Lineare Hülle

Ein Vektor \scriptstyle a und seine lineare Hülle \scriptstyle \langle a \rangle.

In der linearen Algebra ist die lineare Hülle (auch der Spann, Span [aus dem Englischen, von [linear] span], Aufspann oder Abschluss genannt) einer Teilmenge A eines Vektorraums V über einem Körper K die Menge aller Linearkombinationen mit Vektoren aus A mit Skalaren aus K. Die lineare Hülle bildet einen Untervektorraum, der gleichzeitig der kleinste Untervektorraum ist, der A enthält.

Definition

Konstruktive Definition

Ist V ein Vektorraum über einem Körper K und A\subset V eine Teilmenge des Vektorraums, dann ist

\langle A\rangle =\left\{\left.\textstyle \sum \limits _{{i=1}}^{n}\lambda _{i}a_{i}\right|\lambda _{i}\in K,a_{i}\in A,n\in \mathbb{N} \right\}

die lineare Hülle von A. Die lineare Hülle ist die Menge aller endlichen Linearkombinationen der a_{i}.

Im Fall einer endlichen Teilmenge A vereinfacht sich diese Definition zu

{\displaystyle \langle \{a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{n}\}\rangle =\{\lambda _{1}a_{1}+\lambda _{2}a_{2}+\dotsb +\lambda _{n}a_{n}\mid \lambda _{1},\lambda _{2},\dotsc ,\lambda _{n}\in K\}}.

Die lineare Hülle der leeren Menge ist der Nullvektorraum, das heißt

\langle \emptyset \rangle =\{0\},

denn die leere Summe von Vektoren ergibt per Definition den Nullvektor.

Andere Definitionen

Äquivalent zu der konstruktiven Definition sind die folgenden Definitionen:

Notation

Als Symbole für die lineare Hülle von A werden \operatorname {span}(A) resp. \operatorname {Span}(A), \langle A\rangle , L(A), \operatorname {lin}A oder {\mathcal  L}(A) verwendet. Ist A endlich, etwa {\displaystyle A=\{a_{1},\dotsc ,a_{n}\}}, werden doppelte Klammern vermieden, indem die Schreibweisen {\displaystyle \langle a_{1},\dotsc ,a_{n}\rangle }, {\displaystyle L\{a_{1},\dotsc ,a_{n}\}} oder {\displaystyle {\mathcal {L}}\{a_{1},\dotsc ,a_{n}\}} verwendet werden.

Eigenschaften

Seien zwei Mengen Teilmengen des K-Vektorraumes: A,B\subseteq V . Dann gilt:

  1. A\subseteq \langle A\rangle ,
  2. A\subseteq B\Rightarrow \langle A\rangle \subseteq \langle B\rangle ,
  3. \langle A\rangle =\langle \langle A\rangle \rangle .

Diese drei Eigenschaften charakterisieren die lineare Hülle als Hüllenoperator.

Weiter gilt:

\dim(U+V)+\dim(U\cap V)=\dim U+\dim V.

Beispiele

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 08.02. 2019