Limes (Kategorientheorie)

In der Algebra oder allgemeiner der Kategorientheorie ist der projektive Limes (oder inverse Limes oder einfach Limes) eine Konstruktion, mit der man verschiedene in gewisser Weise zusammengehörende Strukturen verbinden kann. Das Ergebnis dieses Verbindungsvorgangs wird vor allem bestimmt von Abbildungen zwischen diesen Strukturen.

Projektive Limites für Mengen und einfache algebraische Strukturen

Die folgende Konstruktion definiert den Limes für Mengen oder beliebige algebraische Strukturen, die mithilfe von Limites (Produkten, Endobjekten, Differenzkernen) definiert sind. Als Beispiel werden Gruppen behandelt.

Gegeben seien eine halbgeordnete Menge {\displaystyle (I,>)}, für jedes i\in I eine Gruppe X_{i} und für je zwei Indizes i,j\in I mit i>j ein Gruppenhomomorphismus

f_{ij}\colon X_{i}\to X_{j}.

Diese Homomorphismen seien außerdem verträglich in dem Sinne, dass für i>j>k gilt:

f_{{ik}}=f_{{jk}}\circ f_{{ij}}

(„um von i nach k zu kommen, kann man auch einen Umweg über j nehmen“).

Der projektive Limes \varprojlim _{i\in I}X_{i} ist die Menge aller Familien (x_{i})_{i\in I} mit x_{i}\in X_{i} mit der Eigenschaft

f_{ij}(x_{i})\,=\,x_{j} für i>j.

Durch die komponentenweise Definition seiner Verknüpfung über die Verknüpfungen in den Komponenten X_{i} wird \varprojlim _{i\in I}X_{i} zu einer Gruppe.

Die universelle Eigenschaft

Der projektive Limes \varprojlim _{i\in I}X_{i} zusammen mit den Homomorphismen

\mathrm {pr} _{i}\colon \varprojlim _{i\in I}X_{i}\to X_{i},\quad (x_{j})_{j\in I}\mapsto x_{i},

den kanonischen Projektionen, hat die folgende universelle Eigenschaft:

Für jede Gruppe T und Homomorphismen t_{i}\colon T\to X_{i}, für die t_{j}=f_{ij}\circ t_{i} für alle i>j gilt, existiert ein eindeutig bestimmter Homomorphismus c\colon T\to \varprojlim _{i\in I}X_{i}, so dass t_{i}=\mathrm {pr} _{i}\circ c gilt.
Projective limit.svg
Kommutatives Diagramm zur Definition des Limes in der Kategorientheorie

Projektive Limites in beliebigen Kategorien

Mithilfe des Begriffs des projektiven Limes für Mengen kann man projektive Limites in beliebigen Kategorien definieren: Sind Objekte X_{i} einer Kategorie C und Übergangsmorphismen {\displaystyle f_{i,j}} gegeben, so ist der Limes dieses projektiven Systems charakterisiert durch eine natürliche Äquivalenz

{\displaystyle Hom_{C}(T,\lim X_{i})=\lim Hom_{C}(T,X_{i})}

von Funktoren in T; dabei ist der Limes auf der rechten Seite der bereits definierte Limesbegriff für Mengen. Der derartig definierte Limes erfüllt die analoge universelle Eigenschaft.

Für "einfache" algebraische Strukturen wie Vektorräume, Gruppen oder Ringe stimmt dieser Limesbegriff mit dem oben definierten, mengenbasierten überein.

Es gibt jedoch Kategorien, in denen projektive Limites nicht existieren, beispielsweise die Kategorie der endlichen abelschen Gruppen: Es sei {\displaystyle (X_{i},f_{i,j})} das projektive System

{\displaystyle \ldots \to (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{3}\to (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{2}\to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }

mit der Projektion auf die ersten Faktoren als Übergangsabbildungen. Für {\displaystyle T:=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} } ist

{\displaystyle \lim Hom(T,X_{i})}

unendlich, also nicht gleich

{\displaystyle Hom(T,L)}

für irgendeine endliche abelsche Gruppe L.

Beispiele

Die proendliche Vervollständigung {\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}} des Rings der ganzen Zahlen \mathbb {Z} ist der projektive Limes der Restklassenringe {\displaystyle X_{m}\;:=\;\mathbb {Z} /m}, wobei die Indexmenge {\displaystyle I\;:=\;\mathbb {N} } mit der Halbordnung der Teilbarkeit versehen ist und die Morphismen die Restklassenabbildungen sind. Genauer: Sind {\displaystyle m,n\in \mathbb {N} } mit {\displaystyle m\mid n}, dann sind die Restklassenabbildungen {\displaystyle f_{nm}\colon \mathbb {Z} /n\to \mathbb {Z} /m} wie oben ein verträgliches System von Homomorphismen. {\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}} erweist sich als das direkte Produkt {\displaystyle \prod _{p\in \mathbb {P} }\mathbb {Z} _{p}} (Addition und Multiplikation gehen komponentenweise – letztere mit Nullteilern).
Die natürliche Topologie auf {\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}} ist die von der diskreten Topologie auf den {\displaystyle \mathbb {Z} /m} induzierte Produkttopologie, und \mathbb {Z} ist dicht in {\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}}.
Beweis der Dichtheit von \mathbb {Z} in {\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}}

