Kugel

Bild einer Kugel mit Längen- und Breitenkreisen

Eine Kugel ist in der Geometrie die Kurzbezeichnung für Kugelfläche oder Kugelkörper.

Kugelfläche und Kugelkörper

Die Kugelfläche ist die bei der Drehung einer Kreislinie um einen Kreisdurchmesser entstehende Fläche. Sie ist eine Rotationsfläche sowie eine spezielle Fläche zweiter Ordnung und wird beschrieben als die Menge (der geometrische Ort) aller Punkte im dreidimensionalen euklidischen Raum, deren Abstand von einem festen Punkt des Raumes gleich einer gegebenen positiven reellen Zahl \!\ r ist. Der feste Punkt wird als Mittelpunkt oder Zentrum der Kugel bezeichnet, die Zahl \!\ r als Radius der Kugel.

Die Kugelfläche teilt den Raum in zwei getrennte offene Untermengen, von denen genau eine konvex ist. Diese Menge heißt das Innere der Kugel. Die Vereinigungsmenge einer Kugelfläche und ihres Inneren heißt Kugelkörper oder Vollkugel. Die Kugelfläche wird auch Kugeloberfläche oder Sphäre genannt.

Sowohl Kugelfläche als auch Kugelkörper werden oft kurz als Kugel bezeichnet, wobei aus dem Zusammenhang klar sein muss, welche der beiden Bedeutungen gemeint ist.

Eine Kugelfläche mit Mittelpunkt (\!\ x_{0}, \!\ y_{0}, \!\ z_{0}) und Radius \!\ r ist die Menge aller Punkte (\!\ x, \!\ y, \!\ z), für die

\!\ (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}

erfüllt ist.

Kugelkoordinaten und kartesisches Koordinatensystem

In Vektorschreibweise mit {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}, {\vec {m}}={\begin{pmatrix}x_{0}\\y_{0}\\z_{0}\end{pmatrix}}:

{\displaystyle ({\vec {x}}-{\vec {m}})\cdot ({\vec {x}}-{\vec {m}})=r^{2}},
 (\vec x - \vec m )^2 = r^2 ,
|{\vec {x}}-{\vec {m}}|^{2}=r^{2} oder
|{\vec {x}}-{\vec {m}}|=r.

Die Punkte auf der Kugelfläche mit dem Radius \!\ r und dem Zentrum im Ursprung können durch Kugelkoordinaten wie folgt parametrisiert werden:

x=r\cdot \sin \theta \cdot \cos \varphi
y=r\cdot \sin \theta \cdot \sin \varphi
z=r\cdot \cos \theta

mit 0\leq \theta \leq \pi und 0\leq \varphi <2\pi .

Kugelschnitte

Kurven auf einer Kugel

Ebener Schnitt einer Kugel
Schnitt Kugel – Zylinder: 2 Kreise

Kreise

Ist der Schnitt ein Kreis, so lässt er sich in Parameterform {\displaystyle \;{\vec {x}}=({\vec {e}}_{0}+{\vec {e}}_{1}\cos t+{\vec {e}}_{2}\sin t)^{T}\;} darstellen.

Allerdings kann eine Kugel auch kompliziertere Flächen in einem Kreis schneiden:

Im Bild schneidet eine Kugel einen Zylinder in zwei Kreisen. Wäre der Radius des Zylinders gleich dem Kugelradius, bestünde der Schnitt aus einem Berührkreis. Ein Rotations-Ellipsoid mit demselben Mittelpunkt wie die Kugel und dem Kugelradius als großer Halbachse würde die Kugel in zwei Punkten (Scheiteln) berühren.

Diese Eigenschaft wird in der darstellenden Geometrie zur Konstruktion von Punkten der Schnittkurve von Rotationsflächen verwendet.

