomfunktion oft auch als ganzrationale Funktion bezeichnet.

Dieser Artikel erklärt außerdem die mathematischen Begriffe: Leitkoeffizient, Normieren eines Polynoms und Absolutglied.

Etymologie

Das Wort Polynom bedeutet so viel wie „mehrnamig“. Es entstammt dem griech. πολύ polý „viel“ und όνομα onoma „Name“. Diese Bezeichnung geht zurück bis auf Euklids Elemente. In Buch X nennt er eine zweigliedrige Summe a+b ἐκ δύο ὀνομάτων (ek dýo onomátōn): „aus zwei Namen (bestehend)“. Die Bezeichnung Polynom geht auf Viëta zurück: In seiner Isagoge (1591) verwendet er den Ausdruck polynomia magnitudo für eine mehrgliedrige Größe.

Polynome in der elementaren Algebra

Graph einer Polynomfunktion 5. Grades
Hauptartikel: Polynomfunktion

Im Gegensatz zur abstrakten Algebra werden Polynome in der elementaren Algebra als Funktionen aufgefasst. Daher wird in diesem Abschnitt der Begriff Polynomfunktion anstatt Polynom verwendet.

Definition

In der elementaren Algebra ist eine Polynomfunktion eine Funktion P der Form

P(x) = \sum_{i=0}^n a_ix^i = a_0 + a_1x+ a_2x^2 + \dotsb + a_{n-1}x^{n-1} + a_nx^n , \quad n \ge 0,

wobei als Definitionsbereich für die (unabhängige) Variable x jede beliebige R-Algebra in Frage kommt, wenn R der Wertebereich der Koeffizienten ist (siehe unten). Häufig ist dieser jedoch die Menge der ganzen, der reellen oder der komplexen Zahlen. Die a_{i} stammen aus einem Ring R, zum Beispiel einem Körper oder einem Restklassenring, und werden Koeffizienten genannt.

 

Der Koeffizient a_{0} heißt Absolutglied. a_1x wird als lineares Glied bezeichnet, a_2x^2 als quadratisches Glied und a_3x^3 als kubisches.

Einfaches Beispiel

Durch

{\displaystyle P(x):=9x^{3}+x^{2}+7x-3{,}8}

ist ein Polynom dritten Grades gegeben (der höchste vorkommende Exponent ist 3). In diesem Beispiel ist 9 der Leitkoeffizient (als Faktor vor der höchsten Potenz von x), die weiteren Koeffizienten lauten: 1; 7 und −3,8.

Bezeichnung spezieller Polynomfunktionen

Polynome des Grades

Nullstellen

Als Nullstellen einer Polynomfunktion oder Wurzeln bzw. Lösungen einer Polynomgleichung werden jene Werte von x bezeichnet, für die der Funktionswert P(x) null ist, das heißt, die die Gleichung P(x)=0 erfüllen. Eine Polynomfunktion über einem Körper (oder allgemeiner einem Integritätsring) hat stets höchstens so viele Nullstellen, wie sein Grad angibt.

Weiterhin besagt der Fundamentalsatz der Algebra, dass eine komplexe Polynomfunktion (das heißt eine Polynomfunktion mit komplexen Koeffizienten) vom Grad n\geq 1 mindestens eine komplexe Nullstelle hat (reiner Existenzsatz). Dann gibt es genau n Nullstellen (Polynomdivision), wenn die Nullstellen entsprechend ihrer Vielfachheit gezählt werden. So ist beispielsweise die Nullstelle x=2 der Polynomfunktion (x-2)^2 eine doppelte. Im Ergebnis lässt sich jede komplexe Polynomfunktion positiven Grades in ein Produkt von Linearfaktoren zerlegen. Allgemein kann man zu jedem Körper K eine algebraische Körpererweiterung L finden, in der alle Polynome positiven Grades mit Koeffizienten in K als Polynome über L in Linearfaktoren zerfallen. In diesem Fall nennt man L den algebraischen Abschluss von K.

