Bijektive Funktion

Eine bijektive Funktion

Bijektivität (zum Adjektiv bijektiv, welches etwa ‚umkehrbar eindeutig auf‘ bedeutet – daher auch der Begriff eineindeutig bzw. substantivisch entsprechend Eineindeutigkeit) ist ein mathematischer Begriff aus dem Bereich der Mengenlehre. Er bezeichnet eine spezielle Eigenschaft von Abbildungen und Funktionen. Bijektive Abbildungen und Funktionen nennt man auch Bijektionen. Zu einer mathematischen Struktur auftretende Bijektionen haben oft eigene Namen wie Isomorphismus, Diffeomorphismus, Homöomorphismus, Spiegelung oder Ähnliches. Hier sind dann in der Regel noch zusätzliche Forderungen in Hinblick auf die Erhaltung der jeweils betrachteten Struktur zu erfüllen.

Zur Veranschaulichung kann man sagen, dass bei einer Bijektion eine vollständige Paarbildung zwischen den Elementen von Definitionsmenge und Zielmenge stattfindet. Bijektionen behandeln ihren Definitionsbereich und ihren Wertebereich also symmetrisch; deshalb hat eine bijektive Funktion immer eine Umkehrfunktion.

Bei einer Bijektion haben die Definitionsmenge und die Zielmenge stets dieselbe Mächtigkeit. Im Falle, dass eine Bijektion zwischen zwei endlichen Mengen vorliegt, ist diese gemeinsame Mächtigkeit eine natürliche Zahl, nämlich genau die Anzahl der Elemente jeder der beiden Mengen.

Die Bijektion einer Menge auf sich selbst heißt auch Permutation. Auch hier gibt es in mathematischen Strukturen vielfach eigene Namen. Hat die Bijektion darüber hinausgehend strukturerhaltende Eigenschaften, spricht man von einem Automorphismus.

Eine Bijektion zwischen zwei Mengen wird manchmal auch eine bijektive Korrespondenz genannt.

Definition

Seien X und Y Mengen und sei f eine Funktion, die von X nach Y abbildet, also f\colon X\to Y. Dann heißt f bijektiv, wenn für alle y\in Y genau ein x\in X mit f\left(x\right)=y existiert.

Das bedeutet: f ist bijektiv dann und nur dann, wenn f sowohl

(1) injektiv ist:
Kein Wert der Zielmenge Y wird mehrfach angenommen. Mit anderen Worten: Das Urbild jedes Elements der Zielmenge Y besteht aus höchstens einem Element von X. Aus {\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})} folgt daher immer {\displaystyle x_{1}=x_{2}}.

als auch

(2) surjektiv ist:
Jedes Element der Zielmenge Y wird angenommen. Mit anderen Worten: Die Zielmenge Y und die Bildmenge f(X) stimmen überein, also f\left(X\right)=Y. Für jedes y aus Y existiert daher (mindestens) ein x aus X mit {\displaystyle f(x)=y}.

Grafische Veranschaulichungen

Beispiele und Gegenbeispiele

Die Menge der reellen Zahlen wird hier mit \mathbb {R} bezeichnet, die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen mit \mathbb{R} _{0}^{+}.

f_{1}\colon \mathbb{R} \ \ \rightarrow {\mathbb  {R}},\ \ \ x\mapsto x^{2}
f_{2}\colon \mathbb{R} _{0}^{+}\rightarrow {\mathbb  {R}},\ \ \ x\mapsto x^{2}
f_{3}\colon \mathbb{R} \ \ \rightarrow \mathbb{R} _{0}^{+},\ x\mapsto x^{2}
f_{4}\colon \mathbb{R} _{0}^{+}\rightarrow \mathbb{R} _{0}^{+},\ x\mapsto x^{2}
Mit diesen Definitionen ist
 f_1 nicht injektiv, nicht surjektiv, nicht bijektiv
f_{2} injektiv, nicht surjektiv, nicht bijektiv
f_{3} nicht injektiv, surjektiv, nicht bijektiv
f_{4} injektiv, surjektiv, bijektiv

Eigenschaften

g \circ f = \operatorname{id}_A (\operatorname {id} _{A} = Identität auf der Menge A)
f\circ g=\operatorname {id} _{B} (\operatorname {id} _{B} = Identität auf der Menge B)
erfüllt, dann ist f bijektiv, und g ist die Umkehrfunktion von f, also g=f^{{-1}}.

Geschichte des Begriffs

Nachdem man lange mit Formulierungen wie „eineindeutig“ ausgekommen war, kam schließlich Mitte des 20. Jahrhunderts im Zuge der durchgehend mengentheoretischen Darstellung aller mathematischen Teilgebiete das Bedürfnis nach einer prägnanteren Bezeichnung auf. Die Begriffe bijektiv, injektiv und surjektiv wurden in den 1950ern von der Autorengruppe Nicolas Bourbaki geprägt.

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 23.02. 2021