Kompakter Raum

Kompaktheit ist ein zentraler Begriff der mathematischen Topologie, und zwar eine Eigenschaft, die einem topologischen Raum zukommt oder nicht. Sie wird in vielen mathematischen Aussagen vorausgesetzt – oft auch in abgeschwächter Form als Lindelöf-Eigenschaft oder Parakompaktheit. Lokalkompaktheit ist im Falle von Hausdorff-Räumen ebenfalls eine abgeschwächte Bedingung. Eine kompakte Menge nennt man je nach Kontext auch Kompaktum oder kompakter Raum; dabei ist unerheblich, ob sie Teilmenge eines Oberraums ist.

Einfache Beispiele für kompakte Mengen sind abgeschlossene und beschränkte Teilmengen des Euklidischen Raums \mathbb {R} ^{n} wie das Intervall {\displaystyle [0,1]\subset \mathbb {R} }. Einfache Gegenbeispiele bilden die nicht kompakten Mengen \mathbb{N} \subset \mathbb{R} (nicht beschränkt) oder \left[0,1\right[\subset \mathbb{R} (nicht abgeschlossen).

Definition

Kompaktheit im Euklidischen Raum

Hauptartikel: Kompaktheit (reelle Zahlen)

Eine Teilmenge des euklidischen Raums \mathbb {R} ^{n} heißt kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist. Für diese spezielle Definition gilt der Satz von Heine-Borel:

Eine Teilmenge des \mathbb {R} ^{n} ist genau dann kompakt, wenn jede offene Überdeckung der Teilmenge eine endliche Teilüberdeckung enthält.

Der Satz von Heine-Borel motiviert die folgende Verallgemeinerung der Definition der Kompaktheit auf topologische Räume.

Kompaktheit in topologischen Räumen

Ein topologischer Raum (X,{\mathcal  {T}}) heißt kompakt, wenn jede offene Überdeckung

X=\bigcup _{{i\in I}}U_{i}\quad {\textrm  {mit}}\quad U_{i}\in {\mathcal  {T}}

eine endliche Teilüberdeckung

X=U_{{i_{1}}}\cup U_{{i_{2}}}\cup \dotsb \cup U_{{i_{n}}}{\text{ mit }}i_{1},\dotsc ,i_{n}\in I

besitzt.

Eine Teilmenge M eines topologischen Raums (X,{\mathcal  {T}}) heißt kompakt, wenn jede offene Überdeckung

M\subseteq \bigcup _{{i\in I}}U_{i}\quad {\textrm  {mit}}\quad U_{i}\in {\mathcal  {T}}

eine endliche Teilüberdeckung

M\subseteq U_{{i_{1}}}\cup U_{{i_{2}}}\cup \dotsb \cup U_{{i_{n}}}{\text{ mit }}i_{1},\dotsc ,i_{n}\in I

besitzt. Die beiden Begriffe sind kompatibel. Eine Teilmenge eines topologischen Raumes ist genau dann kompakt, wenn sie als topologischer Raum mit der Teilraumtopologie kompakt ist.

Einige Autoren, wie beispielsweise Nicolas Bourbaki, verwenden für die hier definierte Eigenschaft den Begriff quasikompakt und reservieren den Begriff kompakt für kompakte Hausdorff-Räume. Manche Autoren nennen die Kompaktheit zur klareren Abgrenzung von der Folgenkompaktheit auch Überdeckungskompaktheit.

Geschichte

Um das Jahr 1900 waren die folgenden Charakterisierungen kompakter Teilmengen A des \mathbb {R} ^{n} bekannt:

  1. Die Teilmenge A ist beschränkt und abgeschlossen.
  2. Jede Teilmenge von A mit unendlich vielen Elementen hat wenigstens einen Häufungspunkt. (Satz von Bolzano-Weierstraß)
  3. Jede Folge in A besitzt eine in A konvergente Teilfolge. (Satz von Bolzano-Weierstraß)
  4. Jede offene Überdeckung von A hat eine endliche Teilüberdeckung. (Satz von Heine-Borel)

