Rechtwinkliges Dreieck

Dreieck mit dem rechten Winkel  \gamma und der Ankathete und der Gegenkathete von \alpha

Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck mit einem rechten Winkel.

Bezeichnungen

Als Hypotenuse[1] bezeichnet man die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber.

Als Kathete (aus dem griechischen káthetos, das Herabgelassene, Senkblei) wird jede der beiden kürzeren Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck bezeichnet. Die Katheten sind also die beiden Seiten des rechtwinkligen Dreiecks, die den rechten Winkel bilden. In Bezug auf einen der beiden spitzen Winkel (in der Skizze \alpha ) des Dreiecks unterscheidet man die Ankathete dieses Winkels (die dem Winkel anliegende Kathete) und die Gegenkathete (die dem Winkel gegenüberliegende Kathete).

Sätze

Satz des Pythagoras c^{2}=a^{2}+b^{2} Right triangle abchpq.svg
Kathetensatz a^{2}=c\cdot p
b^{2}=c\cdot q
Höhensatz h^{2}=p\cdot q

Berechnung und Konstruktion

Konstruktion SWW-Fall, gegeben sind Hypotenuse c und Winkel \beta
SSS-Fall: kleinster Tripel: {\displaystyle (3,4,5)}

Ein rechtwinkliges Dreieck ist durch drei Bestimmungsstücke vollständig bestimmt: den rechten Winkel, eine Seite sowie eine weitere Seite oder einen weiteren Winkel.

Die Kathete b senkrecht auf die Kathete a anordnen. Der Abstand |AB| ergibt die fehlende Hypotenuse c und somit das Dreieck ABC.
Die Hypotenuse halbieren und über den Mittelpunkt M den Thaleskreis ziehen. Ist z.B. die Kathete b gegeben, schneidet der Kreisbogen um A mit dem Radius b den Thaleskreis in C. Die Verbindung C mit B vollendet das Dreieck ABC.
Ist z.B. die Kathete a und der Winkel \beta gegeben (WSW-Fall), wird ab B eine gerade Linie gezogen, die mit der Kathete a den Winkel \beta bildet. Die abschließende Senkrechte auf a ab C schneidet die gerade Linie in A und erzeugt somit das Dreieck ABC.
Ist z.B., wie im nebenstehenden Bild zu sehen, die Hypotenuse c und der Winkel \beta gegeben (SWW-Fall), wird c halbiert und über den Mittelpunkt M der Thaleskreis gezogen. Beim Festlegen des Winkels \beta mit Scheitel B ergibt sich C auf dem Thaleskreis und damit die Kathete a. Die Verbindung C mit A liefert die Kathete b und vollendet somit das rechtwinklige Dreieck ABC.

Im rechtwinkligen Dreieck sind die Höhen h_{a} und h_{b} jeweils gleich den Katheten b bzw. a.

Mathematische Formeln zum rechtwinkligen Dreieck
Flächeninhalt {\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {a\cdot b}{2}},\\A&=\rho \cdot (\rho +2\cdot r)\end{aligned}}}  
Rechtwinkliges Dreieck, Größen des Dreiecks
Hypotenuse {\displaystyle {\begin{aligned}c&={\sqrt {a^{2}+b^{2}}},\\c&={\frac {a^{2}}{\sqrt {a^{2}-h_{c}^{2}}}},\\c&={\frac {b^{2}}{\sqrt {b^{2}-h_{c}^{2}}}}\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}c&={\frac {a}{\sin(\alpha )}}={\frac {b}{\cos(\alpha )}},\\c&={\frac {b}{\sin(\beta )}}={\frac {a}{\cos(\beta )}}\end{aligned}}}
Kathete {\displaystyle {\begin{aligned}a&={\sqrt {c^{2}-b^{2}}},\\a&={\frac {b\cdot h_{c}}{\sqrt {b^{2}-h_{c}^{2}}}},\\a&={\sqrt {{\frac {c}{2}}\cdot \left(c-{\sqrt {c^{2}-4\cdot h_{c}^{2}}}\right)}}\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}a&=c\cdot \sin(\alpha )=c\cdot \cos(\beta ),\\a&=b\cdot \tan(\alpha )=b\cdot \cot(\beta )\end{aligned}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}b&={\sqrt {c^{2}-a^{2}}},\\b&={\frac {a\cdot h_{c}}{\sqrt {a^{2}-h_{c}^{2}}}},\\b&={\sqrt {{\frac {c}{2}}\cdot \left(c+{\sqrt {c^{2}-4\cdot h_{c}^{2}}}\right)}}\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}b&=c\cdot \cos(\alpha )=c\cdot \sin(\beta ),\\b&=a\cdot \cot(\alpha )=a\cdot \tan(\beta )\end{aligned}}}
Umfang {\displaystyle {\begin{aligned}U&=a+b+c,\\U&=2\cdot \rho +4\cdot r\end{aligned}}}
Höhe {\displaystyle {\begin{aligned}h_{c}&={\frac {a\cdot b}{c}}\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}h_{c}&=b\cdot \sin(\alpha )=a\cdot \cos(\alpha ),\\h_{c}&=a\cdot \sin(\beta )=b\cdot \cos(\beta )\end{aligned}}}
Winkel \alpha+\beta=\gamma=90^\circ {\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\arcsin \left({\frac {a}{c}}\right)=\arccos \left({\frac {b}{c}}\right),\\\alpha &=\arctan \left({\frac {a}{b}}\right)=\operatorname {arccot} \left({\frac {b}{a}}\right)\end{aligned}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}\beta &=\arcsin \left({\frac {b}{c}}\right)=\arccos \left({\frac {a}{c}}\right),\\\beta &=\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)=\operatorname {arccot} \left({\frac {a}{b}}\right)\end{aligned}}}
Inkreisradius {\displaystyle \rho ={\frac {a+b-c}{2}}={\frac {a\cdot b}{a+b+c}}}
Umkreisradius {\displaystyle r={\frac {c}{2}}}

