Kegelschnitt

Kegelschnitte:
(1) liefert die Parabel, (2) Kreis und Ellipse, (3) die Hyperbel

Ein Kegelschnitt (lateinisch sectio conica, englisch conic section) ist eine Kurve, die entsteht, wenn man die Oberfläche eines Doppelkegels mit einer Ebene schneidet. Enthält die Schnittebene die Kegelspitze, so entsteht als Schnitt entweder ein Punkt oder eine Gerade oder ein sich schneidendes Geradenpaar. Ist die Spitze nicht enthalten, so entstehen die nicht ausgearteten Kegelschnitte Ellipse, Kreis (eine Sonderform der Ellipse), Parabel oder Hyperbel.

Der Nachweis, dass im nicht ausgearteten Fall wirklich diese in der Ebene als Ortskurven definierten Kurven entstehen, lässt sich ohne Rechnung mit Hilfe der Dandelinschen Kugeln führen. Der rechnerische Nachweis wird hier im Abschnitt Ebene Schnitte des Einheitskegels gegeben.

Ein Kegelschnitt kann auch als zweidimensionaler Sonderfall einer Quadrik angesehen werden und durch eine Gleichung 2. Grades, die allgemeine Kegelschnittgleichung, beschrieben werden.

Bettet man Ellipse, Hyperbel und Parabel in eine projektive Ebene ein, so entstehen projektive Kegelschnitte, die alle zueinander äquivalent sind, d.h., man kann sie durch geradentreue Abbildungen ineinander überführen.

Ellipse: Definition
Parabel: Definition
Hyperbel: Definition
Ausgeartete Kegelschnitte:
sich schneidendes Geradenpaar, paralleles Geradenpaar, eine Gerade, ein Punkt

Gleichungen der Kegelschnitte

Die Kegelschnitte können in einem geeigneten x-y-Koordinatensystem durch Gleichungen 2. Grades beschrieben werden:

Der Vollständigkeit halber werden noch zwei weitere Fälle hinzugenommen, die nicht als eigentliche Kegelschnitte auftreten, aber auch durch Gleichungen 2. Grades beschrieben werden:

Die letzten beiden Fälle können als ebene Schnitte eines geraden Kreiszylinders auftreten. Ein Kreiszylinder lässt sich als Grenzfall eines Kegels mit Kegelspitze im Unendlichen auffassen. Deshalb nimmt man diese beiden Fälle mit zu den Kegelschnitten.

Ebene Schnitte des Einheitskegels

Kegelschnitt-Fälle

Um festzustellen, dass die oben als Kegelschnitte bezeichneten Kurven/Punkte tatsächlich beim Schnitt eines Kegels mit einer Ebene auftreten, schneiden wir hier den Einheitskegel (gerader Kreiskegel) {\displaystyle K_{1}\colon x^{2}+y^{2}=z^{2}} mit einer Ebene, die parallel zur y-Achse ist. Dies ist keine Einschränkung, da der Kegel rotationssymmetrisch ist. Ein beliebiger gerader Kreiskegel ist das affine Bild des Einheitskegels K_{1} und Ellipsen/Hyperbeln/Parabeln/… gehen bei einer affinen Abbildung wieder in ebensolche über.

Gegeben: Ebene {\displaystyle \varepsilon \colon ax+cz=d\ ,} Kegel {\displaystyle K_{1}\colon x^{2}+y^{2}=z^{2}}.

Gesucht: Schnitt \varepsilon \cap K_1.

Zusammenfassung:

Allgemeine Kegelschnittgleichung

Die allgemeine Gleichung für Kegelschnitte lautet

{\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0}
(man beachte, dass die Parameter a und b nicht diejenigen des vorhergehenden Abschnitts sind)

Die Parameter a,b,c sind im Speziellen nicht alle 0. Falls {\displaystyle a=b=c=0} ist, beschreibt die Gleichung eine Gerade oder ganz \mathbb {R} ^{2}.

Ellipse: Hauptachsentransformation

Es soll jetzt nachgewiesen werden, dass als Lösungsmengen der allgemeinen Kegelschnittgleichung nur die obigen 8 Fälle auftreten. Das Ziel erreichen wir in zwei wesentlichen Schritten, der Hauptachsentransformation:

  1. Drehung des Koordinatensystems zur Beseitigung des Terms xy.
  2. Verschiebung des Nullpunktes (Translation) so, dass möglichst die linearen Terme \dots x+\dots y verschwinden.

1. Schritt: Falls b\ne0, führen wir die Drehung

(x,y)=(x'\cos\alpha-y'\sin\alpha,x'\sin\alpha+y'\cos\alpha)
um den Winkel \alpha mit \tan(2\alpha)=\tfrac{b}{a-c} bzw. \alpha=45^\circ, falls a=c, durch.

Die Kegelschnittgleichung hat danach die Form

A x^2 + B y^2 + C x + D y + E = 0, (statt x',y' wurde wieder x,y benutzt).

