Vollständiger Raum

Ein vollständiger Raum ist in der Analysis ein metrischer Raum, in dem jede Cauchy-Folge von Elementen des Raums konvergiert. Zum Beispiel ist der Raum der rationalen Zahlen mit der Betragsmetrik nicht vollständig, weil etwa die Zahl \sqrt 2 nicht rational ist, es jedoch Cauchy-Folgen rationaler Zahlen gibt, die bei Einbettung der rationalen Zahlen in die reellen Zahlen gegen \sqrt 2 und somit gegen keine rationale Zahl konvergieren. Es ist aber stets möglich, die Löcher auszufüllen, also einen unvollständigen metrischen Raum zu vervollständigen. Im Fall der rationalen Zahlen erhält man dadurch den Raum der reellen Zahlen.

Definition

Eine Folge (x_n) von Elementen eines metrischen Raums (M,d) heißt Cauchy-Folge, falls

\forall \varepsilon > 0 \quad \exists N \in \N \quad \forall n,m \geq N \quad d(x_n, x_m) < \varepsilon

gilt. Weiter konvergiert eine Folge (x_n) gegen ein Element x \in M, falls

\forall \varepsilon > 0 \quad \exists N \in \N \quad \forall n \geq N \quad d(x_n, x) < \varepsilon

gilt.

Ein metrischer Raum heißt nun vollständig, wenn in ihm jede Cauchy-Folge konvergiert.

Anmerkungen

Beispiele

d(x, y) = | x - y |
nicht vollständig, denn die Folge rationaler Zahlen x_1=1, x_{n+1}=\tfrac{x_n}{2} + \tfrac{1}{x_n} ist eine Cauchy-Folge, deren Grenzwert (siehe Heron-Verfahren) die irrationale Zahl \sqrt{2} ist, die nicht in \mathbb{Q} liegt.
d(x,y):= |x-y| + \frac1x + \frac1y + \frac1{1-x}+ \frac1{1-y}   für   x\not=y.
d(x,y) = | x-y |_p,
ebenso wie \R die Vervollständigung von \mathbb{Q} für die Metrik des Absolutbetrags ist.
d(x,y) = \sqrt{\langle x-y, x-y \rangle}
vollständig. Einen vollständigen Skalarproduktraum nennt man Hilbertraum.
d(x,y) = \| x-y \|
vollständig. Einen vollständigen normierten Raum nennt man Banachraum.
d((x_n),(y_n)) = \frac{1}{N}
setzt, wobei N der kleinste Index ist, für den x_N verschieden von y_N ist, und wobei der Abstand einer Folge zu sich selbst 0 ist.

Einige Sätze

Jeder kompakte metrische Raum ist vollständig. Ein metrischer Raum ist genau dann kompakt, wenn er vollständig und totalbeschränkt ist.

Eine Teilmenge eines vollständigen Raumes ist selbst genau dann vollständig, wenn sie abgeschlossen ist.

Ist X eine nichtleere Menge und (M,d) ein vollständiger metrischer Raum, dann ist der Raum B(X,M) der beschränkten Funktionen von X nach Mmit der Metrik

d(f,g):=\sup_x d(f(x),g(x))

ein vollständiger metrischer Raum.

Ist X ein topologischer Raum und (M,d) ein vollständiger metrischer Raum, dann ist die Menge C_b(X,M) der beschränkten stetigen Funktionen von X nach M eine abgeschlossene Teilmenge von B(X,M) und als solche mit der obigen Metrik vollständig.

Vervollständigung

Jeder metrische Raum M mit einer Metrik d kann vervollständigt werden, das heißt, es gibt einen vollständigen metrischen Raum \hat M mit einer Metrik \hat d und einer Isometrie \varphi \colon M \rightarrow \hat M, so dass \varphi(M) dicht in \hat M liegt. Der Raum \hat M heißt Vervollständigung von M. Da alle Vervollständigungen von M isometrisch isomorph sind, spricht man auch von der Vervollständigung von M.

