σ-kompakter Raum

Ein topologischer Raum heißt $\sigma$ -kompakt oder abzählbar im Unendlichen, wenn er sich als abzählbare Vereinigung kompakter Teilräume schreiben lässt. $\sigma$ -Kompaktheit ist also eine Abschwächung des topologischen Begriffs der Kompaktheit. Der Buchstabe $\sigma$ in der Bezeichnung rührt daher, dass die Vereinigung von Mengen früher auch als Summe bezeichnet wurde, die Bezeichnung wurde analog zu „ $\sigma$ -finit“ gebildet. Man bezeichnet einen lokalkompakten Hausdorff-Raum als abzählbar im Unendlichen genau dann, wenn der bei der Alexandroff-Kompaktifizierung hinzugekommene unendlich ferne Punkt eine abzählbare Umgebungsbasis besitzt.

Der Begriff ist wichtig für die abstrakte Integrationstheorie, zusammen mit Lokalkompaktheit und dem Trennungsaxiom T₃ garantiert er die Existenz einer kompakten Ausschöpfung.

Beispielsweise ist $\mathbb {R}$ , ausgestattet mit der Standardtopologie, ein $\sigma$ -kompakter topologischer Raum, denn es gilt ${\mathbb {R}}=\cup _{{n=1}}^{\infty }[-n,n]$ , so dass sich $\mathbb {R}$ als abzählbare Vereinigung der kompakten topologischen Räume [-n,n] darstellen lässt.

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