Sorgenfrey-Gerade

Die Sorgenfrey-Gerade ist ein nach dem Mathematiker Robert Henry Sorgenfrey benanntes Beispiel aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie.

Definition

Die Sorgenfrey-Gerade ist derjenige topologische Raum, der auf der Menge $\mathbb {R}$ von allen halboffenen Intervallen [a,b) als Basis erzeugt wird, das heißt, die offenen Mengen dieses Raums sind die als beliebige Vereinigung halboffener Intervalle [a,b) darstellbaren Mengen.

Bemerkungen

Ersetzt man die halboffenen Intervalle durch , so kann man eine analoge Konstruktion durchführen. Man erhält einen zur Sorgenfrey-Geraden homöomorphen Raum, $x\mapsto -x$ ist offenbar ein Homöomorphismus.
Das Produkt $R^2 = R\times R$ heißt Sorgenfrey-Ebene und ist ebenfalls ein wichtiges Beispiel in der Topologie.

Beispiele offener Mengen

Alle Mengen der Form

$(-\infty,a) = \bigcup_{n=0}^\infty[a-n,a)$

$[a,\infty) = \bigcup_{n=0}^\infty[a,a+n)$

sind offen. Daher sind die Mengen [a,b) nicht nur offen, sondern wegen $[a,b) = \R\setminus((-\infty,a)\cup[b,\infty))$ auch abgeschlossen, das heißt besitzt eine Basis aus offen-abgeschlossenen Mengen.

Jedes bezüglich der euklidischen Topologie offene Intervall (a,b) ist auch offen bezüglich der Topologie der Sorgenfrey-Geraden, denn

$(a,b)=\bigcup _{n=1}^{\infty }\left[a+{\frac {1}{n}},b\right)$ .

Eigenschaften

Die Sorgenfrey-Gerade hat folgende Eigenschaften:

ist ein perfekt normaler Raum.
hat die Lebesgue’sche Überdeckungsdimension 0.
ist total unzusammenhängend.
ist nicht diskret, denn eine einelementige Menge enthält keine Basismenge. Die Topologie der Sorgenfrey-Geraden ist aber echt feiner als die euklidische Topologie auf $\mathbb {R}$ .
ist separabel ( $\mathbb {Q}$ liegt dicht, denn jede Basismenge enthält eine rationale Zahl), genügt dem ersten Abzählbarkeitsaxiom (die Mengen $\textstyle \left[a,a+{\frac {1}{n}}\right)$ bilden eine Umgebungsbasis von $a\in R$ ), aber nicht dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom.
ist nicht metrisierbar, denn für metrische Räume folgt aus der Separabilität das zweite Abzählbarkeitsaxiom.
ist parakompakt, aber weder σ-kompakt noch lokalkompakt.

Literatur

Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung (= BI-Hochschultaschenbücher. Band 121). Bibliographisches Institut, Mannheim u.a. 1978, ISBN 3-411-00121-6.

Basierend auf einem Artikel in:

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