Topologischer Raum

Beispiele und Gegenbeispiele zu Topologien – die sechs Abbildungen stellen Teilmengen der Potenzmenge von {1,2,3} dar (der kleine Kreis links oben ist jeweils die leere Menge). Die ersten vier sind Topologien; im Beispiel unten links fehlt {2,3}, unten rechts {2} zur Topologie-Eigenschaft.

Ein topologischer Raum ist der grundlegende Gegenstand der Teildisziplin Topologie der Mathematik. Durch die Einführung einer topologischen Struktur auf einer Menge lassen sich intuitive Lagebeziehungen wie „Nähe“ und „Streben gegen“ aus dem Anschauungsraum auf sehr viele und sehr allgemeine Strukturen übertragen und mit präziser Bedeutung versehen.

Definition

Eine Topologie ist ein Mengensystem T bestehend aus Teilmengen einer Grundmenge X, die offen oder offene Mengen genannt werden, und die die folgenden Axiome erfüllen:

Man nennt dann T eine Topologie auf X, und das Paar (X,T) einen topologischen Raum.

Grundbegriffe

Sprechweise: Elemente sind Punkte, die Menge ist ein Raum

Aus dem Anschauungsraum hat sich die Bezeichnung „Punkt“ für die Elemente der Grundmenge und die Bezeichnung „(topologischer) Raum“ für die Menge X, die die topologische Struktur trägt, durchgesetzt. Formal korrekt ist ein topologischer Raum aber das Paar (X,T) aus der strukturtragenden Menge X und dem strukturdefinierenden System T (der „Topologie“) von Teilmengen.

Dual: abgeschlossen

Eine Teilmenge des topologischen Raums X, deren Komplement eine offene Menge ist, heißt abgeschlossen. Wenn man die oben formulierte Definition dualisiert und das Wort „offen“ durch „abgeschlossen“ ersetzt (sowie Schnitt und Vereinigung vertauscht), ergibt sich eine gleichwertige Definition des Begriffs „topologischer Raum“ über dessen System abgeschlossener Mengen.

Umgebungen

In einem topologischen Raum hat jeder Punkt x einen Filter U(x) von Umgebungen. Damit lässt sich der intuitive Begriff von „Nähe“ mathematisch fassen. Auch dieser Begriff kann einer Definition des Topologischen Raums zugrunde gelegt werden.

Vergleich von Topologien: gröber und feiner

Hauptartikel: Gröbere und feinere Topologien

Auf einer festen Menge X kann man gewisse Topologien T und S miteinander vergleichen: Man nennt eine Topologie T feiner als eine Topologie S, wenn S\subseteq T ist, wenn also jede in S offene Menge auch in T offen ist. S heißt dann gröber als T. Sind die beiden Topologien verschieden, sagt man auch, T sei echt feiner als S, und S sei echt gröber als T.

Es gibt im Allgemeinen auf X auch Topologien T und S, die sich nicht in diesem Sinn vergleichen lassen. Für sie existiert eine eindeutige gemeinsame Verfeinerung, das ist die gröbste Topologie auf X, die beide Topologien umfasst. Dual zu dieser gemeinsamen Verfeinerung ist die durch die Schnittmenge S\cap T gegebene Topologie. Sie ist die feinste Topologie, die in beiden Topologien enthalten ist. Durch die Relation „ist feiner als“ werden die Topologien auf einer Menge zu einem Verband.

Diese Sprechweise ist kompatibel mit der „feiner“-Ordnung der Umgebungssysteme als Filter: Ist x ein fester Punkt des Raums, dann ist der von der feineren Topologie T erzeugte Umgebungsfilter V(x) feiner als der von der gröberen Topologie S erzeugte U(x).

Morphismen: Stetige Abbildungen

Wie bei jeder mathematischen Struktur gibt es auch bei den topologischen Räumen strukturerhaltende Abbildungen (Morphismen). Hier sind es die stetigen Abbildungen: Eine Abbildung  f\colon (X,S)\to (Y,T) ist (global) stetig, wenn das Urbild jeder offenen Teilmenge O von Y eine offene Menge in X ist, formal: O\in T \implies f^{-1}(O)\in S.

Die Isomorphismen heißen hier Homöomorphismen, dies sind bijektive stetige Abbildungen, deren Umkehrung ebenfalls stetig ist. Strukturell gleichartige (isomorphe) topologische Räume nennt man homöomorph.

Beispiele

Topologische Räume in Bezug zu anderen Nähe definierenden Strukturen

Erzeugung topologischer Räume

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Basierend auf einem Artikel in: externer Link Wikipedia.de
 
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 26.06. 2019