Kugelspirale mit {\displaystyle c=8}

Clelia-Kurven

Ist die Kugel in Parameterform

{\displaystyle {\vec {x}}=(r\cos \theta \cos \varphi ,r\cos \theta \sin \varphi ,r\sin \theta )^{T}}

gegeben, so erhält man Clelia-Kurven, wenn man

setzt. Spezialfälle davon sind: vivianische Kurven ({\displaystyle c=1}) und Kugelspiralen ({\displaystyle c>2}).

Loxodrome

Loxodrome

Die Kurve auf der Erdkugel, welche die Meridiane (Längskreise) immer unter dem gleichen Winkel schneidet, ist eine Loxodrome. Sie schlingt sich spiralartig um die Pole, die ihre beiden asymptotischen Punkte sind, d.h. sie enthält nicht die Pole. Sie ist keine Kugelspirale im obigen Sinne. Es besteht kein einfacher Zusammenhang zwischen den Winkeln \varphi und \theta .

Schnitte mit anderen Quadriken

Schnittkurve Kugel-Zylinder

Wird eine Kugel von einer anderen Quadrik (Zylinder, Kegel …) geschnitten, so entstehen bei geeigneten Radien, Parameter … Schnittkurven.

Beispiel: Kugel – Zylinder

Die Schnittkurve der Kugel mit der Gleichung {\displaystyle \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\;} und dem Zylinder mit der Gleichung {\displaystyle \;(y-y_{0})^{2}+z^{2}=a^{2}\;} besteht aus den Lösungen des nicht linearen Gleichungssystems

{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}=0}
{\displaystyle (y-y_{0})^{2}+z^{2}-a^{2}=0\ .}

(s. implizite Kurve, Bild)

Formeln

Formeln zur Kugel
Geometrische Größe Formel
Kugelradius \!\ r
Kugeldurchmesser \!\ d=2r
Umfang (Großkreis) IMG class="text" style="width: 23.4ex; height: 5.5ex; vertical-align: -2ex;" alt="U=2\pi r=\pi d\ {\color {OliveGreen}={\frac {\mathrm {d} A_{\mathrm {PF} }}{\mathrm {d} r}}}" src="bilder/f3a46bc2d18673c37610c97f0b67b008421c8107.svg">
Volumen V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}={\frac {1}{6}}\pi d^{3}=\int _{-r}^{r}\left(r^{2}-x^{2}\right)\pi \mathrm {d} x
Oberfläche A_{O}=4\pi r^{2}=\pi d^{2}\ {\color {OliveGreen}={\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} r}}}
Projektionsfläche/Kugelquerschnitt A_{\mathrm {PF} }=\pi r^{2}=\int _{0}^{r}U\mathrm {d} r
Höhe (Kugelsegment/-kalotte, Kugelschicht,

nicht mit dem h in der Skizze unten identisch)

\!\ h
Volumen einer Kugelkalotte V_{\mathrm {KK} }={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r-h)
Flächeninhalt einer Kugelkalotte A_{\mathrm {KK} }=2\pi rh=2\pi r^{2}\left(1-\cos {\frac {\alpha }{2}}\right)
Mantelfläche einer Kugelschicht {\displaystyle A_{\mathrm {KS} }=2\pi rh=2\pi r^{2}\int _{\alpha }^{\beta }\sin x\,\mathrm {d} x}
Trägheitsmoment einer Hohlkugel (Drehachse durch Mittelpunkt) J={\frac {2}{3}}mr^{2}
Trägheitsmoment einer Vollkugel (Drehachse durch Mittelpunkt) J={\frac {2}{5}}mr^{2}

Volumen

Das Kugelvolumen ist der Rauminhalt einer Kugel, der durch die Kugeloberfläche begrenzt wird.

Kegelherleitung (archimedische Herleitung)

Herleitung des Kugelvolumens nach Cavalieri

Nach einer Überlegung des griechischen Mathematikers Archimedes gibt es zu einer Halbkugel mit Radius \!\ r einen Vergleichskörper, dessen Volumen mit dem der Halbkugel übereinstimmt, aber einfach zu berechnen ist. Dieser Vergleichskörper entsteht dadurch, dass man aus einem Zylinder (genauer: einem geraden Kreiszylinder) mit Grundflächenradius \!\ r und Höhe \!\ r einen Kegel (genauer: einen geraden Kreiskegel) mit Grundflächenradius \!\ r und Höhe \!\ r entfernt.

