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Funktor (Mathematik)

Funktoren sind ein zentrales Grundkonzept des mathematischen Teilgebiets der Kategorientheorie. Ein Funktor ist eine strukturerhaltende Abbildung zwischen zwei Kategorien. Konkrete Funktoren haben in vielen Teilgebieten der Mathematik eine besondere Bedeutung. Funktoren werden auch Diagramme genannt (mitunter nur in bestimmten Kontexten), da sie eine formale Abstraktion kommutativer Diagramme darstellen.

Definition

Seien {\mathcal {C}},{\mathcal {D}} Kategorien. Eine Zuordnung F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}} heißt genau dann (kovarianter) Funktor, wenn

Daraus folgt, dass für {\mathcal {C}}\ni u\colon A\to B auch F(u)\colon F(A)\to F(B) ist.

Ein kovarianten Funktor auf der dualen Kategorie, F\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {D}}, wird als kontravarianter Funktor (oder Kofunktor) F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}} bezeichnet und kann als Abbildung von {\mathcal {C}} nach {\mathcal {D}} angesehen werden, indem man die Morphismen in {\mathcal {C}} und {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} } miteinander identifiziert. Konkret ist eine Abbildung F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}} genau dann ein kontravarianter Funktor, wenn

Beispiele

Elementare Eigenschaften

Multifunktoren

Sei eine Familie von Kategorien ({\mathcal {C}}_{i})_{i\in I} bezüglich einer (kleinen) Menge I gegeben. Ein kovarianter Funktor F von der Produktkategorie \textstyle \prod _{i}{\mathcal {C}}_{i} in eine Kategorie {\mathcal {D}} heißt nun kovarianter Multifunktor. Nun betrachtet man auch Multifunktoren, die in manchen Komponenten ko- und in manchen kontravariant sind. F\colon \textstyle \prod _{i}{\mathcal {C}}_{i}\to {\mathcal {D}} heißt genau dann Multifunktor der Varianz v\colon I\to \{0,1\} (die {\displaystyle 0} zeige Kovarianz, die 1 Kontravarianz an), wenn er aufgefasst als Abbildung von

{\displaystyle \prod _{i}{\begin{cases}{\mathcal {C}}_{i}&{\text{wenn }}v(i)=0\\{\mathcal {C}}_{i}^{\operatorname {op} }&{\text{wenn }}v(i)=1\end{cases}}}

nach {\mathcal {D}} ein kovarianter Multifunktor ist. Ein Multifunktor auf dem Produkt zweier Kategorien heißt Bifunktor. Schränkt man den Definitionsbereich eines Multifunktors in einzelnen Komponenten auf ein einzelnes Objekt ein, so erhält man einen partiellen Funktor, ebenfalls ein Multifunktor, der in den übrigen Komponenten seine Varianz behält.

Bemerkung

Die Varianz eines Funktors ist im Allgemeinen nicht eindeutig. Trivialbeispiel: Auf der Kategorie, die nur aus einem einzigen Objekt mit seinem Identitätsmorphismus besteht, ist der Identitätsfunktor ko- und kontravariant. Dies gilt auch allgemeiner in Kategorien, deren Morphismen alle Automorphismen sind, sodass die Automorphismengruppen abelsch sind. Beispiel für Mehrdeutigkeit bei Multifunktoren ist eine kanonische Projektion von einer Produktkategorie in eine Komponente, dieser Funktor ist in allen anderen Komponenten sowohl ko- als auch kontravariant.

Beispiele

\operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(f,g)\colon \operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(B,C)\to \operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(A,D),m\mapsto gmf
definiert. Für jedes Objekt A sind die partiellen Hom-Funktoren \operatorname {Hom} (A,-) bzw. \operatorname {Hom} (-,A) ko- bzw. kontravariante Funktoren.

