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Basis (Vektorraum)

In der linearen Algebra ist eine Basis eine Teilmenge eines Vektorraumes, mit deren Hilfe sich jeder Vektor des Raumes eindeutig als endliche Linearkombination darstellen lässt. Die Koeffizienten dieser Linearkombination heißen die Koordinaten des Vektors bezüglich dieser Basis. Ein Element der Basis heißt Basisvektor. Wenn Verwechslungen mit anderen Basisbegriffen (z.B. der Schauderbasis) zu befürchten sind, nennt man eine solche Teilmenge auch Hamelbasis (nach Georg Hamel). Ein Vektorraum besitzt im Allgemeinen verschiedene Basen, ein Wechsel der Basis erzwingt eine Koordinatentransformation. Die Hamelbasis sollte nicht mit der Basis eines Koordinatensystems verwechselt werden, da diese Begriffe unter bestimmten Bedingungen nicht gleichgesetzt werden können (z.B. bei krummlinigen Koordinaten).

Definition und grundlegende Begriffe

Eine Basis eines Vektorraums V ist eine Teilmenge B von V mit folgenden gleichwertigen Eigenschaften:

  1. Jedes Element von V lässt sich als Linearkombination von Vektoren aus B darstellen und diese Darstellung ist eindeutig.
  2. B ist ein minimales Erzeugendensystem von V, jeder Vektor aus V lässt sich also als Linearkombination aus B darstellen (V ist lineare Hülle von B) und diese Eigenschaft gilt nicht mehr, wenn ein Element aus B entfernt wird.
  3. B ist eine maximale linear unabhängige Teilmenge von V. Wird also ein weiteres Element aus V zu B hinzugefügt, ist die neue Menge nicht mehr linear unabhängig.
  4. B ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von V.

Die Elemente einer Basis heißen Basisvektoren. Ist der Vektorraum ein Funktionenraum, nennt man die Basisvektoren auch Basisfunktionen. Eine Basis lässt sich mit Hilfe einer Indexmenge I in der Form B=\{b_{i}:\;i\in I\} beschreiben, eine endliche Basis beispielsweise in der Form B = \{b_1, \dotsc, b_n\}. Wird eine solche Indexmenge I benutzt, dann verwendet man jedoch meist zur Bezeichnung der Basis gleich die Familienschreibweise, d.h. b=(b_{i})_{i\in I} statt B=\{b_{i}:\;i\in I\}.

Man beachte, dass in der Familienschreibweise eine Ordnungsrelation auf der Indexmenge I eine Anordnung der Basisvektoren erzeugt; b heißt dann „geordnete Basis“. Dies macht man sich bei der Beschreibung der Orientierung von Vektorräumen zunutze. Eine Indexmenge mit Ordnungsrelation ermöglicht es, unter den Basen Orientierungsklassen (Händigkeit) einzuführen. Beispiele: abzählbar unendliche Basis b=(b_{i})_{i\in \mathbb {N} }, endliche Basis {\displaystyle b=(b_{1},\dotsc ,b_{n})=(b_{i})_{i\in \{1,\dotsc ,n\}}}.

Die Koeffizienten, die in der Darstellung eines Vektors als Linearkombination von Vektoren aus der Basis B auftreten, nennt man die Koordinaten des Vektors bezüglich B. Diese sind Elemente des dem Vektorraum zugrundeliegenden Körpers K (z.B. \mathbb {R} oder \mathbb {C} ). Zusammen bilden diese einen Koordinatenvektor x=(x_{i})_{i\in B}, der allerdings in einem anderen Vektorraum liegt, dem Koordinatenraum K^{B}. Achtung: Da die Zuordnung der Koordinaten zu ihren jeweiligen Basisvektoren entscheidend ist, müssen hier – mangels einer gemeinsamen Indexmenge – die Basisvektoren selbst zur Indizierung herangezogen werden.

Obwohl Basen meist als Mengen aufgeschrieben werden, ist daher eine durch eine Indexmenge I gegebene „Indizierung“ praktischer. Die Koordinatenvektoren haben dann die Form x=(x_{i})_{i\in I}, der Koordinatenraum ist K^{I}. Ist I mit einer Ordnungsrelation versehen, so entsteht auch für den Koordinatenvektor eine Reihenfolge der Koordinaten. Im Beispiel I=\{1,\dotsc ,n\} ist der Koordinatenvektor von der Form x=(x_{1},\dotsc ,x_{n}) („Nummerierung“ der Koordinaten). Der Koordinatenraum ist hier K^{n}, bei reellen oder komplexen Vektorräumen also \mathbb {R} ^{n} bzw. \mathbb {C} ^{n}.

Wichtige Eigenschaften

Diese Abbildung ist genau dann
  • injektiv, wenn die b_{i} linear unabhängig sind;
  • surjektiv, wenn die b_{i} ein Erzeugendensystem bilden;
  • bijektiv, wenn die b_{i} eine Basis bilden.
Diese Charakterisierung überträgt sich auf den allgemeineren Fall von Moduln über Ringen, siehe Basis (Modul).
e1 und e2 bilden eine Basis der Ebene.

Beispiele

Beweis der Äquivalenz der Definitionen

Die folgenden Überlegungen skizzieren einen Beweis dafür, dass die vier charakterisierenden Eigenschaften, die in diesem Artikel als Definition des Begriffs Basis genannt werden, äquivalent sind. (Für diesen Beweis wird das Auswahlaxiom oder Lemma von Zorn nicht benötigt.)