Zum Nachweis, dass die Halbkugel und der Vergleichskörper gleiches Volumen haben, kann man das Prinzip von Cavalieri heranziehen. Dieses Prinzip beruht auf der Idee, die betrachteten Körper in unendlich viele Scheiben infinitesimaler (unendlich kleiner) Dicke zu zerlegen. (Eine Alternative zu diesem Verfahren wäre die Anwendung der Integralrechnung.) Nach dem erwähnten Prinzip untersucht man für beide Körper die Schnittflächen mit den Ebenen, die zur jeweiligen Grundfläche parallel sind und von dieser einen vorgegebenen Abstand \!\ h haben.

Im Falle der Halbkugel ist die Schnittfläche eine Kreisfläche. Der Radius \!\ s dieser Kreisfläche ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras:

s^{2}+h^{2}\,=\,r^{2}.

Damit erhält man für den Inhalt der Schnittfläche

A_{1}\,=\,\pi s^{2}=\pi (r^{2}-h^{2})=\pi r^{2}-\pi h^{2}.

Im Falle des Vergleichskörpers ist die Schnittfläche dagegen ein Kreisring mit Außenradius \!\ r und Innenradius \!\ h. Der Flächeninhalt dieser Schnittfläche ist demzufolge

A_{2}\,=\,\pi r^{2}-\pi h^{2}.

Für einen beliebigen Abstand \!\ h zur Grundfläche stimmen die beiden Schnittflächen also im Flächeninhalt überein. Damit folgt mit dem Prinzip von Cavalieri, dass die Halbkugel und der Vergleichskörper das gleiche Volumen haben.

Das Volumen des Vergleichskörpers und damit auch der Halbkugel lässt sich nun leicht berechnen:

Man subtrahiert vom Zylindervolumen das Kegelvolumen.

V_{\text{Zylinder}}=\pi r^{2}\cdot r=\pi r^{3}
V_{\text{Kegel}}={\frac {1}{3}}\pi r^{2}\cdot r={\frac {1}{3}}\pi r^{3}
V_{\text{Halbkugel}}=V_{\text{Vergleichskörper}}\,=\pi r^{3}-{\frac {1}{3}}\pi r^{3}={\frac {2}{3}}\pi r^{3}

Daher gilt für das Volumen der (Voll-)Kugel:

{\displaystyle V_{\text{Kugel}}\,=\,2\cdot V_{\text{Halbkugel}}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}.

Alternative Herleitung

Die Kugel kann in unendlich viele Pyramiden mit der Höhe \!\ r zerteilt werden (Spitzen im Mittelpunkt der Kugel), deren gesamte Grundfläche der Oberfläche der Kugel (siehe weiter unten) entspricht. Damit beträgt das gesamte Volumen aller Pyramiden: V={\frac {O\,r}{3}}={\frac {(4\pi r^{2})r}{3}}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.

Herleitung mit Hilfe der Integralrechnung

Radius im Abstand \!\ x:

s={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}.

Kreisfläche im Abstand \!\ x:

{\displaystyle \!\ A_{x}=\pi s^{2}}.

Volumen der Kugel \!\ V:

{\displaystyle V=\int _{-r}^{r}{A_{x}\,\mathrm {d} x}=\int _{-r}^{r}{\pi s^{2}\,\mathrm {d} x}=\int _{-r}^{r}{\left({r^{2}-x^{2}}\right)}\pi \,\mathrm {d} x=\int _{-r}^{r}\pi {r^{2}}\,\mathrm {d} x-\int _{-r}^{r}\pi {x^{2}}\,\mathrm {d} x}
{\displaystyle V=\pi r^{2}\left[x\right]_{-r}^{r}-{\frac {1}{3}}\pi \left[{x^{3}}\right]_{-r}^{r}}
{\displaystyle V=\pi r^{2}\left[r-(-r)\right]-{\frac {1}{3}}\pi \left[r^{3}-(-r)^{3}\right]=2\pi r^{3}-{\frac {2}{3}}\pi r^{3}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}.