Die erste Charakterisierung ist abhängig von der gewählten Metrik. Die anderen drei Charakterisierungen hingegen lassen sich auf beliebige topologische Räume übertragen und bieten somit eine Möglichkeit einen Kompaktheitsbegriff für topologische Räume zu definieren. Maurice René Fréchet nannte 1906 Teilmengen metrischer Räume kompakt, die die zweite Eigenschaft erfüllten. Diese Definition wurde später auf topologische Räume übertragen. Man nannte also die im heutigen Sinne abzählbar kompakten Räume damals kompakt. Pawel Sergejewitsch Alexandrow und Pawel Samuilowitsch Urysohn führten 1924 den heutigen Kompaktheitsbegriff im Sinne der vierten Eigenschaft ein. Räume, die diese Eigenschaft erfüllten, nannten sie bikompakt. Diese Kompaktheitsdefinition setzte sich allerdings erst um 1930 durch, als Andrei Nikolajewitsch Tichonow bewies, dass beliebige Produkte bikompakter Räume wieder bikompakte Räume ergeben. Dieses Resultat ist heute als Satz von Tychonoff bekannt. Für abzählbar kompakte und folgenkompakte Räume (Eigenschaft drei) gilt dies nicht.

Von Endlichkeit zu Kompaktheit

Der Punkt x wird von A=\{a,b,c\} getrennt.

Ein wichtiger Grund für die Betrachtung kompakter Räume ist, dass sie in mancher Hinsicht als Verallgemeinerung von endlichen topologischen Räumen gesehen werden können, insbesondere sind auch alle endlichen Räume kompakt. Es gibt viele Ergebnisse, die sich leicht für endliche Mengen beweisen lassen, deren Beweise dann mit kleinen Änderungen auf kompakte Räume zu übertragen sind. Hier ein Beispiel:

Wir setzen voraus, dass X ein Hausdorff-Raum ist, x ein Punkt aus X und A eine endliche Teilmenge von X, die x nicht enthält. Dann können wir x und A durch Umgebungen trennen: für jedes a aus A seien U_{a}(x) und V(a) disjunkte Umgebungen, die jeweils x bzw. a enthalten. Dann sind die Schnittmenge aller U_{a}(x) und die Vereinigung aller V(a) die benötigten Umgebungen von x und A.

Ist A nicht endlich, gilt der Beweis nicht mehr, da der Durchschnitt von unendlich vielen Umgebungen keine Umgebung mehr sein muss. Für den Fall, dass A kompakt ist, lässt sich die Beweisidee aber wie folgt übertragen:

Wir setzen wieder voraus, dass X ein Hausdorff-Raum ist, x ein Punkt aus X und A eine kompakte Teilmenge von X, die x nicht enthält. Dann können wir x und A durch Umgebungen trennen: für jedes a aus A seien U_{a}(x) und V(a) disjunkte offene Umgebungen, die jeweils x bzw. a enthalten. Da A kompakt ist und von den offenen Mengen V(a) überdeckt wird, gibt es endlich viele Punkte a_{1},\ldots ,a_{n}\in A mit {\displaystyle A\subseteq V(a_{1})\cup \ldots \cup V(a_{n})}. Dann sind die Schnittmenge aller U_{{a_{i}}}(x) und die Vereinigung aller V(a_{i}), i=1,\ldots, n, die benötigten Umgebungen von x und A.

Man sieht an diesem Beispiel, wie die Kompaktheit verwendet wird, um von möglicherweise unendlich vielen Umgebungen auf endlich viele zu kommen, mit denen dann der bekannte Beweis für endliche Mengen fortgeführt werden kann. Viele Beweise und Sätze über kompakte Mengen folgen diesem Muster.

Beispiele

Kompakte Räume

Nicht kompakte Räume

Eigenschaften

Andere Formen von Kompaktheit

Es gibt einige topologische Eigenschaften, die äquivalent zur Kompaktheit in metrischen Räumen sind, aber nicht äquivalent in allgemeinen topologischen Räumen:

Während diese Konzepte für metrische Räume äquivalent sind, gibt es im Allgemeinen folgende Beziehungen:

Siehe auch

Literatur

Trenner
Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
Seitenende
Seite zurück
© biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung: Jena, den: 23.06. 2021