Website durchsuchen

Algebra über einem Körper

Eine Algebra über einem Körper K, Algebra über K oder K-Algebra (früher auch als lineare Algebra bezeichnet) ist ein Vektorraum über einem Körper K, der um eine mit der Vektorraumstruktur verträgliche Multiplikation erweitert wurde. Je nach Kontext wird dabei mitunter zusätzlich gefordert, dass die Multiplikation das Assoziativgesetz oder das Kommutativgesetz erfüllt oder dass die Algebra bezüglich der Multiplikation ein Einselement besitzt.

Definition

Eine Algebra A über einem Körper K oder kurz K-Algebra ist ein K-Vektorraum mit einer K-bilinearen Verknüpfung

 A\times A\to A,

Multiplikation genannt, die durch x\cdot y oder xy symbolisiert wird. (Diese Verknüpfung ist unabhängig von der Multiplikation im Körper und derjenigen von Körperelementen mit Vektoren; die Verwendung desselben Symbols führt jedoch nicht zu Verwechslungen, da aus dem Kontext hervorgeht, welche Verknüpfung gemeint ist.)

Explizit bedeutet die Bilinearität, dass für alle Elemente x, y, z \in A und alle Skalare \lambda \in K gilt:

Ist der zugrundeliegende Körper der Körper der reellen Zahlen \mathbb {R} , so nennt man die Algebra auch reelle Algebra.

Verallgemeinerung

Allgemeiner kann K ein kommutativer Ring sein, dann ist „Vektorraum“ durch „Modul“ zu ersetzen, und man erhält eine Algebra über einem kommutativen Ring.

Unteralgebren und Ideale

Eine Unteralgebra U einer Algebra A über einem Körper K ist ein Unterraum von A, der neben der Addition und der Multiplikation mit einem Skalar, also einem Element von K, auch unter der in A definierten Multiplikation abgeschlossen ist, d.h. u, v \in U \Rightarrow uv \in U. Dann ist U eine eigenständige Algebra. Fasst man die komplexen Zahlen als reelle Algebra auf, so bilden zum Beispiel die reellen, nicht aber die imaginären Zahlen eine Unteralgebra der komplexen Zahlen.

Ist darüber hinaus

v \in U \Rightarrow av \in U

mit einem beliebigen Element a von A, so heißt U ein linksseitiges Ideal von A. Entsprechend heißt U, falls

v \in U \Rightarrow va \in U

rechtsseitiges Ideal von A ist. Ist beides der Fall oder gar A kommutativ, so heißt U einfach ein Ideal von A. Falls die Algebra A keine nicht-trivialen Ideale besitzt, heißt sie einfach.

Weitere Attribute und Beispiele

Assoziative Algebren

Eine assoziative Algebra ist eine K-Algebra, in der für die Multiplikation das Assoziativgesetz gilt und die somit ein Ring ist. Beispiele:

 (f\cdot g)(x) := f(x)\cdot g(x),\qquad f,g\colon M\to K, x\in M.

Kommutative Algebren

Eine kommutative Algebra ist eine K-Algebra, in der für die Multiplikation das Kommutativgesetz gilt. Beispiele:

Unitäre Algebren

Eine unitäre Algebra ist eine Algebra mit einem neutralen Element der Multiplikation, dem Einselement (vgl. unitärer Ring). Beispiele:

Wenn das aus dem jeweiligen Kontext klar ist, werden die Eigenschaften „assoziativ“, „kommutativ“ und „unitär“ in der Regel nicht explizit genannt. Hat eine Algebra kein Einselement, so kann man eines adjungieren; jede Algebra ist also in einer unitären enthalten.

Nicht-assoziative Algebren

Manche Autoren bezeichnen eine K-Algebra als nicht-assoziativ, wenn das Assoziativgesetz nicht vorausgesetzt wird. (Diese Begriffsbildung führt allerdings zu der etwas verwirrenden Konsequenz, dass insbesondere jede assoziative Algebra auch nicht-assoziativ ist.) Einige Beispiele für Algebren, die nicht notwendigerweise assoziativ sind:

Algebrenhomomorphismen

Die Homomorphismen zwischen K-Algebren, das heißt die strukturerhaltenden Abbildungen, sind K-lineare Abbildungen, die zusätzlich multiplikativ sind. Haben die Algebren Einselemente, so fordert man in der Regel zusätzlich, dass auch diese aufeinander abgebildet werden. Das heißt:

Eine Abbildung f\colon A\rightarrow B zwischen zwei K-Algebren ist ein Homomorphismus, falls folgendes gilt:

Es gelten dann die üblichen Sätze. Die Kerne von Homomorphismen sind genau die zweiseitigen Ideale. Ist f\colon A\rightarrow B ein Homomorphismus, so gilt das Analogon zum Homomorphiesatz, das heißt die induzierte Abbildung

{\displaystyle {\overline {f}}\colon A/\mathrm {ker} (f)\rightarrow f(A),\,a+\mathrm {ker} (f)\mapsto f(a)}

ist wohldefiniert und ein Algebrenisomorphismus {\displaystyle A/\mathrm {ker} (f)\cong f(A)}, das heißt ein bijektiver Algebrenhomomorphismus, die Umkehrabbildung ist automatisch ebenfalls ein Algebrenhomomorphismus. Damit lassen sich auch die Isomorphiesätze auf Algebren übertragen, denn die üblichen Beweise führen diese auf den Homomorphiesatz zurück.

Trenner
Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
Seitenende
Seite zurück
©  biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung: Jena, den: 11.01. 2021