Auf die gleiche Art kann man das Volumen eines Kugelsegments \!\ V_{\mathrm {KS} } der Höhe \!\ h berechnen:

V_{\mathrm {KS} }=\int _{r-h}^{r}{A_{x}\,\mathrm {d} x}=\pi r^{2}\left[x\right]_{r-h}^{r}-{\frac {1}{3}}\pi \left[{x^{3}}\right]_{r-h}^{r}
V_{\mathrm {KS} }=\pi r^{2}\left[r-(r-h)\right]-{\frac {1}{3}}\pi \left[r^{3}-(r-h)^{3}\right]=\pi r^{2}h-{\frac {1}{3}}\pi \left[r^{3}-(r^{3}-3r^{2}h+3rh^{2}-h^{3})\right]
V_{\mathrm {KS} }=\pi r^{2}h-\pi r^{2}h+\pi rh^{2}-{\frac {1}{3}}\pi h^{3}={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r-h).

Weitere Herleitungen

Eine Kugel mit Radius R, deren Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt, lässt sich durch die Gleichung

K:~x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq R^{2}

beschreiben, wobei x,\ y,\ z die Raumkoordinaten sind.

Über die Integralrechnung lässt sich dieses Problem auf zwei Arten lösen:

Wir parametrisieren die Kugel bis auf eine Lebesgue-Nullmenge durch

{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r~\sin \vartheta ~\cos \varphi \\r~\sin \vartheta ~\sin \varphi \\r~\cos \vartheta \end{pmatrix}}\qquad (0\leq r\leq R,\ 0\leq \vartheta \leq \pi ,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ).

Mit der Funktionaldeterminante

\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\vartheta ,\varphi )}}=r^{2}\sin \vartheta

ergibt sich das benötigte Volumenelement \!\ \mathrm {d} V als

\mathrm {d} V=r^{2}\sin \vartheta \;\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} \vartheta .

Das Volumen der Kugel ergibt sich daher als

{\begin{aligned}\int _{K}\mathrm {d} V&=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{R}r^{2}\sin \vartheta \;\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} \vartheta \\&=\int _{0}^{R}r^{2}\mathrm {d} r\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \varphi \int _{0}^{\pi }\sin \vartheta \;\mathrm {d} \vartheta \\&={\frac {R^{3}}{3}}\cdot 2\pi \cdot 2\\&={\frac {4}{3}}\pi R^{3}.\\\end{aligned}}

Eine weitere Möglichkeit besteht über die Polarkoordinaten:

{\begin{aligned}\int _{K}\!\mathrm {d} V&=\iint \limits _{x^{2}+y^{2}\leq R^{2}}\left(\int \limits _{-{\sqrt {R^{2}-x^{2}-y^{2}}}}^{\sqrt {R^{2}-x^{2}-y^{2}}}\mathrm {d} z\right)\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x\\&=\iint \limits _{x^{2}+y^{2}\leq R^{2}}2{\sqrt {R^{2}-x^{2}-y^{2}}}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x.\end{aligned}}

Nun wird das kartesische Koordinatensystem in das Polarkoordinatensystem transformiert, was bedeutet, dass die Integration nach dem „Wechsel“ des Koordinatensystems mittels der Variablen \!\varphi und \!r fortgeführt wird, anstatt wie zuvor durch \!x und \!y. Motivation dieser Transformation ist die erhebliche Vereinfachung der Rechnung im weiteren Verlauf. Für das Differential bedeutet das: \mathrm {d} y\,\mathrm {d} x\;{\xrightarrow {\text{wird zu}}}\;r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi (Stichwort: Flächenelement)

