Morphismus

In der Kategorientheorie (einem Teilgebiet der Mathematik) betrachtet man so genannte (abstrakte) Kategorien, die jeweils gegeben sind durch eine Klasse von Objekten und für je zwei Objekte X und Y eine Klasse von Morphismen von X nach Y (auch als Pfeile bezeichnet).

Man schreibt:

f\colon X\to Y.

Zu der Kategorie gehört noch eine partielle Verknüpfung der Morphismen, die bestimmte Bedingungen erfüllen muss.

Interpretiert man Mengen mit gleicher Struktur als Objekte, und die Funktionen zwischen den zugrunde liegenden Mengen, die mit deren Struktur verträglich sind, als zugehörige Morphismen, so spricht man von einer konkreten Kategorie. Die Verknüpfung der Morphismen entspricht dann der gewöhnlichen Hintereinanderausführung von Funktionen. Es gibt aber auch ganz anders gebildete konkrete Kategorien, in denen Morphismen nicht als Funktionen zwischen den Objekten auftreten, etwa die Kategorie Toph, deren Objekte topologische Räume und deren Morphismen Homotopieklassen stetiger Funktionen sind, oder die Kategorie Rel, deren Objekte Mengen und deren Morphismen die Menge der Relationen zwischen je zwei Objekten sind.

Beispiele

Konkrete Beispiele von Morphismen sind Homomorphismen der Kategorien, die in der Algebra studiert werden (z.B. Gruppen oder Ringe), stetige Funktionen zwischen topologischen Räumen, differenzierbare Funktionen zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.

Jede Quasiordnung (M,\lesssim ) definiert eine Kategorie, in der die Objekte die Elemente von M sind und ein Morphismus x\to y genau dann existiert, wenn x\lesssim y.

Typen

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 08.01. 2019