Algebraische Struktur

Wichtige algebraische Strukturen
Algebraische Axiome der Gruppe Ring kommutativer
Ring
Schiefkörper
(Divisionsring)
Körper
Kommutativgesetz bzgl. der Addition
(additiv-kommutative Gruppe)
Ja Ja Ja Ja
Distributivgesetz Ja Ja Ja Ja
Kommutativgesetz bzgl. der Multiplikation
(multiplikativ-kommutative Gruppe)
Nein Ja Nein Ja
Multiplikativ Inverses existiert
für jedes Element außer 0.
Nein Nein Ja Ja

Der Begriff der algebraischen Struktur (oder universelle Algebra, allgemeine Algebra oder nur Algebra) ist ein Grundbegriff und zentraler Untersuchungsgegenstand des mathematischen Teilgebietes der universellen Algebra. Eine algebraische Struktur ist gewöhnlich eine Menge versehen mit Verknüpfungen auf dieser Menge. Eine Vielzahl der in der abstrakten Algebra untersuchten Strukturen wie Gruppen, Ringe oder Körper sind spezielle algebraische Strukturen.

Algebraische Strukturen können auch aus mehreren Mengen zusammen mit Verknüpfungen auf und zwischen diesen Mengen bestehen. Sie werden dann heterogene Algebren genannt, prominentestes Beispiel sind Vektorräume (mit Vektoren und Skalaren).

Verallgemeinerungen algebraischer Strukturen sind die partiellen Algebren und die relationalen Strukturen.

Definition der algebraischen Struktur

Eine algebraische Struktur oder allgemeine Algebra ist ein geordnetes Paar

{\bigl (}A,(f_{i})_{i\in I}{\bigr )},

bestehend aus einer nichtleeren Menge A, der Grundmenge oder Trägermenge der Algebra, und einer Familie (f_{i})_{i\in I} von inneren (endlichstelligen) Verknüpfungen, auch Grundoperationen oder fundamentale Operationen genannt, auf A.

Eine innere n-stellige Verknüpfung auf A ist eine Funktion f\colon \,A^{n}\to A, die n Elemente a_1, \dotsc, a_n aus A immer auf ein (eindeutig bestimmtes) Element b aus A abbildet, b ist dann das Bild von {\displaystyle (a_{1},\dotsc ,a_{n})} (Schreibweise: {\displaystyle b=f(a_{1},\dotsc ,a_{n})}). Eine nullstellige Verknüpfung auf A kann als ein eindeutig bestimmtes, ausgezeichnetes Element in A, eine Konstante, interpretiert werden. Konstanten werden meist mit einem speziellen Symbol (z.B. einem Buchstaben oder einem Zahlzeichen wie e,0,1) bezeichnet. Eine innere einstellige Verknüpfung ist eine Funktion von A nachA, die oft durch ein Symbol bezeichnet wird, das unmittelbar (d.h. ohne zusätzliche Klammern oder Trennzeichen) vor, hinter, über etc. das Element (Argument) geschrieben wird.

Beispiele: {\displaystyle -a,\,a!,\,{\overline {a}},\,a^{-1}}

Beim Bild einer zweistelligen Verknüpfung wird in der Regel das Verknüpfungssymbol zur Vereinfachung zwischen die beiden Argumente geschrieben.

Beispiele: a+b,a\cdot b,f\circ g an Stelle von +(a,b),\cdot (a,b),\circ (f,g)

Meistens hat eine Algebra nur endlich viele fundamentale Operationen {\displaystyle f_{1},\dotsc ,f_{m},} man schreibt dann für die Algebra einfach nur {\displaystyle (A,f_{1},\dotsc ,f_{m}).}

Der (Ähnlichkeits-) Typ (auch Signatur) einer Algebra {\bigl (}A,(f_{i})_{i\in I}{\bigr )} ordnet jedem Index i\in I die jeweilige Stelligkeit n_{i} der fundamentalen Operation f_{i} zu, d.h., er ist eine Funktion \sigma \colon I\to \mathbb {N} _{0},\,i\mapsto \sigma (i):=n_{i} für f_{i}\colon \,A^{n_{i}}\to A. Der Typ kann ebenso als Familie geschrieben werden: \sigma =(n_{i})_{i\in I}.[1]

So wird zum Beispiel eine Gruppe meist als Struktur (G,\cdot ,1,{}^{-1}) aufgefasst, wobei G die Trägermenge ist, \cdot eine zweistellige Verknüpfung von G\times G nach G,1 eine Konstante in G und {}^{-1} eine einstellige Verknüpfung von G nach G. Eine Gruppe ist damit eine Algebra vom Typ (2,0,1).