{\begin{aligned}\int _{K}\!\mathrm {d} V&=\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{R}2{\sqrt {R^{2}-r^{2}}}\;r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi \\&=2\pi \int \limits _{0}^{R}2{\sqrt {R^{2}-r^{2}}}\;r\,\mathrm {d} r\\&=2\pi (-1){\frac {2}{3}}\left[{\sqrt {(R^{2}-r^{2})^{3}}}\right]_{r=0}^{R}\\&={\frac {4}{3}}\pi R^{3}.\end{aligned}}

Weiterer Weg mit Hilfe der Formel für Rotationskörper

Lässt man ein Flächenstück um eine feste Raumachse rotieren, erhält man einen Körper mit einem bestimmten Volumen. Bei einer Kreisfläche entsteht so eine Kugel. Anschaulich kann man sich das als eine rotierende Münze vorstellen.

Die allgemeine Formel für Rotationskörper, die um die x-Achse rotieren, ergibt

V=\pi \int _{a}^{b}[f(x)]^{2}\mathrm {d} x=\pi \int _{a}^{b}y^{2}\,\mathrm {d} x.

Die Gleichung für den Kreis ist

(x-x_{M})^{2}+(y-y_{M})^{2}\,=\,r^{2}

mit Mittelpunkt

M={\begin{pmatrix}x_{M}\\y_{M}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}.

Eingesetzt in die Gleichung für den Kreis erhalten wir

x^{2}+y^{2}=r^{2}\Leftrightarrow y^{2}=r^{2}-x^{2}.

Durch Einsetzen in die Formel für Drehkörper um die x-Achse erhält man

{\displaystyle {\begin{aligned}V_{\text{Kugel}}&=\pi \int _{-r}^{r}\left(r^{2}-x^{2}\right)\,\mathrm {d} x\\&=\pi \left[r^{2}x-{\frac {1}{3}}x^{3}\right]_{-r}^{r}\\&=\pi \left(r^{3}-{\frac {1}{3}}r^{3}\right)-\pi \left(r^{2}\cdot (-r)-{\frac {1}{3}}(-r)^{3}\right)\\&=\pi \left[\left({\frac {2}{3}}r^{3}\right)-\left(-{\frac {2}{3}}r^{3}\right)\right]\\&={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.\\\end{aligned}}}

Oberfläche

Die Kugeloberfläche ist die zweidimensionale Fläche, die den Rand der Kugel bildet. Sie ist also die Menge aller Punkte, deren Abstand zum Kugelmittelpunkt einen festen Wert \!\ r hat. Sie ist eine geschlossene, zweidimensionale Mannigfaltigkeit.

Ihr Flächeninhalt ist {\displaystyle {A}=4\pi {r^{2}}} und damit gleich groß wie der der Mantelfläche des Kreiszylinders, der die Kugel umhüllt.

Die Kugel besitzt bei gegebenem Volumen die kleinste Oberfläche aller möglichen Körper.

Begründung

Tangente an einer Kugel (Seitenansicht) d = Höhe einer Schicht; r = Radius der Kugel; c = Länge eines Feldes; x = Abstand des Tangentialpunktes von der Mittelachse
Kugelansicht

Teilt man eine Kugel auf in:

und lässt man d nach {\displaystyle 0} streben,

Dies wird aus der oberen Zeichnung rechts deutlich: x ist der Abstand des Tangentialpunktes zur Mittelachse. Die Tangente liegt senkrecht zur „Speiche“ r und die beiden (rechtwinkligen) Dreiecke sind einander ähnlich. Demnach gilt:
c={\frac {r}{x}}\ {d}.
Dies ergibt sich direkt aus der unteren Zeichnung, "Ansicht von oben".

Die Länge multipliziert mit der Breite ist demzufolge stets gleich groß, d.h. alle viereckigen Felder haben denselben Flächeninhalt.