Die Nullstellen von Polynomen ersten, zweiten, dritten und vierten Grades lassen sich mit Formeln exakt berechnen (zum Beispiel durch die pq-Formel für quadratische Gleichungen), dagegen lassen sich Polynomfunktionen höheren Grades nur in Spezialfällen mit Hilfe von Wurzelzeichen exakt faktorisieren. Dies ist die Aussage der Satzes von Abel-Ruffini.

Polynome in der abstrakten Algebra

Hauptartikel: Polynomring

Definition

In der abstrakten Algebra definiert man ein Polynom als ein Element eines Polynomringes R[X]. Dieser wiederum ist die Erweiterung des Koeffizientenringes R durch ein unbestimmtes, (algebraisch) freies Element X. Damit enthält R[X] die Potenzen X^{n}, n\in \mathbb {N} und deren Linearkombinationen {\displaystyle \textstyle a_{0}+\sum _{k=1}^{n}a_{k}X^{k}} mit a_k\in R. Dies sind auch schon alle Elemente, d.h., jedes Polynom ist eindeutig durch die Folge

(a_0,a_1,\dots,a_n,0,0,\dots)\in R\times R\times R\times\dots

seiner Koeffizienten charakterisiert.

Konstruktion

Umgekehrt kann ein Modell des Polynomrings R[X] durch die Menge der endlichen Folgen in R\times R\times R\times\dots konstruiert werden. Dazu wird auf R[X] eine Addition „+“ als gliedweise Summe der Folgen und eine Multiplikation „\cdot “ durch Faltung der Folgen definiert. Ist also a=(a_n)_{n\in \N_0} und b=(b_n)_{n\in \N_0}, so ist

a+b:=(a_n+b_n)_{n\in \N_0}

und

 a\cdot b:=\left(\sum_{i=0}^{n} a_ib_{n-i}\right)_{n\in \N_0}=\left(\sum_{i+j=n} a_ib_j\right)_{n\in \N_0},

R[X] mit diesen Verknüpfungen ist nun selbst ein kommutativer Ring, der Polynomring (in einer Unbestimmten) über R.

Identifiziert man die Unbestimmte als Folge X:=(0,1,0,0,\dotsc), so dass X^2=X\cdot X=(0,0,1,0,0,\dotsc), X^3=X^2\cdot X=(0,0,0,1,0,0,\dotsc) etc., so kann jede Folge (a_0,a_1,a_2,\dotsc)\in R[X] wieder im intuitiven Sinne als Polynom dargestellt werden als

(a_0,a_1,a_2,\dotsc)
= a_0 + a_1\cdot X + a_2\cdot X^2 + \dotsb = a_0+\sum_{n\in\N_{>0}} a_n\cdot X^n.

Zusammenhang mit der analytischen Definition

Bedenkt man nun, dass nach der Voraussetzung eine natürliche Zahl n\in \N_0 existiert, so dass a_{i}=0 für alle i>n gilt, so lässt sich nach den obigen Überlegungen jedes Polynom f\in R[X] über einem kommutativen unitären Ring eindeutig schreiben als f=a_0 + a_1\cdot X + \dotsb + a_n\cdot X^n. Dabei ist f jedoch keine Funktion wie in der Analysis oder elementaren Algebra, sondern eine unendliche Folge (ein Element des Ringes R[X]) und X ist keine „Unbekannte“, sondern die Folge (0,1,0,0,\dotsc). Man kann jedoch f als „Muster“ benutzen, um danach eine Polynomfunktion (d.h. ein Polynom im gewöhnlichen analytischen Sinne) zu bilden. Dazu benutzt man den sogenannten Einsetzungshomomorphismus.

Man sollte allerdings beachten, dass verschiedene Polynome dieselbe Polynomfunktion induzieren können. Ist beispielsweise R der Restklassenring \mathbb Z/3\mathbb Z=\{\bar0,\bar1,\bar2\}, so induzieren die Polynome f,g \in (\mathbb Z/3\mathbb Z)[X]

f=X(X-\bar1)(X-\bar2)=X^3-\bar3X^2+\bar2X=X^3-X

und

das Nullpolynom g=0

beide die Nullabbildung 0\in \operatorname{Abb}\left(\mathbb Z/3\mathbb Z,\mathbb Z/3\mathbb Z\right), das heißt: f(x)=g(x)=\bar 0=0(x) für alle x\in\mathbb Z/3\mathbb Z.

