Gerade und ungerade Funktionen

Die Normalparabel f(x)=x^{2} ist ein Beispiel für eine gerade Funktion.
Die kubische Funktion f(x)=x^{3} ist ein Beispiel für eine ungerade Funktion.

Gerade und ungerade Funktionen sind in der Mathematik zwei Klassen von Funktionen, die bestimmte Symmetrieeigenschaften aufweisen. Eine reelle Funktion ist genau dann gerade, wenn ihr Funktionsgraph achsensymmetrisch zur y-Achse ist, und ungerade, wenn ihr Funktionsgraph punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist.

Definition

Eine reelle Funktion f\colon D\to \mathbb {R} mit einem bezüglich der Null symmetrischen Definitionsbereich D\subseteq \mathbb {R} heißt gerade, wenn für alle Argumente x\in D

f(-x)=f(x)

gilt, und sie heißt ungerade, wenn für alle x\in D

f(-x)=-f(x)

gilt. Anschaulich ist eine reelle Funktion genau dann gerade, wenn ihr Funktionsgraph achsensymmetrisch zur y-Achse ist, und ungerade, wenn ihr Funktionsgraph punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist.

Beispiele

Gerade Funktionen

Ungerade Funktionen

Die einzige Funktion, die gleichzeitig gerade und ungerade ist, ist die Nullfunktion f(x)=0.

Allgemeinere Beispiele

f(x)=ax^{n}
ist für a\neq 0 genau dann gerade, wenn der Exponent n gerade ist, und genau dann ungerade, wenn der Exponent n ungerade ist.
f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dotsb +a_{n}x^{n}
ist genau dann gerade, wenn alle ungeradzahligen Koeffizienten a_{1},a_{3},a_{5},\dotsc gleich null sind, und genau dann ungerade, wenn alle geradzahligen Koeffizienten a_{0},a_{2},a_{4},\dotsc gleich null sind.
a_{0}+a_{1}\cos(x)+b_{1}\sin(x)+\dotsb +a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)
ist genau dann gerade, wenn alle Koeffizienten b_{i}=0 sind, und genau dann ungerade, wenn alle Koeffizienten a_{i}=0 sind.

Zerlegung

Es gibt auch Funktionen, die weder gerade noch ungerade sind, zum Beispiel die Funktion f(x)=x+1. Jede Funktion lässt sich jedoch als Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion schreiben, das heißt

f(x)=f_{\text{g}}(x)+f_{\text{u}}(x),

wobei

f_{\text{g}}(x)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}}

den geraden Anteil der Funktion und

f_{\text{u}}(x)={\frac {f(x)-f(-x)}{2}}

den ungeraden Anteil der Funktion darstellt. Diese Zerlegung einer Funktion in gerade und ungerade Komponenten ist eindeutig, d.h. es gibt keine andere Möglichkeit, eine Funktion in gerade und ungerade Komponenten zu zerlegen. Dies folgt aus den Tatsachen, dass die Mengen aller geraden/ungeraden Funktionen einen Untervektorraum des Raums aller Funktionen bilden und die einzige Funktion, die sowohl gerade als auch ungerade ist, die Nullfunktion ist.

Eigenschaften

Algebraische Eigenschaften

Analytische Eigenschaften

Verallgemeinerungen

Allgemeiner definiert man in der Algebra durch obige Definition auch gerade und ungerade Funktionen f\colon X\to Y zwischen zwei Mengen X und Y, auf denen eine Verknüpfung mit additiv Inversem gegeben ist, beispielsweise (additive) Gruppen, Ringe, Körper oder Vektorräume. Auf diese Weise lassen sich beispielsweise auch gerade und ungerade komplexe Funktionen oder gerade und ungerade vektorwertige Funktionen definieren.

In der mathematischen Physik wird das Konzept der geraden und ungeraden Funktionen durch den Begriff der Parität verallgemeinert. Diese ist vor allem für Wellenfunktionen etwa in der Quantenmechanik von Bedeutung.

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Basierend auf einem Artikel in Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 20.06. 2020