Kleinsche Vierergruppe

In der Gruppentheorie ist die Kleinsche Vierergruppe, auch kurz Vierergruppe genannt, die kleinste nicht-zyklische Gruppe. Sie hat die Gruppenordnung 4, wie nur die zyklische Gruppe $C_{4}$ neben ihr, und ist wie diese eine abelsche Gruppe. Ihren Namen trägt sie nach Felix Klein, der 1884 in seinen Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade von dieser Gruppe als „Vierergruppe“ sprach; als Symbol dient oft der Buchstabe . Die Vierergruppe wird nicht durch eine besondere Darstellungsweise ihrer Elemente charakterisiert, sondern abstrakt aufgefasst und entspricht der endlichen Gruppe $C_2 \times C_2$ .

Verknüpfungstafel

Die Kleinsche Vierergruppe operiert auf einer Trägermenge der Mächtigkeit (Kardinalität) 4 und hat vier Elemente, z.B. 1, a, b, ab , von denen das neutrale Element ist. Deren (interne) Verknüpfung von zwei Elementen ergibt wieder eines der vier Elemente – bei vertauschter Reihenfolge der jeweils verknüpften Paare das gleiche Resultat (Kommutativgesetz), bei (zweistelliger) Verknüpfung eines Elementes mit sich selbst je das neutrale Element – und wird durch die folgende Verknüpfungstafel angegeben:

$\circ$	1	a	b	ab
1	1	a	b	ab
a	a	1	ab	b
b	b	ab	1	a
ab	ab	b	a	1

Diese Tafel der zweistelligen Verknüpfung $\circ$ ist wie bei allen kommutativen Gruppen symmetrisch bezüglich der Hauptdiagonalen, welche bei der Vierergruppe – anders als z.B. bei der zyklischen Gruppe gleicher Ordnung (C₄) – allein durch das neutrale Element belegt wird. Somit ist ein jedes Element auch (beidseitig) inverses Element zu sich selbst; jedes Element ist also involutiv.

Die Kopien von Kopfzeile und Eingangszeile, bei üblicher Notierung wie hier in der 1. Zeile bzw. der 1. Spalte zu finden, identifizieren das (beidseits) neutrale Element , das als identische Abbildung der Elemente auch „Identität“ genannt wird.

Eigenschaften

Die Kleinsche Vierergruppe ist eine kommutative, jedoch keine zyklische Gruppe. Ihre Untergruppen sind {1}, {1,a}, {1,b}, {1,ab}, {1,a,b,ab} und alle normal, die Vierergruppe ist somit keine endliche einfache Gruppe. Die nicht-neutralen Elemente a, b, ab haben die Elementeordnung 2, jedes Element bildet eine eigene Konjugationsklasse.

Die Vierergruppe entspricht der (abelschen und nicht-zyklischen) endlichen Gruppe $C_2 \times C_2$ – einem direkten Produkt zweier Exemplare der zyklischen Gruppe $C_{2}$ , welche die kleinste nicht-triviale Gruppe und einzige der Gruppenordnung 2 ist. Die abstrakten Eigenschaften der Vierergruppe können am Beispiel unterschiedlicher Punktgruppen und multiplikativer Gruppen gezeigt werden, die zu ihr isomorph sind.

Auftreten

Die Vierergruppe tritt zum Beispiel auf als die Symmetriegruppe einer nicht gleichwinkligen Raute oder eines nicht gleichseitigen Rechtecks (die also kein Quadrat sind; dessen Symmetriegruppe wäre die Diedergruppe $D_{4}$ (der Gruppenordnung 8) und die Drehgruppe eines Quadrates ist ein Beispiel für die zyklischen Gruppe $C_{4}$ ):

ein Rechteck

Die vier Elemente sind dabei: als die Identität (oder Drehung um 0°), als die Spiegelung an der senkrechten Mittelachse, als die Spiegelung an der waagrechten Mittelachse, und als die 180°-Drehung um den Mittelpunkt, welche auch als kombinierte horizontale und vertikale Spiegelung aufgefasst werden kann. Mit den wie oben beschrifteten Ecken eines Rechtecks liefert die Permutationsdarstellung

$\left(A,B,C,D\right)\mapsto\left(A,B,C,D\right)$ , das Element darstellend

$\left(A,B,C,D\right)\mapsto\left(B,A,D,C\right)$ , das Element darstellend

$\left(A,B,C,D\right)\mapsto\left(D,C,B,A\right)$ , das Element darstellend

$\left(A,B,C,D\right)\mapsto\left(C,D,A,B\right)$ , das Element darstellend

und mit Notation der Permutationen in Zykelschreibweise

$V = \{ \mathbf{id}=(A)(B)(C)(D), (A,B)(C,D), (A,D)(B,C), (A,C)(B,D) \}$

In dieser Darstellung ist die Kommutatorgruppe und damit ein Normalteiler der alternierenden Gruppe $A_{4}$ und auch Normalteiler der symmetrischen Gruppe $S_{4}$ . In der Galoistheorie erklärt die Existenz der Kleinschen Vierergruppe in dieser Darstellung die Existenz der Lösungsformel für Gleichungen vierten Grades.