Ungleichungen

Für die Katheten a und b gilt {\displaystyle (a-b)^{2}\geq 0}, also {\displaystyle a^{2}+b^{2}\geq 2\cdot a\cdot b}. Addition von {\displaystyle a^{2}+b^{2}} ergibt {\displaystyle 2\cdot a^{2}+2\cdot b^{2}\geq a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}}, also {\displaystyle 2\cdot (a^{2}+b^{2})\geq (a+b)^{2}}. Nach dem Satz des Pythagoras folgt daraus {\displaystyle c^{2}\geq {\frac {(a+b)^{2}}{2}}} und die Ungleichungen

{\displaystyle c\geq {\frac {a+b}{\sqrt {2}}}\geq {\sqrt {2\cdot a\cdot b}}}

Die rechte Ungleichung ist ein Spezialfall der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel.

Division von {\displaystyle 4\cdot a\cdot b\leq (a+b)^{2}} durch die linke Ungleichung ergibt {\displaystyle {\frac {4\cdot a\cdot b}{c}}\leq {\sqrt {2}}\cdot (a+b)}. Wegen {\displaystyle h_{c}={\frac {a\cdot b}{c}}} folgt daraus

{\displaystyle h_{c}\leq {\frac {a+b}{2\cdot {\sqrt {2}}}}}

Aus {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}\geq 2\cdot a\cdot b} folgt wegen a>0, b > 0, c > 0 für die Kehrwerte{\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}\leq {\frac {1}{2\cdot a\cdot b}}}, also {\displaystyle {\frac {1}{c}}\leq {\frac {1}{\sqrt {2\cdot a\cdot b}}}}. Multiplikation mit a\cdot b auf beiden Seiten ergibt {\displaystyle {\frac {a\cdot b}{c}}\leq {\frac {\sqrt {a\cdot b}}{\sqrt {2}}}}. Wegen {\displaystyle h_{c}={\frac {a\cdot b}{c}}} folgen daraus die genaueren Ungleichungen

{\displaystyle h_{c}\leq {\frac {\sqrt {a\cdot b}}{\sqrt {2}}}\leq {\frac {a+b}{2\cdot {\sqrt {2}}}}}

Die Gleichungen {\displaystyle c={\frac {a+b}{\sqrt {2}}}={\sqrt {2\cdot a\cdot b}}} und {\displaystyle h_{c}={\frac {\sqrt {a\cdot b}}{\sqrt {2}}}={\frac {a+b}{2\cdot {\sqrt {2}}}}} gelten genau dann, wenn a=b, also für ein rechtwinkliges und gleichschenkliges Dreieck mit den Innenwinkeln 45^{\circ }, 45^{\circ } und 90^{\circ }.

