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Dimensionsformel

Die Dimensionsformel entstammt dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Sie gibt an, wie sich die Dimension der Summe zweier endlichdimensionaler Untervektorräume V_1, V_2 eines größeren Vektorraumes berechnen lässt:

\dim \left(V_{1}+V_{2}\right)=\dim V_{1}+\dim V_{2}-\dim \left(V_{1}\cap V_{2}\right)

Sie folgt unmittelbar aus dem Rangsatz. Einen Spezialfall stellt die Situation V_{1}\oplus V_{2}=V_{1}+V_{2} dar (siehe Direkte Summe). Die Dimensionsformel reduziert sich in diesem Fall auf

\dim \left(V_{1}+V_{2}\right)=\dim V_{1}+\dim V_{2},

da für eine direkte Summe gilt

V_{1}\cap V_{2}=\{0\}.

Der Untervektorraum, den der Schnitt von V_1 und V_2 darstellt, ist somit der Nullvektorraum, dessen Dimension gleich Null ist.

Ist V_1 oder V_2 unendlichdimensional, so ist es nicht mehr möglich die Subtraktion auszuführen. Es gilt jedoch in jedem Fall

\dim \left(V_{1}+V_{2}\right)\geq \max\{\dim V_{1},\dim V_{2}\}

und

\dim \left(V_{1}+V_{2}\right)\leq \dim \left(V_{1}\oplus V_{2}\right)=\dim V_{1}+\dim V_{2}.

Da für zwei Kardinalzahlen, von denen zumindest eine unendlich ist, die Summe gleich dem Maximum der beiden ist, ist also in dem Fall, dass einer der beiden Teilräume unendlichdimensional ist, \dim \left(V_{1}+V_{2}\right)=\max\{\dim V_{1},\dim V_{2}\}.

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 26.12. 2020