Der Flächeninhalt am Äquator beträgt d^2 ({\displaystyle c\cdot d} wobei c gegen d strebt, da {\displaystyle {\frac {r}{x}}} am Äquator schneller gegen 1 strebt als d gegen {\displaystyle 0}).

Da alle Felder also den Inhalt d^2 haben und es insgesamt (Anzahl der Felder in horizontaler Richtung multipliziert mit der Anzahl der Felder in vertikaler Richtung, also) {\frac {\text{Umfang}}{d}}\cdot {\frac {\text{Durchmesser}}{d}}={\frac {2\pi r\cdot 2r}{d^{2}}} Felder gibt, beträgt der Gesamtflächeninhalt aller Felder: {\displaystyle {A}={4}\pi {r^{2}}}.

Alternative Herleitung mit Hilfe des Kugelvolumens

Eine Kugel kann man sich aus unendlich vielen, infinitesimalen (unendlich kleinen) Pyramiden zusammengesetzt vorstellen. Die Grundflächen dieser Pyramiden ergeben zusammen die Kugeloberfläche; die Höhen der Pyramiden sind jeweils gleich dem Kugelradius r. Da das Pyramiden-Volumen durch die Formel V_{P}={\tfrac {1}{3}}Gh gegeben ist, gilt eine entsprechende Beziehung für das Gesamtvolumen aller Pyramiden, also das Kugelvolumen:

{\displaystyle V={\frac {1}{3}}A_{O}r} ({\displaystyle A_{O}} = Gesamtoberfläche der Kugel)

Wegen V={\tfrac {4}{3}}\pi r^{3} ergibt sich:

{\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}={\frac {1}{3}}A_{O}r}
A_O = 4 \pi r^2

Alternative Herleitung mit Hilfe des Kugelvolumens und der Differentialrechnung

Da das Kugelvolumen mit

V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}

definiert ist und andererseits die Oberfläche eine Veränderung des Volumens laut

A_{O}={\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} r}}=4\pi r^{2}

ist, ergibt sich die Oberflächenformel sofort aus der Ableitung der Volumenformel.

Herleitung mit Hilfe der Integralrechnung

Aus der ersten Guldin’schen Regel

{\displaystyle A_{O}=2\pi \int \limits _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}\,\mathrm {d} x}

für die Mantelfläche eines Rotationskörpers ergibt sich:

{\displaystyle {\begin{aligned}A_{O}&=2\pi \int \limits _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}{\sqrt {1+\left({\frac {-x}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x\\&=2\pi \int \limits _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}{\sqrt {\frac {r^{2}}{r^{2}-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x\\&=2\pi \int \limits _{-r}^{r}r\,\mathrm {d} x\\&=2\pi r\int \limits _{-r}^{r}1\,\mathrm {d} x\\&=4\pi r^{2}\end{aligned}}}

Herleitung mit Hilfe der Integralrechnung in Kugelkoordinaten

Für das Flächenelement auf Flächen r = konstant gilt in Kugelkoordinaten:

{\displaystyle \mathrm {d} A=r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi }.

Damit lässt sich die Oberfläche einfach berechnen:

{\displaystyle {\begin{aligned}A_{O}&=\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }1\,\mathrm {d} A\\&=\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi \\&=2\pi r^{2}\int \limits _{0}^{\pi }\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \\&=4\pi r^{2}\end{aligned}}}

Eigenschaften

Das Verhältnis des Volumens einer Kugel (V_K) mit Radius r zum Volumen des umbeschriebenen Zylinders ({\displaystyle V_{Z}}) ist
{\displaystyle V_{K}:V_{Z}={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {1}{2}}\;} {\displaystyle \Rightarrow V_{K}:V_{Z}=2:3}

