Gδ-Satz von Hausdorff

Der G_{\delta }-Satz von Hausdorff ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie. Er wurde 1924 von Felix Hausdorff in den Fundamenta Mathematicae veröffentlicht. Der G_{\delta }-Satz wird von manchen Autoren auch dem russischen Mathematiker Paul Alexandroff zugeschrieben, welcher den Satz für den separablen Fall, das heißt für den Spezialfall polnischer Räume, bewiesen hatte.

Formulierung des Satzes

In einem vollständigen metrischen Raum ist ein Unterraum, welcher eine G_{\delta }-Menge, also die Schnittmenge abzählbar vieler offener Teilmengen ist, stets vollständig metrisierbar.

Umkehrung

Der G_{\delta }-Satz hat eine gewisse Umkehrung in dem von Stefan Mazurkiewicz bewiesenen Satz von Mazurkiewicz:

In einem metrischen Raum ist jeder vollständig metrisierbare Unterraum eine G_{\delta }-Menge.

Folgerung

Aus dem G_{\delta }-Satz folgt unmittelbar, dass die Menge der irrationalen Zahlen

\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} =\bigcap _{{q\in \mathbb{Q} }}({\mathbb{R} \setminus \{q\}})

mit der von \mathbb{R} herrührenden Unterraumtopologie vollständig metrisierbar ist. Konstruktiv lässt sich dies mittels der Angabe eines Homöomorphismus zum Baire-Raum zeigen.

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 16.09. 2023