Metrisierbarer Raum

Im Teilgebiet Topologie der Mathematik ist ein metrisierbarer Raum ein topologischer Raum mit zusätzlichen besonderen Eigenschaften.

Da die metrischen Räume Spezialfälle der topologischen Räume sind, liegt es nahe, zu fragen, wann ein topologischer Raum metrisierbar ist, das heißt, welche zusätzlichen Forderungen ein topologischer Raum erfüllen muss, damit es eine Metrik gibt, die die Topologie induziert. Dieser Artikel gibt einen Überblick über notwendige und hinreichende Bedingungen für die Metrisierbarkeit, die in den Artikeln ausführlicher erklärt werden, auf die von hier aus verwiesen wird. Sätze, die schwache hinreichende Bedingungen oder gleichwertige Bedingungen zur Metrisierbarkeit formulieren, werden in der Literatur als Metrisationssätze bezeichnet.

Notwendige Bedingungen

Jede topologische Eigenschaft, die metrische Räume stets erfüllen, stellt selbstverständlich eine notwendige Bedingung für die Metrisierbarkeit beliebiger topologischer Räume dar. Von besonderem Interesse sind aber solche Eigenschaften, die den Raum der Metrisierbarkeit „nahebringen“.

Hinreichende Bedingungen

Gleichwertige Bedingung

Metrisationssatz von Nagata-Smirnow: Ein topologischer Raum ist genau dann metrisierbar, wenn er ein regulärer Hausdorff-Raum ist und eine σ-lokal-endliche Basis besitzt. (Für eine eingehendere Betrachtung siehe Satz von Bing-Nagata-Smirnow.)

Metrisierbarkeit topologischer Vektorräume

Vollständig metrisierbare Räume

Beispiele, Konstruktion einer Metrik

Am einfachsten lässt sich die Metrik konstruieren, wenn der topologische Raum X ein endliches Produkt metrischer Räume (M_{i},d_{i});\;1\leq i\leq n ist. Man kann dann zum Beispiel die Metriken einfach addieren:

d((x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}),(y_{1},y_{2},\dotsc ,y_{n}))=d_{1}(x_{1},y_{1})+d_{2}(x_{2},y_{2})+\dotsb +d_{n}(x_{n},y_{n})

Ähnlich kann man vorgehen, wenn der topologische Raum X ein abzählbares Produkt metrischer Räume (M_{i},d_{i});\;i\in {\mathbb  {N}} ist. Dann muss man durch eine positive Folge die Konvergenz der „unendlichen Summe“ erzwingen und gegebenenfalls die Metriken di durch topologisch gleichwertige, durch eine gemeinsame Schranke beschränkte Metriken ersetzen. Beides leistet die Definition:

d((x_{i}),(y_{i}))=\sum \limits _{{i=0}}^{{\infty }}2^{{-i}}{\frac  {d_{i}(x_{i},y_{i})}{1+d_{i}(x_{i},y_{i})}}

Gegenbeispiele

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 24.06. 2021