Des Weiteren ist die Vierergruppe isomorph zu

$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ ,
der Diedergruppe der Ordnung 4 ( $D_{2}$ ),
der Einheitengruppe des Ringes $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ (das sind die Restklassen von 1, 3, 5 und 7 unter Multiplikation modulo 8),
der Einheitengruppe des Ringes $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ (das sind die Restklassen von 1, 5, 7 und 11 unter Multiplikation modulo 12),
der Automorphismengruppe des folgenden Graphen:

der von den Involutionen $a,b:K^* \, \rightarrow \, K^*$ mit einem beliebigen Körper und

	$x \mapsto -x$
	$x \mapsto x^{-1}$

erzeugten Gruppe mit der Hintereinanderausführung als Gruppenverknüpfung.

Darstellungen

Die reguläre Darstellung

Die reguläre Darstellung von $V=\{e,a,b,c\}$ (hier wird c=ab gesetzt) über einem Körper (z.B. $K=\mathbb {R}$ ) ist der folgende Gruppenhomomorphismus $\rho :V\rightarrow \mathrm {GL} _{4}(K)$ in die Gruppe der invertierbaren 4×4-Matrizen. $\rho (x)$ ist die Abbildungsmatrix zu derjenigen linearen Abbildung, die die Basis $e,a,b,c$ des 4-dimensionalen Vektorraums $Ke+Ka+Kb+Kc$ auf $xe,xa,xb,xc$ abbildet, das heißt die 4 Basiselemente werden als Elemente der Vierergruppe aufgefasst und mit multipliziert. Dann ist natürlich $\rho (e)$ die 4×4-Einheitsmatrix. Zur Bestimmung von $\rho (a)$ beachte, dass die Basis $e,a,b,c$ auf $ae,aa,ab,ac$ , also auf $a,e,c,b$ abgebildet wird, die darstellende Matrix ist daher

$\rho (a)={\begin{pmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}$ .

Genauso bestimmt man

$\rho (b)={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}},\quad \quad \rho (c)={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}}$

Daher ist

$\left\{{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}}\right\}\,\subset \,\mathrm {GL} _{4}(K)$

eine 4-elementige Gruppe, die zur Kleinschen Vierergruppe isomorph ist, und die angegebene Abbildung $\rho$ ist ein Gruppenisomorphismus

Irreduzible Darstellungen

Als vierelementige abelsche Gruppe muss die Kleinsche Vierergruppe $V=\{e,a,b,c\}$ vier irreduzible Darstellungen besitzen. Diese sind die folgenden Gruppenhomomorphismen $\sigma _{e},\sigma _{a},\sigma _{b},\sigma _{c}:V\rightarrow \{1,-1\}$ :

$\sigma _{e}(x)=1$ für alle $x\in V$

$\sigma _{a}(x)={\begin{cases}1&{\text{ für }}x\in \{e,a\}\\-1&{\text{ sonst}}\end{cases}}$

$\sigma _{b}(x)={\begin{cases}1&{\text{ für }}x\in \{e,b\}\\-1&{\text{ sonst}}\end{cases}}$

$\sigma _{c}(x)={\begin{cases}1&{\text{ für }}x\in \{e,c\}\\-1&{\text{ sonst}}\end{cases}}$

Beachte, dass diese Homomorphismen bzgl. der punktweisen Multiplikation von Abbildungen wieder eine Gruppe bilden und dass $\sigma :V\rightarrow \mathrm {Abb} (V,\mathbb {C} ),\,x\mapsto \sigma _{x}$ , ein Gruppenhomomorphismus ist, der ein Isomorphismus $V\rightarrow \{\sigma _{e},\sigma _{a},\sigma _{b},\sigma _{c}\}$ ist. Dies zeigt, dass zu ihrer Dualgruppe isomorph ist.

Automorphismengruppe

Ein Automorphismus der Kleinschen Vierergruppe muss die Ordnungen der Gruppenelemente festlassen, kann also höchstens die drei Elemente a,b,c der Ordnung 2 permutieren. Tatsächlich ist jede Abbildung, die fest lässt und a,b,c permutiert, ein Automorphismus. Das liegt daran, dass die Verknüpfung auf so beschrieben werden kann, dass das Produkt von zwei gleichen Elementen der Ordnung 2 gleich dem neutralen Element ist und das Produkt von zwei verschiedenen Elementen der Ordnung das jeweils dritte Element der Ordnung 2 ist, und das bleibt bei Permutationen der Elemente der Ordnung 2 erhalten. Daher ist die Automorphismengruppe von isomorph zu symmetrischen Gruppe S₃.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de