Abgeschlossene Hülle

In der Topologie und der Analysis ist die abgeschlossene Hülle (auch Abschließung oder Abschluss) einer Teilmenge U eines topologischen oder metrischen Raums die kleinste abgeschlossene Obermenge von U.

Definition

Ist X ein topologischer Raum, so ist die abgeschlossene Hülle oder der Abschluss {\overline {U}} einer Teilmenge U\subseteq X der Durchschnitt aller abgeschlossenen Teilmengen von X, die U beinhalten. Die Menge {\overline {U}} ist selbst abgeschlossen, also ist sie die kleinste abgeschlossene Obermenge von U.

Ein Punkt b\in X heißt Berührpunkt oder Adhärenzpunkt von U, wenn in jeder Umgebung von b mindestens ein Element von U enthalten ist. {\overline {U}} besteht genau aus den Berührpunkten von U.

Der Abschluss als Menge von Grenzwerten

Erfüllt X das erste Abzählbarkeitsaxiom (dies gilt beispielsweise dann, wenn X ein metrischer Raum ist), so ist {\overline {U}} die Menge aller Grenzwerte von konvergenten Folgen, deren Glieder in U liegen.

Ist X ein beliebiger topologischer Raum, so ist der Abschluss einer Teilmenge U\subseteq X die Menge der Grenzwerte konvergenter Netze, deren Glieder in U liegen.

Abschluss von Kugeln in metrischen Räumen

Es sei X ein metrischer Raum mit Metrik d. Man beachte, dass im Allgemeinen die abgeschlossene Hülle \overline {B(x,r)} einer offenen Kugel

B(x,r)=\{y\in X\mid d(x,y)<r\}

mit Radius r und Mittelpunkt x\in X nicht dasselbe ist wie die abgeschlossene Kugel

\overline {B}(x,r)=\{y\in X\mid d(x,y)\leq r\}.

Da die abgeschlossene Kugel eine abgeschlossene Menge ist, die die offene Kugel enthält, enthält sie auch ihren Abschluss:

\overline {B(x,r)}\subseteq \overline {B}(x,r)

Um ein Beispiel zu geben, in dem diese Inklusion echt ist, sei X eine Menge (mit mindestens zwei Elementen), auf der eine Metrik durch

d(x,y)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mathrm  {f{\ddot  u}r}}\ x\not =y\\0&{\mathrm  {f{\ddot  u}r}}\ x=y\end{matrix}}\right.

definiert ist. Dann gilt für jedes x\in X:

\{x\}=B(x,1)=\overline {B(x,1)}\subsetneq \overline {B}(x,1)=X.

Darüber hinaus gibt es auch metrische Räume, in denen für einen Punkt x und einen Radius r beide Inklusionen gleichzeitig echt sind:

{\displaystyle B(x,r)\subsetneq {\overline {B(x,r)}}\subsetneq {\overline {B}}(x,r).}

Ein Beispiel ist die Menge X=\{(a,0)|a\in {\mathbb  {R}},-1\leq a\leq 1\}\cup \{(0,1)\} mit der vom euklidischen Raum \mathbb {R} ^{2} induzierten Metrik. Hier erfüllt x=(0,0),r=1 die angegebene Inklusionsbedingung:

{\displaystyle B(0,1)=\{(a,0)\mid a\in \mathbb {R} ,-1<a<1\}\subsetneq }
{\displaystyle {\overline {B(0,1)}}=\{(a,0)\mid a\in \mathbb {R} ,-1\leq a\leq 1\}\subsetneq }
{\displaystyle {\overline {B}}(0,1)=\{(a,0)\mid a\in \mathbb {R} ,-1\leq a\leq 1\}\cup \{(0,1)\}=X}

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 16.10. 2022