Verträglichkeit (Mathematik)
In der Mathematik ist eine Abbildung zwischen zwei Mengen, die nicht verschieden sein müssen und die Strukturen der gleichen Art besitzen, dann mit deren Strukturen verträglich, ein Homomorphismus oder ein (konkreter) Morphismus dieser Strukturart, wenn sie die Elemente aus der einen Menge so in die andere Menge abbildet, dass sich ihre Bilder dort hinsichtlich der Relationen sowie Abbildungen der Struktur ebenso verhalten, wie sich deren Urbilder in der Ausgangsstruktur verhalten.
Ein wichtiger Sonderfall hierfür sind die Distributivgesetze als Charakterisierung von zweistelligen Verknüpfungen, die linksverträglich bzw. rechtsverträglich mit anderen Verknüpfungen sind.
Definition
Gegeben seien zwei nichtleere Mengen
und
sowie beliebige nichtleere Indexmengen
und
für jedes
die im Folgenden immer auch unendlich sein können.
Weiterhin seien
und
zwei Relationen [1]
mit gleichen Eigenschaften sowie
und
zwei Familien
von Relationen
und
die für jeden Index
jeweils gleiche Eigenschaften haben, sodass
und
zwei Strukturen der gleichen Art sind.
Eine Relation
heißt dann verträglich mit den Relationen
und
wenn für alle
gilt:
Demnach ist insbesondere eine Abbildung
verträglich mit den Relationen
und
wenn gilt:
ist verträglich mit den Strukturen
und
[2]
wenn für jeden Index
die Abbildung
verträglich ist mit
und
Man nennt dann
auch einen Homomorphismus oder kurz Morphismus dieser Strukturart.
Nun sei
eine innere
Verknüpfung auf
(
darf auch unendlich sein) und
sodass auf
komponentenweise die Relation
auf
gegeben ist.
heißt dann verträglich mit
wenn
verträglich ist mit
und
Hierbei (und auch im Folgenden, für beliebige )
sei für
das
definiert per
.
Eigenschaften
- Sind zwei Relationen mit gleichen Eigenschaften
und
Abbildungen (d.h. linkstotal und rechtseindeutig)
und
so ist eine Abbildung
genau dann verträglich mit den Abbildungen
und
wenn
-
für alle
- Zwei nullstellige
Abbildungen
und
können stets als die einelementigen einstelligen Relationen
und
aufgefasst werden. Eine Abbildung
ist daher genau dann verträglich mit den Abbildungen
und
wenn
die Konstanten
und
aufeinander abbildet:
ist genau dann verträglich mit einer Abbildung
wenn gilt:
-
für alle
Distributivität
Sei nun zusätzlich eine nichtleere Menge
gegeben. Man nennt dann eine zweistellige
Verknüpfung
linksverträglich mit
und
wenn für jedes
die Linkstransformation
nach obiger Definition mit
und
verträglich ist. Ebenso nennt man eine zweistellige Verknüpfung
rechtsverträglich mit
und
wenn für jedes
die Rechtstransformation
mit
und
verträglich ist.
Falls
linksverträglich ist sowie
rechtsverträglich ist mit Abbildungen
und
dann sagt man auch, dass
linksdistributiv ist bzw.
rechtsdistributiv ist über
und
bzw.
für alle
und für alle
Eine innere
zweistellige Verknüpfung
auf
heißt distributiv über
wenn
links- und rechtsdistributiv über
ist.
Beispiele
- Die mit geordneten
Strukturen
und
verträglichen Abbildungen
heißen isoton oder auch monoton (steigend):
-
für alle
- Eine Kongruenzrelation
ist eine auf einer algebraischen
Struktur
derart erklärte Äquivalenzrelation
dass alle inneren Verknüpfungen
verträglich sind mit
- Die mit algebraischen Strukturen verträglichen Abbildungen sind (algebraische) Homomorphismen.
- Vollständige Verbandshomomorphismen von unendlichen vollständigen Verbänden sind Beispiele für unendlichstellige Homomorphismen.
- Die Topologie
eines topologischen Raums
ist eindeutig durch das Hüllensystem
aller abgeschlossenen Mengen des Raumes gegeben und ebenso ist
durch das Kernsystem
eindeutig bestimmt, denn jede offene Menge
ist das (absolute) Komplement einer abgeschlossenen Menge
und umgekehrt. Jede abgeschlossene Menge
lässt sich wiederum dadurch charakterisieren, dass jeder Punkt
genau dann in
liegt, wenn gegen ihn ein Netz
konvergiert mit
für alle
Die Topologie
und das Konvergenzverhalten aller Netze in
sind also äquivalent.
- Mit der gemeinsamen topologischen Struktur zweier topologischer Räume
und
ist daher eine Abbildung
genau dann verträglich oder stetig, falls sie für jeden Punkt
mit allen gegen
konvergenten Netzen verträglich ist:
für alle Netze
mit
für alle
- Mit Kategorien verträgliche Abbildungen nennt man Funktoren.
- Die Distributivität spielt bei vielen algebraischen Strukturen eine wichtige Rolle.
Anmerkungen
- ↑
Die Menge
aller Familien in
mit Indexmenge
wird, falls
endlich ist und genau
Elemente enthält, ebenso mit
oder für
mit
identifiziert, wobei man zwischen
und
in der Regel nicht unterscheidet.
- ↑
Eine Struktur
mit einem Tupel bzw. einer Familie von mehreren Trägermengen
und mit Relationen
in (auch verschiedenen) kartesischen Produkten dieser Trägermengen lässt sich als eine Struktur mit der Trägermenge
auffassen, da stets jede Relation
auch Teilmenge eines kartesischen Produkts von
ist.



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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 12.06. 2020