Parakompakter Raum

Parakompaktheit ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie. Er beschreibt eine Eigenschaft topologischer Räume, welche in vielen Sätzen der Topologie eine wesentliche Rolle spielt. Der Begriff der Parakompaktheit wurde im Jahre 1944 von dem französischen Mathematiker Jean Dieudonné eingeführt.

Tatsächlich sind viele der gängigen topologischen Räume sogar parakompakte Hausdorff-Räume. Manche Autoren setzen für parakompakte Räume die Hausdorff-Eigenschaft stets mit voraus. Zu den parakompakten Hausdorff-Räumen zählen insbesondere alle metrischen Räume (Satz von Arthur Harold Stone) und alle Mannigfaltigkeiten (hier ist die Parakompaktheit Teil der üblichen Definition). Schwieriger ist es, nicht-parakompakte Räume zu finden. Ein gängiges Gegenbeispiel ist die sogenannte lange Gerade.

Parakompaktheit ist eine abgeschwächte Form der Kompaktheit; zum Beispiel ist die Menge der reellen Zahlen in der üblichen Topologie parakompakt, aber nicht kompakt.

Definition

Ein topologischer Raum M ist parakompakt, falls jede offene Überdeckung eine lokal endliche offene Verfeinerung besitzt.

Zum Vergleich: Ein topologischer Raum M ist kompakt, falls jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung besitzt.

Dabei bedeutet:

offene Überdeckung von : eine Familie $(U_i)_{i \in I}$ von offenen Mengen, deren Vereinigung enthält: $M\subseteq \bigcup _{i\in I}U_{i}$ ;
Teilüberdeckung: eine Teilfamilie $(U_{i})_{i\in I_{0}}(I_{0}\subseteq I)$ , deren Vereinigung immer noch enthält;
Verfeinerung: eine neue Überdeckung $(V_{j})_{j\in J}$ , wobei jede Menge $V_{j}$ in mindestens einer Menge $U_{i}$ der alten Überdeckung enthalten sein muss;
lokal endlich: zu jedem $x\in M$ gibt es eine Umgebung, die nur endlich viele Mengen $V_{j}$ schneidet.

Eigenschaften

Jeder parakompakte Hausdorff-Raum ist normal. Die Umkehrung gilt nicht, wie die lange Gerade belegt.
Abgeschlossene Unterräume parakompakter Räume sind wieder parakompakt.
Produkte parakompakter Räume sind im Allgemeinen nicht wieder parakompakt, nicht einmal normal, wie die Sorgenfrey-Ebene zeigt, siehe auch Satz von Tamano.

Mannigfaltigkeiten sind parakompakt

Differenzierbare Mannigfaltigkeiten (die nach Definition Hausdorffsch sind und das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllen) sind immer parakompakt. Aus der Parakompaktheit folgt die Existenz einer Zerlegung der Eins.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de