Standardmatrix
Eine Standardmatrix, Standard-Einheitsmatrix oder Matrixeinheit ist in der Mathematik eine Matrix, bei der genau ein Eintrag eins ist und alle anderen Einträge null sind. Jede Standardmatrix lässt sich als dyadisches Produkt von kanonischen Einheitsvektoren darstellen. Die Menge der Standardmatrizen bildet die Standardbasis für den Matrizenraum. Sie werden unter anderem zur Definition von Elementarmatrizen verwendet, die beim gaußschen Eliminationsverfahren zum Einsatz kommen.
Definition
Ist
ein Ring
mit Nullelement
und Einselement
,
dann ist die Standardmatrix
die Matrix
mit den Einträgen
für
und
.
Bei der Standardmatrix
ist demnach der Eintrag an der Stelle
gleich eins und alle anderen Einträge gleich null. Eine Standardmatrix wird auch
als Standard-Einheitsmatrix>
oder Matrixeinheit
bezeichnet und gelegentlich durch
statt
notiert.
Beispiele
Ist
der Körper
der reellen Zahlen und
bezeichnen
und
die Zahlen Null
und Eins, so sind
Beispiele für Standardmatrizen der Größe
:
Eigenschaften
Darstellungen
Jede Standardmatrix
lässt sich als dyadisches
Produkt der beiden kanonischen Einheitsvektoren
und
darstellen, das heißt
,
wobei
der transponierte Vektor zu
ist. Mit Hilfe des Kronecker-Deltas
lässt sich eine Standardmatrix auch durch
notieren.
Symmetrie
Für die Transponierte
einer Standardmatrix
gilt
.
Damit sind nur die Standardmatrizen
symmetrisch.
Produkt
Für das Produkt
zweier Standardmatrizen
und
gilt
wobei
die Nullmatrix der Größe
ist.
Kenngrößen
Für den Rang einer Standardmatrix gilt
.
Für die Determinante
und die Spur
einer quadratischen -Standardmatrix
gilt entsprechend
und
.
Das charakteristische
Polynom einer quadratischen Standardmatrix
über einem Körper
ergibt sich zu
Im Fall
ist demnach der einzige Eigenwert
.
Für
existiert zusätzlich noch der Eigenwert
mit einfacher Vielfachheit und zugehörigem Eigenvektor
.
Verwendung
Matrixeinträge
Mit Hilfe von Standardmatrizen
können auch einzelne Matrixeinträge als Spur dargestellt werden. Ist
,
dann gilt
.
Für das Produkt zweier Matrizen
und
gilt entsprechend
.
Standardbasis
Die Menge der Standardmatrizen über einem gegebenen Körper
bildet die Standardbasis
für den Vektorraum der Matrizen.
Jede Matrix
lässt sich somit als Linearkombination
von Standardmatrizen durch
mit
darstellen. So bilden die vier Standardmatrizen
,
,
und
die Standardbasis des Raums der
-Matrizen
und man erhält beispielsweise
.
Elementarmatrizen
Standardmatrizen werden auch zur Darstellung der drei Typen von Elementarmatrizen der Form
mit
als der Einheitsmatrix
und
verwendet. Durch Multiplikation von links mit einer solchen Elementarmatrix
werden Reihenoperationen, Skalierungen und Transpositionen an einer gegebenen
Matrix durchgeführt. Diese Elementarmatrizen kommen bei der Beschreibung des
gaußschen
Eliminationsverfahrens zur Lösung linearer
Gleichungssysteme zum Einsatz.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 19.09. 2016