Existenzbeweis

Mit dem Lemma von Zorn kann man beweisen, dass jeder Vektorraum eine Basis haben muss, auch wenn man sie oft nicht explizit angeben kann.

Sei V ein Vektorraum. Man möchte eine maximale linear unabhängige Teilmenge des Vektorraums finden. Es liegt also nahe, das Mengensystem

P:=\{X\subseteq V:\;X{\text{ linear unabhängig}}\}\,

zu betrachten, das durch die Relation \subseteq halbgeordnet wird. Man kann nun zeigen:

  1. P ist nicht leer (zum Beispiel enthält P die leere Menge). Besteht V nicht nur aus dem Nullvektor, dann ist zusätzlich auch jede Einermenge \{v\} mit v in V und v\neq \mathbf {0} ein Element von P.
  2. Für jede Kette C\subseteq P ist auch \bigcup C=\bigcup _{X\in C}X=\{v:\exists X\in C:v\in X\} in P.

Aus dem Lemma von Zorn folgt nun, dass P ein maximales Element hat. Die maximalen Elemente von P sind nun aber genau die maximalen linear unabhängigen Teilmengen von V, also die Basen von V. Daher hat V eine Basis und es gilt darüber hinaus, dass jede linear unabhängige Teilmenge von V in einer Basis von V enthalten ist.

Basisergänzungssatz

Ist T\subset V eine vorgegebene Menge linear unabhängiger Vektoren und geht man in obigem Beweis von

P:=\{X\subseteq V:\;T\subset X,\,X{\text{ linear unabhängig}}\}\,

aus, so erhält man die Aussage, dass T in einem maximalen Element von P enthalten ist. Da sich ein solches maximales Element wieder als eine Basis von V erweist, ist gezeigt, dass man jede Menge linear unabhängiger Vektoren zu einer Basis von V ergänzen kann. Diese Aussage nennt man Basisergänzungssatz.

Weitere Aussagen über Basen

  1. Eine lineare Abbildung eines Vektorraums in einen anderen Vektorraum ist bereits durch die Bilder der Basisvektoren vollständig bestimmt.
  2. Jede beliebige Abbildung der Basis in den Bildraum definiert eine lineare Abbildung.
{\displaystyle {\frac {1}{d!}}\prod _{k=0}^{d-1}\left(q^{d}-q^{k}\right)}
verschiedene Basen.

Basisbegriffe in speziellen Vektorräumen

Reelle und komplexe Vektorräume tragen meist zusätzliche topologische Struktur. Aus dieser Struktur kann sich ein Basisbegriff ergeben, der vom hier beschriebenen abweicht.

Basis und duale Basis im dreidimensionalen euklidischen Vektorraum

In der klassischen Mechanik wird der Anschauungsraum mit dem drei-dimensionalen euklidischen Vektorraum (V³, ·) modelliert, wodurch dieser eine besondere Relevanz bekommt. Euklidische Vektorräume sind u.a. dadurch definiert, dass es in ihnen ein Skalarprodukt „·“ gibt, wodurch diese Vektorräume besondere und erwähnenswerte Eigenschaften erhalten.

Im dreidimensionalen euklidischen Vektorraum gibt es zu jeder Basis {\displaystyle {\vec {b}}_{1,2,3}} genau eine duale Basis {\displaystyle {\vec {b}}^{1,2,3}}, sodass mit dem Kronecker-Delta δ gilt: {\displaystyle {\vec {b}}_{i}\cdot {\vec {b}}^{j}=\delta _{i}^{j}.} Bei einer Orthonormalbasis sind alle Basisvektoren auf Länge eins normiert und paarweise orthogonal. Dann stimmen Basis und duale Basis überein.

Jeder Vektor {\vec {v}} lässt sich nun als Linearkombination der Basisvektoren darstellen:

{\displaystyle {\vec {v}}=\sum _{i=1}^{3}({\vec {v}}\cdot {\vec {b}}^{i}){\vec {b}}_{i}=\sum _{i=1}^{3}({\vec {v}}\cdot {\vec {b}}_{i}){\vec {b}}^{i}}

Denn die Differenzvektoren von {\vec {v}} zu den Vektoren rechts der Gleichheitszeichen sind Nullvektoren.

Der dreidimensionale euklidische Vektorraum ist ein vollständiger Skalarproduktraum.

Hamel- und Schauderbasis in Skalarprodukträumen

Beim Studium von reellen oder komplexen Skalarprodukträumen, besonders von Hilberträumen gibt es noch eine andere, dort zweckmäßigere Art, die Elemente des Raumes darzustellen. Eine Basis besteht dabei aus paarweise orthogonalen Einheitsvektoren, und es werden nicht nur endliche, sondern auch unendliche Summen (sog. Reihen) von Basisvektoren zugelassen. Ein solches vollständiges Orthonormalsystem ist in einem unendlichdimensionalen Raum nie eine Basis im hier definierten Sinn, zur besseren Unterscheidung spricht man auch von Schauderbasis. Der im vorliegenden Artikel beschriebene Basistyp wird zur Unterscheidung auch Hamelbasis genannt.

Auerbachbasen

Eine Auerbachbasis ist eine Hamelbasis für einen dichten Unterraum in einem normierten Vektorraum, sodass der Abstand jedes Basisvektors vom Erzeugnis der übrigen Vektoren gleich seiner Norm ist.

Abgrenzung der Basisbegriffe

Siehe auch

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 16.12. 2020