Bemerkungen

Arten algebraischer Strukturen

Die jeweiligen Verknüpfungen von Algebren des gleichen Typs besitzen oft noch gemeinsame Eigenschaften, sodass man Algebren nach ihrem Typ und nach den Eigenschaften ihrer Verknüpfungen in verschiedene Klassen einteilen kann. Die Eigenschaften der konkret gegebenen Verknüpfungen einer Algebra spezifiziert man näher durch Axiome, die in der abstrakten Algebra (Teilgebiet der Mathematik) meist in Form von Gleichungen geschrieben werden und die Art der Algebra festlegen.

Ein Beispiel ist das Assoziativgesetz für eine innere zweistellige Verknüpfung * auf einer Menge A\colon

a*(b*c)=(a*b)*c für alle Elemente a,b,c aus A.

Erfüllt nun die zweistellige Operation \star einer Algebra (S,\star ) dieses Axiom (ersetze * durch \star und A durch S), dann gehört die Algebra (S,\star ) zur Art der Halbgruppe bzw. sie ist eine Halbgruppe.

Unterstrukturen (Unteralgebren)

Ist A die Grundmenge einer algebraischen Struktur, so kann man mit Hilfe der Verknüpfungen von A auf einer Teilmenge B\subseteq A von A eine neue algebraische Struktur des gleichen Typs definieren, falls die Menge B so gewählt ist, dass die Verknüpfungen der ursprünglichen Struktur nicht aus der Menge B herausführen. Das bedeutet, wenn man die Verknüpfungen der ursprünglichen algebraischen Struktur auf die Elemente von B anwendet, dürfen keine Elemente entstehen, die nicht in B sind – insbesondere müssen die Konstanten bereits in B enthalten sein. In der konkreten Anwendung sind z.B. Untergruppen die Unterstrukturen einer Gruppe. Je nachdem, wie man die Gleichungen zur Definition der algebraischen Struktur gewählt hat, können die Unterstrukturen aber ganz verschieden aussehen. So lassen sich z.B. Gruppen so definieren, dass die Unterstrukturen Normalteiler sind.

Homomorphismen

Strukturtreue Abbildungen, sogenannte Homomorphismen, zwischen je zwei algebraischen Strukturen A und B von derselben Art (sie haben also Verknüpfungen von jeweils gleichen Stelligkeiten und gleichen gegebenen spezifischen Eigenschaften) sind mit den Verknüpfungen der beiden algebraischen Strukturen verträglich. Jede algebraische Struktur hat deshalb ihren eigenen Homomorphismus-Begriff und definiert daher eine Kategorie.

Einander entsprechende Verknüpfungen in A und B werden meist mit dem gleichen Symbol bezeichnet. So wird etwa in jeder betrachteten Gruppe die Gruppenoperation einheitlich z.B. \cdot geschrieben. Müssen im Einzelfall die beiden Verknüpfungen auseinandergehalten werden, werden in der Regel die Symbole ihrer Grundmengen oder ähnliches als Indizes beigefügt, also z.B. \cdot _{A} und \cdot _{B}. Ein Homomorphismus \varphi \colon A\to B ist eine Funktion, die für jede Verknüpfung f (mit der Stelligkeit n) die folgende Bedingung erfüllt:

{\displaystyle \varphi (f_{A}(x_{1},\dotsc ,x_{n}))=f_{B}(\varphi (x_{1}),\dotsc ,\varphi (x_{n}))}

Die besonderen Schreibweisen der null-, ein- und zweistelligen Verknüpfungen werden berücksichtigt:

Ein surjektiver Homomorphismus wird Epimorphismus genannt, ein injektiver Monomorphismus. Ein Homomorphismus von A in sich (also falls B=A gilt) heißt Endomorphismus. Ein bijektiver Homomorphismus, dessen Umkehrfunktion ebenfalls ein Homomorphismus ist, heißt Isomorphismus. Ist der Isomorphismus gleichzeitig auch Endomorphismus, so heißt er Automorphismus.

Siehe auch: Homomorphiesatz.

Kongruenzrelationen

Auf algebraischen Strukturen lassen sich spezielle Typen von Äquivalenzrelationen finden, die mit den Verknüpfungen einer algebraischen Struktur verträglich sind. Diese werden dann Kongruenzrelationen genannt. Mit Hilfe von Kongruenzrelationen lassen sich Faktoralgebren bilden, d.h., es wird aus der ursprünglichen algebraischen Struktur eine Struktur gleichen Typs erzeugt, deren Elemente allerdings dann die Äquivalenzklassen bezüglich der Kongruenzrelation sind. Die Verknüpfungen sind aufgrund der speziellen Eigenschaften der Kongruenzrelation wohldefiniert. In vielen konkreten Anwendungen entsprechen die Äquivalenzklassen den Neben- bzw. Kongruenzklassen bestimmter Unterstrukturen z.B. Normalteilern bei Gruppen oder Idealen bei Ringen usw.