Konstruktion

Die Vervollständigung von M kann man als Menge von Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen in M konstruieren. Man definiert den Abstand zweier Cauchy-Folgen x := (x_n)_n und y:= (y_n)_n in M durch

d(x,y):=\lim_n d(x_n,y_n).

Dieser Abstand ist wohldefiniert, er ist aber nur eine Pseudometrik, denn verschiedene Cauchy-Folgen können den Abstand 0 haben. Die Eigenschaft d(x,y)=0 bildet eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Cauchy-Folgen und die Menge aller Äquivalenzklassen \hat M ist mit diesem Abstandsbegriff ein vollständiger metrischer Raum. Identifiziert man jedes Element x aus M mit der Äquivalenzklasse der konstanten Folge (x)_n in \hat M, so erhält man eine isometrische Einbettung von M in \hat M.

Ist M ein normierter Raum, so kann man seine Vervollständigung auch einfacher bilden, indem man

\hat M := \overline{\varphi(M)} \subseteq M^{\prime\prime}

als den Abschluss des Bildes von M im Bidualraum M^{\prime\prime} unter der kanonischen Einbettung \varphi \colon M \rightarrow M^{\prime\prime} wählt.

Eigenschaften

Cantors Konstruktion der reellen Zahlen aus den rationalen ist ein Spezialfall hiervon. Wie oben schon gesagt, erhält man andere metrische Räume {\mathbb Q}_p, wenn man statt der gewöhnlichen Betragsmetrik eine p-adische Metrik verwendet und \mathbb Q vervollständigt.

Vervollständigt man einen normierten Vektorraum, so erhält man einen Banachraum, der den ursprünglichen Raum als dichten Teilraum enthält. Daher erhält man auch einen Hilbertraum, wenn man einen euklidischen Vektorraum vervollständigt, denn die Parallelogrammgleichung bleibt in der Vervollständigung als normierter Raum erfüllt und das vollständige Skalarprodukt ergibt sich dann über die Polarisationsformel.

Gleichmäßig stetige Abbildungen eines metrischen Raumes M in einen vollständigen metrischen Raum X lassen sich stets eindeutig zu (automatisch ebenfalls gleichmäßig) stetigen Abbildungen auf der Vervollständigung \hat M mit Werten in X fortsetzen.

Vollständig metrisierbare Räume

Vollständigkeit ist eine Eigenschaft der Metrik, nicht der Topologie, das heißt, ein vollständiger metrischer Raum kann homöomorph zu einem unvollständigen metrischen Raum sein. Zum Beispiel sind die reellen Zahlen vollständig, aber homöomorph zum offenen Intervall (0,1), das nicht vollständig ist (zum Beispiel ist \tan((x-1/2)\pi) ein Homöomorphismus von (0,1) nach \mathbb{R}). Ein anderes Beispiel sind die irrationalen Zahlen, die zwar nicht vollständig, aber homöomorph zum Raum der natürlichen Zahlenfolgen \N^\N (ein Spezialfall eines Beispiels von oben) sind.

In der Topologie betrachtet man vollständig metrisierbare Räume, das heißt Räume, für die mindestens eine vollständige Metrik existiert, die die vorhandene Topologie erzeugt.

Uniforme Räume

Wie viele andere Begriffe aus der Theorie metrischer Räume lässt sich auch der Begriff der Vollständigkeit auf die Klasse der uniformen Räume verallgemeinern: Ein uniformer Raum (X, \Phi) heißt vollständig, wenn jedes Cauchy-Netz konvergiert. Die meisten oben genannten Aussagen bleiben im Kontext uniformer Räume gültig, beispielsweise besitzt auch jeder uniforme Raum eine eindeutige Vervollständigung.

Topologische Vektorräume tragen eine natürliche uniforme Struktur und sie heißen vollständig, wenn sie bezüglich dieser uniformen Struktur vollständig sind. Sie heißen quasivollständig, wenn jedes beschränkte Cauchy-Netz konvergiert, das heißt, wenn jede beschränkte, abgeschlossene Menge vollständig ist.

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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 11.10. 2018