Normaler Raum

Hinweis: Es gibt in der Standardliteratur keine einheitliche Auffassung hinsichtlich der Begriffe normaler Raum und T4-Raum; vielmehr herrscht Uneinheitlichkeit. In diesem Artikel gilt die Auffassung, dass ein T4-Raum ein normaler Hausdorff-Raum ist, während ein normaler Raum nicht notwendig hausdorffsch zu sein hat.

Graphische Darstellung eines normalen Raumes

Ein normaler Raum ist ein topologischer Raum, in dem zwei beliebige disjunkte abgeschlossene Mengen disjunkte Umgebungen haben. Kürzer: Abgeschlossene Mengen E, F werden durch Umgebungen U, V getrennt.

Diese Eigenschaft ist zum Beispiel Grundlage des Lemmas von Urysohn oder des Fortsetzungssatzes von Tietze. Der Begriff geht zurück auf Heinrich Tietze 1923, seine ganze Tragweite wurde von Urysohn bei seinen Arbeiten über die Fortsetzung von Funktionen erkannt.

Normalität vererbt sich nicht notwendig auf alle Teilräume.

Formale Definition des normalen Raumes und des T4-Raumes (normaler Hausdorff-Raum)

Zu beachten ist, dass die Definition in der Literatur uneinheitlich ist, hier wird für einen normalen Raum nicht die Eigenschaft hausdorffsch gefordert, für einen T4-Raum jedoch schon.

Sei X ein topologischer Raum. X heißt normal, falls es zu je zwei abgeschlossenen Teilmengen E, F mit E\cap F=\emptyset Umgebungen U_{E}\subset {\mathfrak  {U}}(E), sowie U_{F}\subset {\mathfrak  {U}}(F) von E und F gibt mit U_{E}\cap U_{F}=\emptyset .

Ein normaler Raum, der zusätzlich die Trennungseigenschaft T2 erfüllt, also ein normaler Hausdorff-Raum ist, wird als T4-Raum bezeichnet.

Viele Autoren verwenden die Begriffe anders: Sie setzen für einen normalen Raum automatisch hausdorffsch voraus (d.h. T2-Raum) und verstehen unter T4-Räumen die in diesem Artikel unter "normal" beschriebene Raumklasse, es entfällt also die Forderung, dass T4-Räume hausdorffsch sind. Die meisten in den Anwendungen auftretenden normalen Räume sind T2-Räume.

Beispiele

Eigenschaften

Vererbungseigenschaften

Fortsetzung stetiger Funktionen

Hauptartikel: Fortsetzungssatz von Tietze

Ein topologischer Raum ist genau dann ein normaler Raum, wenn jede auf einer abgeschlossenen Teilmenge stetige, reellwertige Funktion zu einer auf dem ganzen Raum stetigen, reellwertigen Funktion fortgesetzt werden kann.

Lemma von Urysohn

Hauptartikel: Lemma von Urysohn

Ein topologischer Raum X ist genau dann ein normaler Raum, wenn es zu je zwei disjunkten, abgeschlossenen Mengen A,B\subset X eine stetige Funktion f:X\rightarrow [0,1] gibt mit f(A)=\{0\} und f(B)=\{1\}.

Abgeschlossene Umgebungen

Eine einfache Umformulierung der Definitionen liefert:

Ein topologischer Raum X ist genau dann normal, wenn es zu jeder Umgebung U einer abgeschlossenen Menge A eine offene Menge O gibt, für die gilt:

A \subset O \subset \bar O \subset U.

Das bedeutet, dass für jede abgeschlossene Menge die abgeschlossenen Umgebungen eine Umgebungsbasis bilden.

Zerlegung der Eins

Ein normaler Raum ermöglicht eine Zerlegung der Eins für jede lokal endliche offene Überdeckung.

Überdeckungen

Ein T1-Raum ist genau dann normal, wenn jede offene, lokalendliche Überdeckung (U_{i})_{{i\in I}} eine Schrumpfung besitzt, das heißt es gibt eine offene Überdeckung {\displaystyle (V_{i})_{i\in I}} mit {\displaystyle {\overline {V_{i}}}\subset U_{i}} für alle i\in I.

Spezialisierungen

Der Begriff des normalen Raumes kann auf mehrere Weisen verschärft werden:

Solche Räume spielen in der Dimensionstheorie eine Rolle. Perfekt normale Räume sind total normal.
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 15.06. 2020