Produkte

Bildet man das mengentheoretische direkte Produkt der Grundmengen mehrerer allgemeiner Algebren des gleichen Typs, so kann man wiederum eine neue Algebra gleichen Typs auf dieser Produktmenge erhalten, indem man die neuen Verknüpfungen dieser Algebra komponentenweise durch die Verknüpfungen der ursprünglichen Algebren definiert. Diese kann allerdings andere Eigenschaften haben, als die ursprüngliche Algebra; z.B. muss das Produkt von Körpern nicht mehr ein Körper sein.

„Zoo“ der algebraischen Strukturen

Beispiel: Gruppen

Als Beispiel für die Definition einer algebraischen Struktur betrachten wir eine Gruppe. Üblicherweise ist eine Gruppe definiert als ein Paar (G,*), bestehend aus einer Menge G> und einer zweistelligen Verknüpfung *, sodass für alle x,y,z in G die folgenden drei Axiome erfüllt sind:

Manchmal findet man noch die Forderung der „Abgeschlossenheit“, dass x*y wieder in G liegen soll, aber aus der Sicht eines Algebraikers beinhaltet der Begriff der „zweistelligen Verknüpfung“ diese Eigenschaft bereits.

Diese Definition hat aber die Eigenschaft, dass die Axiome nicht allein durch Gleichungen ausgedrückt werden, sondern auch den Existenzquantor „es gibt … sodass“ enthalten; in der allgemeinen Algebra versucht man deshalb solche Axiome zu vermeiden (Quantorenelimination). Die Vereinfachung der Axiome auf eine reine Gleichungsform ist hier nicht schwierig: Wir fügen eine nullstellige Verknüpfung e und eine einstellige Verknüpfung {}^{-1} hinzu und definieren eine Gruppe als ein Quadrupel (G,*,e,^{-1}) mit einer Menge G, einer zweistelligen Verknüpfung *, einer Konstanten e und einer einstelligen Verknüpfung {}^{-1}, die den folgenden Axiomen genügen:

Es ist nun wichtig zu prüfen, ob damit tatsächlich die Definition einer Gruppe erreicht wurde. Es könnte ja sein, dass dadurch noch nicht alle Eigenschaften einer Gruppe gegeben sind oder gar zu viele. Tatsächlich stimmen die beiden Definitionen einer Gruppe überein.

Beispiele von algebraischen Strukturen

In der folgenden Liste werden alle (zweistelligen) Verknüpfungen, neutrale Elemente (= nullstellige Verknüpfungen), Inversenabbildungen (= einstellige Verknüpfungen) und Operatorbereiche angegeben.

Im normalen Gebrauch gibt man dagegen für algebraische Strukturen nur die mehrstelligen Verknüpfungen und die Operatorbereiche an (manchmal noch die neutralen Elemente), für alle anderen gibt es meist Standardnotationen.

Eine nicht vollständige Liste verschiedener algebraischer Strukturen:

Versehen mit weiterer Struktur, Internalisierung

Algebraische Strukturen können mit Zusatzstrukturen ausgestattet werden, z.B. mit einer Topologie. Eine topologische Gruppe ist ein topologischer Raum mit einer Gruppenstruktur, sodass die Operationen Multiplikation und Inversenbildung stetig sind. Eine topologische Gruppe hat sowohl eine topologische, als auch eine algebraische Struktur. Andere häufige Beispiele sind topologische Vektorräume und Lie-Gruppen. Abstrakt gesprochen sind die Verknüpfungen in solchen Strukturen nun Morphismen in einer bestimmten Kategorie, etwa der der topologischen Räume im Fall topologischer Gruppen. Man spricht von einer Internalisierung in diese Kategorie. Im Spezialfall gewöhnlicher algebraischer Strukturen sind die Verknüpfungen Morphismen in der Kategorie der Mengen, also Funktionen.

Partielle Algebren

Ersetzt man in der obigen Definition den Begriff Verknüpfungen durch partielle Verknüpfungen, dann spricht man von einer partiellen Algebra. Die Verknüpfungen müssen hier nicht für alle Kombinationen von Parametern (n-Tupel-Kombinationen) definiert sein.

Anmerkung

  1. Man kann die Indexmenge I verstehen als ein Alphabet von Bezeichern der Funktionen. Als Signatur wird dann gelegentlich das Paar {\displaystyle (I,\sigma )} bezeichnet.
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 22.04. 2020