Ausgezeichnete Punkte

Wie aus dem Bild ersichtlich, liegt von den vier „klassischen“ ausgezeichneten Punkten im rechtwinkligen Dreieck, der Höhenschnittpunkt H (hellbraun) direkt im Scheitel des rechten Winkles, Eckpunkt C, und der Umkreismittelpunkt U (hellgrün) in der Mitte der Dreieckseite c. Der Schwerpunkt S (dunkelblau) sowie der Inkreismittelpunkt I (rot) sind innerhalb des Dreiecks.

Der Mittelpunkt F des Feuerbachkreises (beides hellblau) ist in der Mitte der Strecke {\displaystyle {\overline {HU}}} und ebenfalls innerhalb des Dreiecks. Auf dem Feuerbachkreis liegen dessen neun ausgezeichnete Punkte, von denen aber, aufgrund der Position des Höhenschnittpunktes H, nur fünf zu sehen sind. Es sind dies die Seitenmittelpunkte {\displaystyle J,M} und O sowie die Höhenfußpunkte D und G. Zwei der drei Mittelpunkte der sogenannten oberen Höhenabschnitte, nämlich E und N, liegen auf den Seitenmittelpunkten J bzw. M. Der dazugehörende dritte Mittelpunkt K liegt auf dem Scheitelpunkt C. Schließlich findet man den dritten Höhenfußpunkt L auf dem Höhenschnittpunkt H.

Die Bezeichnungen der ausgezeichneten Punkte und deren Positionen sind mit denen des spitzwinkligen Dreiecks vergleichbar.

Die Punkte U, S, F und H befinden sich, wie bei allen Dreiecken, auf der Eulerschen Gerade e (rot).

Rechtwinkliges Dreieck mit den vier „klassischen“ ausgezeichneten Punkten U, S, I und H, darüber hinaus der Mittelpunkt des Feuerbachkreises F mit dessen neun ausgezeichneten Punkten (davon nur fünf sichtbar) und der Eulerschen Geraden e.
 

Satz von Eddy

Der Satz wurde erst im Jahr 1991 formuliert, „ist aber sicher schon sehr viel älter“.

Bild 2: Beweis durch Kreiswinkelsatz (Zentriwinkelsatz)
Bild 1: Beweis durch Symmetrie

Die Winkelhalbierende des rechten Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks teilt das Hypotenusenquadrat in zwei kongruente Flächen.

Es sei ein beliebiges Dreieck ABC mit der Hypotenuse c, dem Hypotenusenquadrat c^{2} und mit der Winkelhalbierenden {\displaystyle wh} des rechten Winkels am Scheitel C. Die Winkelhalbierende {\displaystyle wh} schneidet im Punkt F sowie im Punkt G das Hypotenusenquadrat c^{2} in zwei Vierecke {\displaystyle ADGF} und {\displaystyle GEBF.}

Beweise

A) Beweis durch Symmetrie, Bild 1, gleichermaßen der Geometrischer Beweis durch Ergänzung für den Satz des Pythagoras.

B) Ansatz für einen alternativen Beweis, Bild 2:

Zuerst wird der Mittelpunkt M der Hypotenuse c bestimmt, anschließend der Kreis k_{1} mit dem Radius {\displaystyle {\overline {MB}}} um M eingezeichnet und die Mittelsenkrechte des Durchmessers {\overline {AB}} mit den soeben erzeugten Schnittpunkten H, I und J eingetragen. Der Schnittpunkt I entspricht dem Mittelpunkt des Hypotenusenquadrates {\displaystyle c^{2}.} Abschließend noch den Punkt A mit I verbinden.

Das einbeschriebene Dreieck {\displaystyle AIC} hat am Scheitel M den Zentriwinkel mit der Winkelweite gleich 90^{\circ }. Nach dem Kreiswinkelsatz (Zentriwinkelsatz) hat der Winkel {\displaystyle ACI} folglich die Winkelweite {\displaystyle 45^{\circ },} damit verläuft die Winkelhalbierende {\displaystyle wh} ebenfalls durch den Mittelpunkt I des Hypotenusenquadrates {\displaystyle c^{2}.}

Somit bestätigt sich, die beiden Dreiecke {\displaystyle IFM} und {\displaystyle IGJ} sind kongruent, demzufolge haben auch die Vierecke {\displaystyle ADGF} und {\displaystyle GEBF} gleiche Flächeninhalte.

Siehe auch

Anmerkungen

  1. Die Bezeichnung „Hypotenuse“ kommt von dem gleichbedeutenden, altgriechischen Begriff ὑποτείνουσα, hypoteinousa, der von: hypo – unter und teinein – spannen, sich erstrecken abgeleitet ist.
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 14.08. 2021