Für Polynome über den reellen oder ganzen Zahlen oder allgemein jedem unendlichen Integritätsring ist ein Polynom jedoch durch die induzierte Polynomfunktion bestimmt.

Auch die Menge der Polynomfunktionen mit Werten in R bildet einen Ring (Unterring des Funktionenrings), der jedoch nur selten betrachtet wird. Es gibt einen natürlichen Ring-Homomorphismus von R[X] in den Ring der Polynomfunktionen, dessen Kern die Menge der Polynome ist, die die Nullfunktion induzieren.

Verallgemeinerungen

Polynome in mehreren Unbestimmten

Allgemein versteht man jede Summe von Monomen der Form a_{i_1,\dotsc,i_n}X_1^{i_1}\dotsm X_n^{i_n} als Polynom (in mehreren Unbestimmten):

P(X_1, \dotsc, X_n) = \sum_{i_1,\dotsc,i_n}a_{i_1,\dotsc,i_n}X_1^{i_1}\dotsm X_n^{i_n}
Lies: „Groß-p von Groß-x-1 bis Groß-x-n (ist) gleich die Summe über alle i-1 bis i-n von a-i-1-bis-i-n mal Groß-x-1 hoch i-1 bis Groß-x-n hoch i-n“

Durch eine Monomordnung ist es möglich die Monome in einem solchen Polynom anzuordnen und dadurch Begriffe wie Leitkoeffizient zu verallgemeinern.

Die Größe i_1+\dotsb+i_n heißt der Totalgrad eines Monoms X_1^{i_1}\dotsm X_n^{i_n}. Haben alle (nichtverschwindenden) Monome in einem Polynom denselben Totalgrad, so heißt es homogen. Der maximale Totalgrad aller nichtverschwindenden Monome ist der Grad des Polynoms.

Die maximale Anzahl der möglichen Monome eines bestimmten Grades ist

\binom{n+k-1}{k},
Lies: „n+k-1 über k“ oder „k aus n+k-1“

wobei n die Anzahl der vorkommenden Unbestimmten und k der Grad ist. Anschaulich wird hier ein Problem von Kombinationen mit Wiederholung (Zurücklegen) betrachtet.

Summiert man die Anzahl der möglichen Monome des Grades {\displaystyle 0} bis k, erhält man für die Anzahl der möglichen Monome in einem Polynom bestimmten Grades:

\binom{n+k}{k}
Lies: „n+k über k“ oder „k aus n+k“

Sind alle Unbestimmten in gewisser Weise „gleichberechtigt“, so heißt das Polynom symmetrisch. Gemeint ist: wenn das Polynom sich bei Vertauschungen der Unbestimmten nicht ändert.

Auch die Polynome in den n Unbestimmten X_1, \dotsc, X_nüber dem Ring R bilden einen Polynomring, geschrieben als R[X_1, \dotsc, X_n].

Formale Potenzreihen

Geht man zu unendlichen Reihen der Form

f = \sum_{i=0}^\infty a_i X^i
Lies: „f (ist) gleich die Summe von i gleich Null bis Unendlich von a-i (mal) (Groß-) x hoch i“

über, erhält man formale Potenzreihen.

Laurent-Polynome und Laurent-Reihen

Lässt man auch in einem Polynom auch negative Exponenten zu, so erhält man ein Laurent-Polynom. Entsprechend zu den formalen Potenzreihen können auch formale Laurent-Reihen betrachtet werden. Es handelt sich dabei um Objekte der Form

{\displaystyle f=\sum _{i=-N}^{\infty }a_{i}X^{i}.}
Lies: „f (ist) gleich die Summe von i gleich minus (Groß-) n bis Unendlich von a−i (mal) (Groß-) x hoch i“

Posynomialfunktionen

Lässt man mehrere Variablen und beliebige reelle Potenzen zu, so erhält man den Begriff der Posynomialfunktion.

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 05.07. 2021