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Permutationsgruppe

In der Gruppentheorie nennt man eine Gruppe von Permutationen einer endlichen Menge M mit der Hintereinanderausführung als Gruppenverknüpfung Permutationsgruppe. Die Gruppe aller Permutationen von M nennt man ihre symmetrische Gruppe S(M). Die Permutationsgruppen sind in diesem Sinne genau die Untergruppen der symmetrischen Gruppen.

Nach dem Satz von Cayley ist jede endliche Gruppe zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe, also zu einer Permutationsgruppe isomorph. Insofern „ist“ jede endliche Gruppe eine Permutationsgruppe. Sieht man die endliche Gruppe G als abstrakte algebraische Struktur an, dann sagt man daher genauer: G operiert als Permutationsgruppe auf der Menge M. Damit wird deutlich, dass es sich bei dieser treuen Permutationsdarstellung um eine eindeutige Beschreibung der Gruppenstruktur handelt, neben der auch andere Beschreibungen möglich sind.

Definitionen

Definition durch eine Gruppenoperation

Sei (G,\cdot) eine Gruppe mit dem neutralen Element e. G operiert genau dann als Permutationsgruppe auf M, wenn gilt:

  1. M ist eine endliche Menge.
  2. G operiert auf M, das bedeutet, dass eine Abbildung G\times M\rightarrow M,(g,m)\mapsto g\circ m\in M existiert, die den Regeln e\circ m=m,(g\cdot h)\circ m=g\circ (h\circ m) für alle m\in M;\;g,h\in G gehorcht.
  3. Die Operation \circ ist treu (engl.: faithful), das heißt, es gilt: Ist g\circ m=h\circ m für alle m\in M, dann folgt g=h. Oder es gilt gleichwertig: g\circ m=m für alle m\in M, dann folgt g=e.

Eine Gruppenoperation, die nur die 2. und 3. Bedingung erfüllt, heißt treu. G operiert also genau dann als Permutationsgruppe auf M, wenn die Operation treu und M endlich ist. Eine Gruppenoperation, die nur die 1. und 2. Bedingung erfüllt, wird als Permutationsdarstellung (engl.: permutation representation) von G bezeichnet. G operiert also genau dann als Permutationsgruppe auf M, wenn die Gruppenoperation eine treue Permutationsdarstellung ist.

Definition durch einen Gruppenhomomorphismus

Gleichwertige Beschreibung: G operiert genau dann als Permutationsgruppe auf M, falls M eine endliche Menge ist und ein injektiver Gruppenhomomorphismus \phi :G\rightarrow S(M) existiert. Dabei ist S(M)=\{\alpha \in M^{M}:\;\alpha \;{\text{ist bijektiv}}\}, also die Menge aller bijektiven Selbstabbildungen der Menge M. Bei dieser Beschreibung ist die Operation \circ aus der ersten Definition durch g\circ m=(\phi (g))(m) gegeben, die Forderung der Injektivität ist gleichwertig zur Forderung, dass die Operation treu sei.

Man beachte, dass bei den hier genannten Definitionen für eine Permutationsgruppe nicht gesondert gefordert werden muss, dass die Gruppe G endlich sei; dies ergibt sich aus der Endlichkeit von M.

Isomorphie als Permutationsgruppen

Für zwei Gruppen G und H, die auf zwei endlichen Mengen M bzw. N als Permutationsgruppen operieren, wird eine Verschärfung des Isomorphiebegriffs definiert: G und H heißen isomorph als Permutationsgruppen genau dann, wenn ein Gruppenisomorphismus \sigma :G\rightarrow H und eine Bijektion \psi :M\rightarrow N existiert, so dass \psi (g\circ m)=(\sigma (g))\circ \psi (m) für alle g\in G,m\in M gilt. Man kann zeigen, dass zwei Gruppen G und H, die auf derselben Menge M=N=\{1,2,\ldots ,n\} treu operieren, genau dann als Permutationsgruppen isomorph sind, wenn ihre durch die Gruppenoperationen bestimmten Bildgruppen \phi _{1}(G),\phi _{2}(H)<S_{n} in der symmetrischen Gruppe S_{n} konjugierte Untergruppen sind, das heißt, wenn sie durch Konjugation mit einem festen Gruppenelement aufeinander abgebildet werden können.

Semiregulär und regulär

Wortgleich, aber mit Bedeutungsunterschied!

In dem Begriff (links-)reguläre Darstellung und auch in dem auf Gruppen spezialisierten Sinn dieses Wortes, wie er im Artikel Satz von Cayley beschrieben ist, beschreibt regulär als Homonym eine Eigenschaft, die die hier beschriebene weder spezialisiert noch verallgemeinert! Die in Satz von Cayley beschriebene „spezielle reguläre Darstellung“, bei der die Gruppe via Linksmultiplikation auf sich selbst operiert ist tatsächlich – vielleicht eher zufällig – eine aber im Allgemeinen nicht die einzige „reguläre Permutationsdarstellung“ der Gruppe. Dieser Spezialfall wird bei den Beispielen in diesem Artikel erläutert.

