Mathematische Physik
Die mathematische Physik beschäftigt sich mit mathematischen Problemen, die ihre Motivation oder ihre Anwendung in der (theoretischen) Physik haben. Von besonderer Bedeutung sind dabei einerseits die mathematisch rigorose Formulierung physikalischer Theorien und die Analyse zugrundeliegender mathematischer Strukturen, und andererseits die Anwendung mathematischer Lösungsmethoden und Strategien auf physikalische Fragestellungen. Weiterhin werden im Rahmen der mathematischen Physik Ideen aus der (zumeist theoretischen) Physik aufgegriffen, die dann als Motivation zur Erstellung neuer mathematischer Konzepte dienen. Aufgrund dieser Natur kann die mathematische Physik sowohl als Teilgebiet der Mathematik als auch der Physik angesehen werden.
Fragestellungen der mathematischen Physik
Die mathematische Physik befasst sich mit der mathematisch strengen Behandlung von Modellen physikalischer Phänomene. Die Übergänge zur theoretischen Physik sind dabei fließend. Wichtige Teilgebiete der mathematischen Physik sind dabei:
Klassische Mechanik
In der klassischen Mechanik finden vor allem Methoden der Differentialgeometrie und der Theorie von Lie-Gruppen Verwendung. Konkret wird der Phasenraum eines physikalischen Systems durch eine symplektische- oder eine Poisson-Mannigfaltigkeit modelliert, auf der unter Umständen eine Lie-Gruppe wirkt. So können beispielsweise die Auswirkungen von Symmetrien und Zwangsbedingungen eingehend studiert werden. Ein weiteres Forschungsfeld ist die Stabilitätstheorie dynamischer Systeme, wie etwa unseres Sonnensystems.
Klassische Feldtheorien
Zum Verständnis der verschiedenen klassischen Feldtheorien wie Elektro- und Hydrodynamik oder klassischen Yang-Mills-Theorien ist ein breites Spektrum an mathematischen Grundlagen, insbesondere aus der Theorie partieller Differentialgleichungen, der Variationsrechnung, Distributionentheorie, Fourieranalysis sowie der Hauptfaserbündel erforderlich. Aus diesem Gebiet stammen einige der wichtigsten ungelösten Fragen der Mathematik: Die Frage nach Existenz und Regularität von Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen beispielsweise ist eines der sieben Millennium-Probleme des Clay Mathematics Institute.
Allgemeine Relativitätstheorie
Die allgemeine Relativitätstheorie basiert auf der Pseudo-riemannschen Geometrie. Neben der Lösungstheorie der Einsteinschen Feldgleichungen werden differentialtopologische Methoden und Singularitäten-Theoreme aus der Mathematik benutzt, um Aussagen über die globale Topologie des Universums oder schwarze Löcher zu erhalten.
Quantenphysik
Die Quantenphysik erlaubt die Beschreibung der Natur auf atomaren Skalen. Ihre mathematische Formulierung nutzt unter anderem die Spektraltheorie von unbeschränkten Operatoren auf Hilberträumen, insbesondere von Schrödingeroperatoren. Weiterhin sind C*-Algebren und die Darstellungstheorie von Lie-Gruppen und Lie-Algebren von zentraler Bedeutung. Die mathematische Physik beschäftigt sich weiterhin mit der mathematisch rigorosen Formulierung von axiomatischen Quantenfeldtheorien, wie der algebraischen Quantenfeldtheorie oder der konstruktiven Quantenfeldtheorie, sowie der Analyse verschiedener Quantisierungsmethoden, etwa in Bezug auf klassischen Limes oder Wohldefiniertheit.
Auch aus diesem Bereich stammt eines der Millennium-Probleme, nämlich der Beweis der Existenz einer Massenlücke in den quantisierten Versionen der Yang-Mills-Gleichungen.
Statistische Physik
Systeme vieler wechselwirkender Teilchen werden durch die statistische Physik beschrieben. Zentrale Fragestellungen sind Existenz und Eigenschaften von Phasenübergängen, Symmetriebrechung und, für Systeme endlicher Teilchenzahl, eines thermodynamischen Limes. Einige hier relevante Teilgebiete der Mathematik sind die Theorie stochastischer Prozesse oder Zufallsmatrizen.
Ansätze für neue physikalische Theorien
Die mathematische Physik beschäftigt sich aber nicht nur mit der mathematischen Untersuchung bereits existierender physikalischer Modelle. Vielmehr ist auch die Suche nach neuen Theorien – beispielsweise eine quantenphysikalische Beschreibung der Gravitation – ein wichtiges Arbeitsgebiet, da hier sowohl physikalisches Wissen als auch mathematische Methoden nötig sind. Einige prominente Ansätze sind hier die Stringtheorie, Schleifenquantengravitation, Nichtkommutative Geometrie oder die topologische Quantenfeldtheorie.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 29.12. 2021