Verallgemeinerung

Höherdimensionale euklidische Räume

Der Begriff der Kugel lässt sich auf Räume anderer Dimension übertragen. Analog zur dreidimensionalen Vollkugel ist für eine natürliche Zahl n eine n‑dimensionale Kugel definiert als Menge aller Punkte des n‑dimensionalen euklidischen Raumes, deren Abstand zu einem gegebenen Punkt (dem Mittelpunkt) kleiner gleich einer positiven reellen Zahl r (dem Radius) ist. Den Rand der n‑dimensionalen Kugel, also die Menge aller Punkte, deren Abstand vom Mittelpunkt gleich r ist, bezeichnet man als (n-1)‑dimensionale Sphäre oder kurz (n-1)‑Sphäre. Wenn man ohne weitere Angaben von der n‑dimensionalen Kugel spricht, meint man meist die n‑dimensionale Einheitskugel; in diesem Fall liegt der Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems und der Radius ist gleich 1.

Nach dieser Definition ist eine dreidimensionale Kugel also eine gewöhnliche Kugel; ihre Oberfläche entspricht einer 2‑Sphäre. Eine zweidimensionale Kugel ist eine Kreisfläche, der zugehörige Kreisrand eine 1‑Sphäre. Eine eindimensionale Kugel schließlich ist eine Strecke, wobei die beiden Streckenendpunkte als 0‑Sphäre aufgefasst werden können.

Hinweis: Diese Begriffe werden nicht einheitlich verwendet. Sphären im Sinne der hier gegebenen Definition werden zuweilen Kugeln genannt. Außerdem sprechen manche Autoren von n‑Sphären, wenn sie (n-1)‑dimensionale Sphären im n‑dimensionalen Raum meinen.

Das n-dimensionale Volumen einer n-dimensionalen Kugel mit dem Radius r ist

{\displaystyle V_{n}=r^{n}{\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}}.

Hier ist \Gamma die Gammafunktion, eine kontinuierliche Erweiterung der Fakultät. Den (n-1)‑dimensionalen Inhalt der (n-1)‑dimensionalen Oberfläche, also der (n-1)‑Sphäre erhält man durch Ableitung des Volumens nach dem Radius:

{\displaystyle O_{n}=nr^{n-1}{\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}=2r^{n-1}{\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}}.
Volumen und Oberflächen von Einheitskugeln in n Dimensionen

Für eine Einheitskugel in n Dimensionen findet man also folgende Volumen und Oberflächeninhalte:

Dimensionen 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2n 2n+1
Volumen 2 \pi {\frac {4\pi }{3}} {\frac {\pi ^{2}}{2}} {\frac {8\pi ^{2}}{15}} {\frac {\pi ^{3}}{6}} {\frac {16\pi ^{3}}{105}} {\frac {\pi ^{4}}{24}} {\frac {32\pi ^{4}}{945}} {\frac {\pi ^{5}}{120}} {\frac {\pi ^{n}}{n!}} {\displaystyle {\frac {2^{n+1}\pi ^{n}}{1\cdot 3\cdot \ldots \cdot (2n+1)}}}
Oberfläche 2 2\pi 4\pi 2\pi ^{2} {\frac {8\pi ^{2}}{3}} \pi ^{3} {\frac {16\pi ^{3}}{15}} {\frac {\pi ^{4}}{3}} {\frac {32\pi ^{4}}{105}} {\frac {\pi ^{5}}{12}} {\frac {2\pi ^{n}}{(n-1)!}} {\displaystyle {\frac {2^{n+1}\pi ^{n}}{1\cdot 3\cdot \ldots \cdot (2n-1)}}}

Eine n-Sphäre ist ein Beispiel einer kompakten n-Mannigfaltigkeit.

Metrische Räume

Den Begriff der Kugel kann man auf alle Räume verallgemeinern, in denen man einen Abstandsbegriff hat, das sind die metrischen Räume.

Ist (X,d) ein metrischer Raum, a\in X und r\in \mathbb {R} , r>0, so nennt man

B(a,r)=\{x\in X\mid d(a,x)<r\}

die offene Kugel mit Mittelpunkt a und Radius r. Die Menge:

{\overline {B}}(a,r)=\{x\in X\mid d(a,x)\leq r\}

heißt abgeschlossene Kugel.

