Mittelpunkt

Der Begriff Mittelpunkt steht in der Geometrie in enger Beziehung zum Begriff des geometrischen Schwerpunkts. Er wird nicht zuletzt in folgenden Zusammenhängen benutzt:

Bei einer Strecke, einem Kreis, einer Kugel oder allgemein bei einer n-dimensionalen Sphäre ist der Mittelpunkt der Punkt, der von allen Punkten dieser Sphäre den gleichen (minimalen) Abstand besitzt. Diese Definition kann man allgemein in (vollständigen) metrischen Räumen vornehmen.
Bei Kegelschnitten und bei den durch Quadriken beschriebenen Flächen zweiter Ordnung (z.B. Ellipsoide oder Kegel) sind die Mittelpunkte die Fixelemente einer Spiegelung, welche die vorgegebene Figur in sich selbst überführt. Alle Kegelschnitte mit Ausnahme der Parabeln haben genau einen Mittelpunkt; eine Fläche zweiter Ordnung kann keinen, genau einen oder eine ganze Gerade oder Ebene von Mittelpunkten haben. Hat sie genau einen Mittelpunkt, wird sie als Mittelpunktsquadrik bezeichnet.

Beschreibung durch Koordinaten

Strecke

Ist der Endpunkt und der Anfangspunkt einer Strecke bekannt, so kann man die Koordinaten des Mittelpunktes über die Beziehungen $\mathrm {x_{m}={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}}$ , $\mathrm {y_{m}={\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}}$ bzw. zusätzlich bei einer Strecke im Raum mit $\mathrm {z_{m}={\frac {z_{1}+z_{2}}{2}}}$ ermitteln.

Kreis/Kugel

Ist eine Kreisgleichung der Form $\mathrm {r^{2}=(x-a)^{2}+(y-b)^{2}} \,$ gegeben, so kann man die Koordinaten des Mittelpunktes direkt angeben über $\mathrm {M(a,b)} \,$ . Bei einer Kugel wird die Gleichung um die Z-Achse erweitert: $\mathrm {r^{2}=(x-a)^{2}+(y-b)^{2}} +(z-c)^{2}\,$ . Der Mittelpunkt ist somit $\mathrm {M(a,b,c)} \,$ .

Siehe auch

Ausgezeichnete Punkte im Dreieck

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de