Eigenschaften

Die in diesem Abschnitt beschriebenen Eigenschaften finden sich in dem Lehrbuch Design Theory, das in der Literatur genannt ist.[1] Triviale Eigenschaften werden hier oder im Abschnitt Beispiele und Gegenbeispiele in diesem Artikel demonstriert.

→ In Minimale Permutationsdarstellungen, gemeint sind damit dort minimale reguläre Darstellungen als Permutationsgruppe im Sprachgebrauch des vorliegenden Artikels, wird die Frage nach der Größe von m=m(G) vertieft.
  • Ist die Operation von H transitiv, dann ist es auch die von G, umgekehrt kann die Operation von G transitiv sein, die eingeschränkte von H aber nicht.
  • Ist dagegen die Operation von G semiregulär, dann ist es ebenso die von H, auch hier muss die Umkehrung nicht gelten.

Beispiele und Gegenbeispiele

Die Ideen zu den in diesem Abschnitt genannten Beispiele finden sich dem Sinne nach in dem Lehrbuch Design Theory, das in der Literatur genannt ist.[1]

  • Die zyklische Restklassengruppe (\mathbb{Z } /n\mathbb{Z } ,+)\cong (C_{n},\cdot ),n\geq 2 operiert regulär durch die Linksaddition g\circ m:=g+m auf sich selbst und in der gleichen Weise auf den Resten M=\{0,1,2,\ldots ,n-1\}.
  • Ist M<({\mathbb  {F}}_{q})^{n} ein echter linearer Teilraum von ({\mathbb  {F}}_{q})^{n},q,n>1 und H<G={\mathrm  {GL}}(n,q) die Untergruppe, die M als Ganzes auf sich selbst abbildet, dann operiert H transitiv, aber nicht als Permutationsgruppe auf N=M\setminus \{0\}, denn die Operation ist nicht treu. Dagegen operiert die Faktorgruppe H/U, wobei U=\{u\in H:\forall m\in M:u(m)=m\} die Untergruppe von G und U ist, die jedes einzelne Element von N fixiert, in natürlicher Weise transitiv als Permutationsgruppe auf N.
  • Für einen unendlichen Körper K (zum Beispiel K=\mathbb {R} ) operiert {\mathrm  {GL}}(n,K),(n\geq 2) zwar treu und transitiv, aber nicht als Permutationsgruppe auf N=K^{n}\setminus \{0\}, denn N ist nicht endlich.
  • Die Gruppe S_{4} enthält drei weitere, zu V_4 isomorphe Untergruppen, z. B. U=\{e,(13),(24),(13)(24)\}. Da V_4, wie hier definiert, semiregulär auf M operiert, U dagegen nicht und weil die Bahn von 1 bei der Operation von U nur zwei Elemente enthält, sind die beiden Untergruppen nicht als Permutationsgruppen auf M isomorph. Dagegen ist U zu den anderen beiden (von V_4 verschiedenen!) Gruppen, die von zwei disjunkten Transpositionen erzeugt werden, isomorph als Permutationsgruppe.
  • Die Untergruppe H=V_{4} ist wie G=S_{4} transitiv, aber G ist im Gegensatz zu H nicht semiregulär.

Endliche Symmetriegruppen

In der Geometrie treten viele Gruppen auf, die dadurch definiert sind, dass sie eine geometrische Figur als Ganzes auf sich abbilden. Zum Beispiel ist die Gruppe der Bewegungen des dreidimensionalen Anschauungsraums, die den Einheitswürfel (aufgespannt von den drei Standardbasisvektoren) als Ganzes auf sich abbilden, eine typische Symmetriegruppe.

Automorphismengruppen endlicher Strukturen

Die strukturerhaltenden, bijektiven Selbstabbildungen endlicher Strukturen, zum Beispiel der endlichen Inzidenzstrukturen, wie der Blockpläne, der endlichen projektiven Ebenen usw. operieren als Permutationsgruppen auf der endlichen Menge M der „Elemente“ der Struktur (für Inzidenzstrukturen M={\mathfrak  {p}}\cup {\mathfrak  {B}}, also die Menge der „Punkte“ zusammen mit der Menge der „Blöcke“). In den wichtigen Fällen, etwa für alle einfachen Blockpläne (also auch für alle „klassischen“ endlichen Geometrien), genügt es, als Menge die Punkt- oder die Blockmenge zu verwenden, da die Automorphismengruppen bereits auf wenigstens einer dieser Mengen treu operiert. Meist wird die Punktmenge verwendet. Die Gruppe aller strukturerhaltenden, bijektiven Selbstabbildungen der Struktur {\mathcal {I}} wird als volle Automorphismengruppe {\mathrm  {Aut}}({\mathcal  {I}}) der Struktur, jede ihrer Untergruppen als Automorphismengruppe bezeichnet. Nach Konstruktion operieren diese Gruppen als Permutationsgruppen auf der Menge der Strukturelemente, in den angesprochenen wichtigsten Fällen bereits auf der Punktmenge.

