Symmetrische Gruppe

Ein Cayleygraph der symmetrischen Gruppe S4
Verknüpfungstafel der symmetrischen Gruppe S3
(als Multiplikationstafel der Permutationsmatrizen)

Die symmetrische Gruppe S_{n} ({\mathcal  {S}}_{n}, {\mathfrak  {S}}_{n} oder \operatorname {Sym}_{n}) ist die Gruppe, die aus allen Permutationen (Vertauschungen) einer n-elementigen Menge besteht. Man nennt n den Grad der Gruppe. Die Gruppenoperation ist die Komposition (Hintereinanderausführung) der Permutationen; das neutrale Element ist die identische Abbildung. Die symmetrische Gruppe S_{n} ist endlich und besitzt die Ordnung n!. Sie ist für n>2 nichtabelsch.

Notation, Zyklenschreibweise

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, eine Permutation zu notieren. Bildet zum Beispiel eine Permutation p das Element 1 auf p_{1}, das Element 2 auf p_{2} usw. ab, so kann man hierfür

p={\begin{pmatrix}1&2&3&\dots \\p_{1}&p_{2}&p_{3}&\dots \end{pmatrix}}

schreiben. (Es ist nicht unbedingt gefordert, dass die Zahlen in der oberen Zeile geordnet sind.) In dieser Schreibweise erhält man die inverse Permutation p^{{-1}}, indem man die obere und die untere Zeile vertauscht.

Eine andere wichtige Schreibweise ist die Zyklenschreibweise:

Sind p_{1},p_{2},\ldots p_{k} verschieden, geht p_{1} in p_{2}, p_{2} in p_{3}, ..., p_{k} in p_{1} über, und bleiben alle anderen Elemente invariant, so schreibt man hierfür

p={\begin{pmatrix}p_{1}&p_{2}&p_{3}&\dots &p_{k}\end{pmatrix}},

und nennt dies einen Zyklus der Länge k. Zwei Zyklen der Länge k beschreiben genau dann die gleiche Abbildung, wenn der eine durch zyklische Vertauschung seiner Einträge p_{k} zum anderen wird. Zum Beispiel gilt {\begin{pmatrix}1&5&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5&3&1\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}1&3&5\end{pmatrix}}.

Jede Permutation kann als Produkt von disjunkten Zyklen geschrieben werden. (Hierbei heißen zwei Zyklen {\begin{pmatrix}p_{1}&p_{2}&p_{3}&\dots &p_{k}\end{pmatrix}} und {\begin{pmatrix}q_{1}&q_{2}&q_{3}&\dots &q_{l}\end{pmatrix}} disjunkt, wenn p_{i}\neq q_{j} für alle i und j gilt.) Diese Darstellung als Produkt von disjunkten Zyklen ist sogar eindeutig bis auf zyklische Vertauschung der Einträge innerhalb von Zyklen und die Reihenfolge der Zyklen (diese Reihenfolge kann beliebig sein: disjunkte Zyklen kommutieren stets miteinander).

Eigenschaften

Erzeugende Mengen

Konjugationsklassen

Zwei Elemente der symmetrischen Gruppe sind genau dann zueinander konjugiert, wenn sie in der Darstellung als Produkt disjunkter Zyklen denselben Zykeltyp aufweisen, das heißt, wenn die Anzahl der Einer-, Zweier-, Dreier- usw. -Zyklen übereinstimmen. In dieser Darstellung bedeutet die Konjugation eine Umnummerierung der Zahlen, die in den Zykeln stehen.

Jede Konjugationsklasse der S_{n} entspricht daher umkehrbar eindeutig einer Zahlpartition von n und die Anzahl ihrer Konjugationsklassen ist gleich dem Wert der Partitionsfunktion an der Stelle n,\,P(n).

Zum Beispiel liegen die Elemente {\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4&5\end{pmatrix}};{\begin{pmatrix}7&1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&4\end{pmatrix}}\in S_{7} in der Konjugationsklasse die der Zahlpartition 7=3+2+1+1 von 7 zugeordnet ist und die S_{7} hat P(7)=15 verschiedene Konjugationsklassen.

Normalteiler

Die symmetrische Gruppe S_{n} besitzt außer den trivialen Normalteilern \{id\} und S_{n} nur die alternierende Gruppe A_{n} als Normalteiler, für n=4 zusätzlich noch die Kleinsche Vierergruppe V.

Satz von Cayley

Nach dem Satz von Cayley ist jede endliche Gruppe G zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe S_{n} isomorph, wobei n nicht größer als die Ordnung von G ist.

Rechenbeispiele

Die Verkettung zweier Permutationen p_{1} und p_{2} wird als p_{2}\circ p_{1} geschrieben: zuerst wird die Permutation p_{1} ausgeführt, dann wird auf das Ergebnis die Permutation p_{2} angewandt (die Operationen sind von rechts nach links zu lesen).

Beispiel:

{\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&3&1&4\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&2&4&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\1&3&4&2\end{pmatrix}}.

In Zyklenschreibweise lautet dies:

{\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}1&3&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&3&4\end{pmatrix}}.

Zunächst bildet die „rechte“ Permutation die 4 auf die 1 ab, anschließend bildet die „linke“ Permutation die 1 auf die 2 ab; die gesamte Verkettung bildet also die 4 auf die 2 ab.

Für n>2 ist die symmetrische Gruppe S_{n} nicht abelsch, wie man an folgender Rechnung sieht:

{\begin{pmatrix}1&2&3&\ldots \\2&3&1&\ldots \end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}1&2&3&\ldots \\2&1&3&\ldots \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3&\ldots \\3&2&1&\ldots \end{pmatrix}}\ \neq
{\begin{pmatrix}1&2&3&\ldots \\2&1&3&\ldots \end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}1&2&3&\ldots \\2&3&1&\ldots \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3&\ldots \\1&3&2&\ldots \end{pmatrix}}

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
 
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 04.10. 2020