Manche Autoren schreiben auch U(a,r) für die offenen und B(a,r) für die abgeschlossenen Kugeln. Andere Schreibweisen für die offenen Kugeln sind B_{r}(a) und U_{r}(a).

Dichteste Kugelpackung

Hauptartikel: Dichteste Kugelpackung
Dichteste Kugelpackung
grau: unterste Schicht (A-Schicht)
gelb und rot: B-Schicht oder C-Schicht (hier als zweite Schicht; allgemein in beliebiger Reihenfolge als zweite oder dritte Schicht)

Die dichteste Kugelpackung ist diejenige gegenseitige Anordnung gleich großer Kugeln, die den kleinsten Raum beansprucht. Der leere Raum zwischen den dichtest gepackten Kugeln nimmt nur etwa 26 % des Gesamtraumes ein, bzw. die Packungsdichte beträgt etwa 74 %:

{\displaystyle {\frac {\pi }{3{\sqrt {2}}}}\approx 0{,}74048\approx 74\,\%} .

Diese Anordnung kann auf zweierlei Art beschrieben werden:
Sie besteht aus ebenen Schichten aus sich berührenden Kugeln,

  1. von denen jede von sechs benachbarten Kugeln und von je drei Kugeln aus der Schicht darüber und aus der darunter berührt wird, oder
  2. von denen jede von vier benachbarten Kugeln und von je vier Kugeln aus der Schicht darüber und aus der darunter berührt wird.

Die erste der beiden Beschreibungen ist die bevorzugt gebrauchte. Die darin enthaltene Schicht wird als hexagonale (regelmäßig sechseckige) Kugel-Schicht, die im zweiten Fall als tetragonale (quadratische) Kugel-Schicht bezeichnet.

Symbolik

Die Kugelform gilt seit altersher als „vollkommene Form“. Erst seit dem Aufkommen der Drechseltechniken war sie – zumindest aus Holz oder weichem Stein – nahezu perfekt herzustellen. Später wurde sie zu einem Sinnbild der Unendlichkeit (manchmal auch des Kosmos). Mit dem Aufkommen von Feuerwaffen wurden Kanonen- und Gewehrkugeln immer mehr auch zu einem Inbegriff von Stärke und Macht.

Anwendungsbeispiele

Erde, Mond und Mars

Die Erde, der Mond und der Mars haben annähernd die Form einer Kugel.

Erde

Die Erde hat den mittleren Durchmesser 12742 km, also den mittleren Radius {\displaystyle r=6371\ \mathrm {km} }. Die Masse der Erde beträgt etwa 5,9724 · 1024 kg. Daraus ergibt sich mithilfe der oben genannten Formeln für das Volumen, die mittlere Dichte und die Oberfläche:

Die Erde hat also im Durchschnitt eine etwa fünfeinhalb Mal so hohe Dichte wie Wasser unter Standardbedingungen.

Mond

Der Mond hat den mittleren Durchmesser 3474 km, also den mittleren Radius {\displaystyle r=1737\ \mathrm {km} }. Die Masse des Mondes beträgt etwa 7,346 · 1022 kg. Daraus ergibt sich:

Das ist etwa 2,0 Prozent des Volumens der Erde.
Der Mond hat also im Durchschnitt eine gut 3,3 Mal so hohe Dichte wie Wasser unter Standardbedingungen.
Das ist etwa 7,4 Prozent der Oberfläche der Erde.

Mars

Der Mars hat den mittleren Durchmesser 6780 km, also den mittleren Radius {\displaystyle r=3390\ \mathrm {km} }. Die Masse des Mars beträgt etwa 6,417 · 1023 kg. Daraus ergibt sich:

Das ist etwa 15,1 Prozent des Volumens der Erde.
Der Mars hat also im Durchschnitt eine knapp vier Mal so hohe Dichte wie Wasser unter Standardbedingungen.
Das ist etwa 28,4 Prozent der Oberfläche der Erde.

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 21.06. 2021