Permutationsdarstellung

Zu einer Permutationsgruppe assoziierte lineare Darstellung

Sei X eine endliche Menge auf der die Gruppe G operiert. Die Gruppe {\displaystyle {\text{Aut}}(X)} ist dann die Gruppe aller Permutationen von X mit der Komposition als Verknüpfung.
Die Operation einer Gruppe auf einer endlichen Menge wird manchmal bereits als ausreichend für die Definition der Permutationsdarstellung betrachtet. Da wir aber Beispiele für lineare Darstellungen geben wollen, bei denen die Gruppe auf einem Vektorraum und nicht auf einer beliebigen endlichen Menge operiert, wählen wir den folgenden Ansatz:
Wir konstruieren die zu X assoziierte Permutationsdarstellung als Darstellung von G in einen Vektorraum, dessen Basis mit den Elementen aus X indiziert werden kann und die die Eigenschaft {\displaystyle \rho (s)e_{x}=e_{s.x}} für jedes {\displaystyle s\in G,x\in X} erfüllt. Dadurch sind die linearen Abbildungen {\displaystyle \rho (s)} eindeutig festgelegt.

Beispiel

Sei {\displaystyle X=\{1,2,3\}} und {\displaystyle G={\text{Per}}(3).} Dann operiert G auf X via {\displaystyle {\text{Aut}}(X)=G.}
Die zugehörige lineare Darstellung ist {\displaystyle \rho \colon G\to {\text{GL}}(V)\cong {\text{GL}}_{3}(\mathbb {C} ),} wobei {\displaystyle \rho (\sigma )e_{x}=e_{\sigma (x)}} für {\displaystyle \sigma \in G,x\in X.}

Links- und rechtsreguläre Darstellung

Sei G eine Gruppe mit {\displaystyle {\text{ord}}(G)=g} und sei V ein Vektorraum der Dimension g, dessen Basis {\displaystyle (e_{t})_{t\in G}} mit den Elementen aus G indiziert wird. Die linksreguläre Darstellung ist dann ein Sonderfall der Permutationsdarstellung, in dem wir X=G setzen. Es gilt also {\displaystyle \rho (s)e_{t}=e_{st}} für alle {\displaystyle s,t\in G.} Damit bildet die Familie {\displaystyle (\rho (s)e_{1})_{s\in G}} der Bilder von e_{1} eine Basis von V, wobei wir hier das neutrale Element der Gruppe G mit 1 bezeichnet haben. Der Grad der linksregulären Darstellung entspricht der Gruppenordnung.
Die rechtsreguläre Darstellung wird ähnlich definiert: In diesem Fall operiert G von rechts auf der mit Elementen aus G indizierten Basis von {\displaystyle V:\rho (s)e_{t}=e_{ts^{-1}}.} Auch hier bilden die Bilder des ersten Basisvektors unter der Operation eine Basis des Vektorraums und der Grad entspricht der Gruppenordnung.
Die beiden Darstellungen sind via {\displaystyle e_{s}\mapsto e_{s^{-1}}} isomorph zu einander. Daher spricht man hier häufig auch nur von der regulären Darstellung.
Eine nähere Betrachtung ergibt, dass jede lineare Darstellung {\displaystyle \rho :G\to {\text{GL}}(W)} mit der Eigenschaft, dass es ein w\in W gibt, sodass {\displaystyle (\rho (s)w)_{s\in G}} eine Basis von W ist, isomorph zur linksregulären Darstellung ist.

Beispiel

Sei {\displaystyle G=\mathbb {Z} /5\mathbb {Z} } und {\displaystyle V=\mathbb {R} ^{5}} mit Basis {\displaystyle e_{\overline {0}},\dotsc ,e_{\overline {4}}.} Die linksreguläre Darstellung {\displaystyle L_{\rho }\colon G\to {\text{GL}}(V)} ist dann definiert durch {\displaystyle L_{\rho }(k)e_{l}=e_{k+l}} für {\displaystyle k,l\in \mathbb {Z} /5\mathbb {Z} .}
Die rechtsreguläre Darstellung erhält man analog durch {\displaystyle R_{\rho }(k)e_{l}=e_{l-k}} für {\displaystyle k,l\in \mathbb {Z} /5\mathbb {Z} .}

Siehe auch

Literatur

Einzelnachweise

  1. a b Beth, Jungnickel, Lenz
  2. Das bedeutet hier: Keine drei Eckpunkte liegen auf derselben Geraden und die Menge aller Eckpunkte liegt nicht in einer gemeinsamen Ebene
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 16.12. 2019