Sekans und Kosekans
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Sekans und Kosekans sind trigonometrische
Funktionen. Der Sekans wird mit
bezeichnet, der Kosekans mit
oder
.
Die Funktionen haben ihren Namen durch die Definition im Einheitskreis. Die
Funktionswerte entsprechen der Länge von Sekantenabschnitten:
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Im rechtwinkligen Dreieck ist der Sekans das Verhältnis der Hypotenuse zur Ankathete und damit die Kehrwert-Funktion der Kosinusfunktion.
Der Kosekans ist das Verhältnis der Hypotenuse zur Gegenkathete und damit die Kehrwert-Funktion der Sinusfunktion:
Eigenschaften
Graphen
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Definitionsbereich
Sekans: | |
Kosekans: |
Wertebereich
Periodizität
- Periodenlänge
Symmetrien
Sekans: | Achsensymmetrie: |
Kosekans: | Punktsymmetrie: |
Polstellen
Sekans: | |
Kosekans: | IMG class="text" style="width: 18.55ex; height: 2.5ex; vertical-align: -0.67ex;" alt="x = n \cdot \pi\ ;\quad n \in \mathbb{Z}" src="/svg/7041806e831d5b55c2c8abb837f0834237b75f20.svg"> |
Extremstellen
Sekans: | Minima: | Maxima: | ||
Kosekans: | Minima: | Maxima: |
Nullstellen
Beide Funktionen haben keine Nullstellen.
Asymptoten
Beide Funktionen haben keine horizontalen Asymptoten.
Sprungstellen
Beide Funktionen haben Sprungstellen.
Wendepunkte
Beide Funktionen haben keine Wendepunkte.
Wichtige Funktionswerte
Da Sekans und Kosekans periodische
Funktionen mit der Periode
(entspricht im Gradmaß
)
sind, reicht es, die Funktionswerte des Sekans für den Bereich
und die des Kosekans für den Bereich
zu kennen. Funktionswerte außerhalb dieses Bereichs können also aufgrund der
Periodizität durch den Zusammenhang
bestimmt werden. In Gradmaß lautet der Zusammenhang analog
Hierbei bezeichnet
eine ganze
Zahl. Die folgende Tabelle listet die wichtigen Funktionswerte der beiden
trigonometrischen Funktionen in einer leicht zu merkenden Reihe auf.
Winkel (Grad) | Bogenmaß | Sekans | Kosekans |
---|---|---|---|
Weitere wichtige Werte sind:
Winkel (Grad) | Bogenmaß | Sekans | Kosekans |
---|---|---|---|
Beweisskizzen:
, weil das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis (mit der Hypotenuse 1) dann gleichschenklig ist, und nach Pythagoras gilt
.
, weil das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis (mit der Hypotenuse 1) gespiegelt an der
-Achse dann gleichseitig ist (mit Seitenlänge 1), und somit die Seitenlänge die doppelte Länge der Gegenkathete ist.
, weil für das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis (mit der Hypotenuse 1) wegen
für den Sekans nach Pythagoras gilt
.
, weil im Pentagramm das Inverse des Goldenen Schnitts auftritt, wobei der halbierte Winkel in den Spitzen gleich 18° ist.
, weil im regelmäßigen Fünfeck der Goldene Schnitt auftritt, wobei der halbierte Innenwinkel gleich 54° ist.
und
lassen sich mit Hilfe der Halbwinkelformeln für Sinus und Kosinus herleiten.
Weitere mit Quadratwurzeln darstellbare Funktionswerte
Siehe auch: Sinus und Kosinus: Weitere mit Quadratwurzeln angebbare Funktionswerte
Weil der Sekans jeweils der Kehrwert
des Kosinus und der Kosekans der Kehrwert des Sinus ist, lassen sich die
Funktionswerte
und
genau dann mit Quadratwurzeln
darstellen, wenn das auch für
und
möglich ist. Generell gilt, dass
und
genau dann explizit mit den vier Grundrechenarten
und Quadratwurzeln
darstellbar sind, wenn der Winkel
mit Zirkel
und Lineal konstruierbar ist, insbesondere also wenn
von der Gestalt
ist, wobei ,
und die
für
Fermatsche
Primzahlen sind.
Umkehrfunktionen
Sekans:
- Auf einer halben Periodenlänge, z.B.
ist die Funktion umkehrbar (Arkussekans):
Kosekans
- Auf einer halben Periodenlänge, z.B.
ist die Funktion umkehrbar (Arkuskosekans):
Reihenentwicklung
Sekans:
Kosekans:
Ableitung
Sekans:
Kosekans
Integral
Sekans:
Kosekans
Komplexes Argument
mit
mit
Anwendung für numerische Berechnungen – Bedeutung historisch
Bevor elektronische Rechenmaschinen allgegenwärtig waren, verwendete man für die Winkelfunktionen Tabellen, meist in gedruckten Büchern. Mit einem solchen Funktionswert aus einer Tabelle zu multiplizieren war bequemer und praktischer, als durch so einen Wert zu dividieren (dies gilt übrigens auch für nicht aufgehende Wurzelwerte usw.); wenn in einer Formel also ein Sinus oder Kosinus im Nenner steht, ist es bequem, statt dieser Werte die entsprechenden Kosekans- bzw. Sekanswerte in den Zähler zu schreiben.
Dieses Argument ist im Zeitalter der allgemein verfügbaren elektronischen Taschenrechner nur noch von historischer Bedeutung; Sekans und Kosekans sind in den neueren Formelsammlungen nicht mehr erwähnt und auch nicht als Funktionen (mit eigener Taste) in den Rechnern implementiert. Für diesen Zweck sind diese Funktionen schlicht überflüssig geworden; sie lösten ein Problem, das nicht mehr besteht.
Siehe auch
- Sinus und Kosinus
- Tangens und Kotangens
- Trigonometrische Funktion
- Sekans hyperbolicus und Kosekans hyperbolicus
- Formelsammlung Trigonometrie
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 21.12. 2022