Punktsymmetrie

Punktsymmetrische Objekte in der Ebene

Die Punktsymmetrie, auch Inversionssymmetrie oder Zentralsymmetrie, ist in der Geometrie eine Eigenschaft einer Figur. Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn sie durch die Spiegelung an einem Symmetriepunkt auf sich selbst abgebildet wird.

Definition

Eine (ebene) geometrische Figur (zum Beispiel ein Viereck) heißt punktsymmetrisch, wenn es eine Punktspiegelung gibt, die diese Figur auf sich abbildet. Der Punkt, an dem diese Spiegelung erfolgt, wird als Symmetriezentrum bezeichnet.

Punktspiegelung als Drehung (und Spiegelung)

In der Ebene (zweidimensionaler euklidischer Raum) entspricht die Punktspiegelung einer Drehung der geometrischen Figur um 180° um den Symmetriepunkt. Hier ist die Punktsymmetrie ein Spezialfall der Drehsymmetrie. Im dreidimensionalen euklidischen Raum entspricht die Punktspiegelung einer Drehung der geometrischen Figur um 180° um den Symmetriepunkt und anschließender Spiegelung an der zur Drehachse senkrechten Ebene durch den Symmetriepunkt.

Allgemeiner gilt:

Im 2N-dimensionalen Raum entspricht die Punktspiegelung N Drehungen um jeweils 180°. Die Drehachsen stehen paarweise senkrecht aufeinander und schneiden sich im Symmetriepunkt.

Im 2N+1-dimensionalen Raum entspricht die Punktspiegelung N Drehungen um jeweils 180° und anschließender Spiegelung. Die Drehachsen stehen paarweise senkrecht aufeinander und schneiden sich im Symmetriepunkt. Der Symmetriepunkt liegt ebenfalls auf der Spiegelebene und alle Drehachsen stehen senkrecht auf der Spiegelebene.

Beispiele

Punktsymmetrie von Funktionsgraphen

Überblick

Punktsymmetrischer Funktionsgraph

Eine in der Schulmathematik häufige Aufgabenstellung besteht darin nachzuweisen, dass der Graph einer gegebenen Funktion f\colon D\to\R mit dem Definitionsbereich D\subset\R und mit reellen Funktionswerten punktsymmetrisch ist.

Existiert ein Punkt (a,b), sodass für die Funktion f die Gleichung

f(a+x)-b=-f(a-x)+b

für alle x\in D gilt, dann ist die Funktion punktsymmetrisch bezüglich des Punktes (a,b). Die genannte Bedingung ist mit

f(x)=2b-f(2a-x)

gleichwertig, wie die Substitution x\to x-a zeigt. Im Spezialfall von Punktsymmetrie in Bezug auf den Ursprung (0,0) vereinfacht sich diese Gleichung zu

f(-x)=-f(x).

Ist sie für alle x gültig, liegt Punktsymmetrie bezüglich des Koordinatenursprungs vor. Dann nennt man die Funktion f ungerade Funktion.

Beispiele

Punktsymmetrie in Bezug auf den Koordinatenursprung

Kurve von f(x) = 2x5

Gegeben sei die Funktion f(x) = 2 x^5. Dann gilt:

{\displaystyle f(-x)=2(-x)^{5}=2(-1)^{5}x^{5}=2(-1)x^{5}=-2x^{5}=-f(x)}

Also ist der Funktionsgraph punktsymmetrisch mit Symmetriezentrum im Ursprung (0,0).

Punktsymmetrie bezüglich des Punktes (0,2)

Kurve von f(x) = 2x5 + 2

Gegeben sei die Funktion f(x)=2x^5+2. Wähle a=0 und b=2. Dann gilt:

2b-f(2a-x)=4-f(-x)=4-(2(-x)^5+2)=
{\displaystyle =4-(-2x^{5}+2)=4+2x^{5}-2=2x^{5}+2=f(x)}

Folglich ist der Funktionsgraph punktsymmetrisch in Bezug auf den Punkt (0,2) und es gilt

-f(x)+2=f(-x)-2.

Um den Symmetriepunkt (0,2) zu bestimmen, hilft dieses Verfahren nicht. Meist reicht es jedoch, den Funktionsgraphen zu zeichnen und daraus eine Vermutung bezüglich des Symmetriepunktes abzuleiten.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 14.06. 2021