Eigenschaften von Funktoren

Wie bei den meisten mathematischen Strukturen üblich, liegt es nahe, injektive, surjektive und bijektive Funktoren zu betrachten. Die Umkehrfunktion eines bijektiven Funktors ist wie bei allen algebraischen Strukturen wiederum ein Funktor, man spricht daher in diesem Fall von einem Isomorphismus zwischen Kategorien. Dieser Isomorphismenbegriff ist jedoch für die Kategorientheorie in einem gewissen Sinne unnatürlich: Für die Struktur einer Kategorie spielt es nämlich im Wesentlichen keine Rolle, ob zu einem Objekt weitere isomorphe Objekte vorhanden sind. Die Morphismen von zwei isomorphen Objekten zu einem beliebigen Objekt entsprechen einander vollkommen, und umgekehrt. Für einen Isomorphismus im obigen Sinne ergibt es jedoch einen Unterschied, wie viele (angenommen, man bewegt sich in einer kleinen Kategorie, sodass man von Anzahlen sprechen kann) isomorphe Objekte jeweils vorhanden sind, eine Eigenschaft, die für kategorientheoretische Betrachtungen im Allgemeinen keine Rolle spielt. Solche Anzahlen können etwa von völlig belanglosen Details in der Konstruktion einer Kategorie abhängen – definiert man differenzierbare Mannigfaltigkeiten als Teilmengen der \mathbb {R} ^{n} (in dem Fall gibt es eine Menge aller Mannigfaltigkeiten) oder als beliebige Mengen mit einer differenzierbaren Struktur (diese bilden eine echte Klasse)? Sind je zwei nulldimensionale Vektorräume gleich (entsprechend der Sprechweise der Nullvektorraum) oder nur isomorph? etc. Daher definiert man gewisse Eigenschaften von Funktoren, die „unempfindlich“ unter Hinzufügen oder Entfernen von isomorphen Objekten sind:

Ein Funktor F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}} heißt treu, wenn keine zwei verschiedenen Morphismen zwischen denselben Objekten auf denselben Morphismus abgebildet werden, d.h., er ist injektiv auf jeder Klasse {\mathcal {C}}(A,B) von Morphismen zwischen A und B. Analog dazu heißt er voll, wenn er auf jeder Klasse {\mathcal {C}}(A,B) surjektiv ist. Ein volltreuer Funktor ist ein Funktor, der voll und treu ist. Ein wesentlich surjektiver Funktor ist nun ein Funktor, sodass für jedes Objekt in {\mathcal {D}} ein isomorphes Objekt existiert, das im Bild von F liegt. Eine Äquivalenz ist nun ein Funktor, der volltreu und wesentlich surjektiv ist. Dies stellt in gewisser Hinsicht einen natürlicheren Isomorphiebegriff für Kategorien dar. Eine Äquivalenz besitzt zwar keine inverse Funktion im wörtlichen Sinne, wohl aber etwas Ähnliches in Form einer Äquivalenz von >D nach C, sodass bei Verkettung der beiden Äquivalenzen Objekte auf isomorphe Objekte abgebildet werden. Betrachtet man statt Kategorien nur Skelette von Kategorien, so stimmt der Begriff der Äquivalenz mit dem der Isomorphie überein.

Natürliche Transformationen

Hauptartikel: Natürliche Transformation

Funktoren können nicht nur als Morphismen in Kategorien von Kategorien aufgefasst werden, sondern können auch als Objekte von Kategorien aufgefasst werden. Als Morphismen zwischen Funktoren betrachtet man dabei meist natürliche Transformationen.

Diagramme und Limites

Hauptartikel: Limes (Kategorientheorie)

Viele Begriffe werden in der Mathematik über kommutative Diagramme definiert. Beispielsweise lässt sich das Inverse f^{-1} eines Morphismus f in einer Kategorie {\mathcal {C}} so definieren, dass das folgende Diagramm kommutiert:

Inverse.svg

Dies lässt sich so formalisieren, dass ein Funktor von einer Kategorie mit zwei Objekten und zwei nicht-identischen Morphismen zwischen ihnen (entsprechend der Form des Diagramms) in die Kategorie {\mathcal {C}} existiert, sodass das Bild des einen nicht-identischen Morphismus f und das des anderen ist. Dieser Funktor wird dann auch Diagramm genannt. Als Verallgemeinerung typischer Definitionen über universelle Eigenschaften ergibt sich der Begriff des Limes eines Funktors.

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 06.10. 2019