Für die Zwecke des Beweises werden die Primzahlen durchnummeriert: {\displaystyle \{p_{i}\mid i\in \mathbb {N} \}:=\mathbb {P} }. Die Einbettung {\displaystyle \iota \colon \mathbb {Z} \to {\hat {\mathbb {Z} }}} wirft eine ganze Zahl m in jedem Faktorraum {\displaystyle \mathbb {Z} _{p_{i}}} an die Stelle m:
     \iota (m)=(x_{i})_{i\in \mathbb {N} } mit x_{i}:=m\;\forall i\in \mathbb {N} .
Sei {\displaystyle x=(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }} ein Element aus {\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}}. Für jedes i\in \mathbb{N} ist {\displaystyle x_{i}=:\sum _{\nu =0}^{\infty }{x_{i,\nu }\,p_{i}^{\nu }}\;\in \;\mathbb {Z} _{p_{i}}} eine p_{i}-adische ganze Zahl.
Die approximierende Folge sei {\displaystyle (y_{n})_{n\geq 1}} mit {\displaystyle y_{n}\in \mathbb {Z} }. Ein Folgenglied y_n approximiert x mit der Approximationsgüte n, wenn die folgenden Kongruenzen für {\displaystyle 1,\ldots ,i,\ldots ,n}
     {\begin{array}{llll}y_{n}&\equiv \sum _{\nu =0}^{n-1}&{x_{1,\nu }\,p_{1}^{\nu }}&\operatorname {mod} p_{1}^{n}\\y_{n}&\equiv \sum _{\nu =0}^{n-i}&{x_{i,\nu }\,p_{i}^{\nu }}&\operatorname {mod} p_{i}^{n-i+1}\\y_{n}&\equiv &x_{n,0}&\operatorname {mod} p_{n}\end{array}}
simultan gelten. Das ist machbar, weil die Moduln {\displaystyle p_{i}^{n-i+1}} paarweise teilerfremd sind.
Zu jedem i und m gibt es eine Approximationsgüte {\displaystyle n\geq i+m}, so dass {\displaystyle y_{n}\;\equiv \;\sum _{\nu =0}^{m}{x_{i,\nu }\,p_{i}^{\nu }}\;\operatorname {mod} p_{i}^{m+1}}. Die Komponente x_{i} kann also beliebig, nämlich auf {\displaystyle \operatorname {mod} p_{i}^{m+1}}, genau approximiert werden. Mithin konvergiert die Folge {\displaystyle (y_{n})_{n\geq 1}} für n\to \infty gegen {\displaystyle \lim _{n\to \infty }y_{n}=x}.  ■

Limites mit Indexkategorien

In Verallgemeinerung des Limes für teilgeordnete Indexmengen kann man Limites für beliebige Indexkategorien betrachten:

Es sei I eine kleine Kategorie, C eine beliebige Kategorie und {\displaystyle X\colon I\to C} ein Funktor. Dann ist ein Limes von X ein darstellendes Objekt für den Funktor

C^{\mathrm {op} }\to \mathrm {(Mengen)} ,\quad T\mapsto \mathrm {Mor} _{\mathbf {Mor} (I,C)}(\mathrm {const} _{T},X);

dabei bezeichne {\displaystyle const_{T}} den konstanten Funktor {\displaystyle ItoC} mit Wert T. Der Limes ist also ein Objekt L zusammen mit einer natürlichen Äquivalenz

\mathrm {Mor} _{C}(T,L)=\mathrm {Mor} _{\mathbf {Mor} (I,C)}(\mathrm {const} _{T},X)

von Funktoren in T.

Aus dieser natürlichen Äquivalenz erhält man für {\displaystyle T=L} auch die kanonischen Projektionen L\to X(i) (als Entsprechung von {\displaystyle id_{L}} auf der linken Seite).

Die natürliche Äquivalenz ist im Wesentlichen nur eine kompakte Schreibweise der universellen Eigenschaft: Morphismen in ein Limesobjekt entsprechen kompatiblen Systemen von Morphismen in die einzelnen Objekte, genau wie im Spezialfall von teilgeordneten Indexmengen.

Dieser Limesbegriff umfasst einige andere universelle Konstruktionen als Spezialfälle:

I universelle Konstruktion
Beliebig viele Objekte, nur Identitäten Produkt
\varnothing Endobjekt
Indexkategorie zum Differenzkern.png Differenzkern
Indexkategorie zum Faserprodukt.png Faserprodukt

Hat die Indexkategorie ein Anfangsobjekt A, so ist der Limes gleich X(A).

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 16.11. 2019