2.Schritt:

Falls A\ne0 ist, führt eine quadratische Ergänzung zum Term A\left(x+{\tfrac  {C}{2A}}\right)^{2} und damit zur Verschiebung x'=x+\tfrac{C}{2A}.
Falls B\ne0 ist, führt eine quadratische Ergänzung zum Term B\left(y+{\tfrac  {D}{2B}}\right)^{2} und damit zur Verschiebung y'=y+\tfrac{D}{2B}.

Nach diesen beiden Schritten hat die Kegelschnittgleichung (x’ und y’ werden wieder durch x,y ersetzt) schließlich die Form

I: ux^2+vy^2+w=0 mit  u,v\ne 0 oder
II: ux^2+vy+w=0 oder uy^2+vx+w=0 mit u\ne 0.

Es können nur die obigen 8 Fälle auftreten:

Im Fall I ergeben sich eine Ellipse oder eine Hyperbel oder die leere Menge, falls w\ne 0 ist, oder ein Punkt oder ein sich schneidendes Geradenpaar, falls w=0 ist.
Im Fall II ergeben sich eine Parabel, falls v\ne 0 ist, oder ein paralleles Geradenpaar oder eine Gerade oder die leere Menge, falls v=0 ist.

Bei den hier durchgeführten Transformationen (Drehung, Verschiebung) wird die geometrische Form des durch die ursprüngliche Gleichung beschriebenen Kegelschnitts nicht verändert. Parameter wie Halbachsen bei Ellipsen und Hyperbel oder Brennweite bei der Parabel oder Winkel/Abstand zwischen sich schneidenden/parallelen Geraden lassen sich an dem transformierten Kegelschnitt ablesen.

Bemerkung: Der quadratische Anteil der allgemeinen Kegelschnittgleichung lässt sich auch mit Hilfe einer 2×2-Matrix schreiben:

{\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b/2\\b/2&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+dx+ey+f=0.

Da eine Drehung und eine Verschiebung das Vorzeichen der Determinante \delta=ac-\tfrac{b^2}{4} der 2×2-Matrix nicht verändert, führt \delta \neq 0 auf den Fall I und \delta =0 auf den Fall II. Weiß man, dass die ursprüngliche Kegelschnittgleichung einen nicht ausgearteten Kegelschnitt darstellt, kann man an der Determinante \delta schon erkennen, ob es sich um eine Ellipse (\delta >0 ) oder eine Hyperbel (\delta <0) oder eine Parabel (\delta =0) handelt.

Bemerkung:

Beispiel: Der Kegelschnitt durch die 5 Punkte {\displaystyle (1,0),(-1,0),(0,1),(-1,-1),(1,1)} hat nach Ausrechnen obiger Determinante die Gleichung -4x^{2}+4xy-4y^{2}+4=0 oder nach Vereinfachung: x^{2}-xy+y^{2}-1=0. Die Hauptachsentransformation erfolgt mit einer Drehung um 45^{\circ }. Eine Verschiebung ist nicht nötig. Der Kegelschnitt hat die transformierte Gleichung \tfrac{x^2}{2}+\tfrac{3}{2}y^2-1=0 und ist eine Ellipse.

Scheitelgleichung einer Kegelschnittschar

Kegelschnitt-Schar: p fest, \varepsilon variabel

Die Schar der nicht ausgearteten Kegelschnitte, deren Achse die x-Achse ist und die im Punkt (0,0) einen Scheitel haben, lässt sich durch die Gleichung

beschreiben (zum Beweis siehe Leitlinien-Eigenschaft der Hyperbel). Für

\varepsilon=0 erhält man einen Kreis,
für {\displaystyle 0<\varepsilon <1} eine Ellipse,
für \varepsilon =1 eine Parabel und
für \varepsilon>1 eine Hyperbel.

\varepsilon ist die numerische Exzentrizität.

2p ist die Weite des Kegelschnitts, gemessen am Brennpunkt senkrecht zur Achse.
p ist der Scheitelkrümmungskreisradius im Scheitel (0,0).
Für Ellipsen und Hyperbeln ist \varepsilon=e/a, wobei a die große Halbachse und e die lineare Exzentrizität ist. Im Fall einer Ellipse ist (a,0) der Mittelpunkt und (a-e,0) ein Brennpunkt. Im Fall einer Hyperbel ist (-a,0) der Mittelpunkt und (e-a,0) ein Brennpunkt. Im Fall einer Parabel ist (\tfrac{p}{2},0) der Brennpunkt. Für den Kreis (mit \varepsilon=0) liegt der Mittelpunkt bei {\displaystyle (p,0)} und der Radius ist p.

Polargleichung einer Kegelschnittschar

Kegelschnitt: zur Leitliniendefinition
Kegelschnittschar mit gemeinsamem Brennpunkt in Polarkoordinaten

Die Leitlinieneigenschaft der nicht ausgearteten Kegelschnitte lautet:

Ist der Punkt F der Nullpunkt und hat die Gerade l die Gleichung {\displaystyle x=-d}, so gilt in Polarkoordinaten (s. Bild):

{\displaystyle {\frac {|PF|}{|Pl|}}={\frac {r}{r\cos \varphi +d}}=\varepsilon \ .}

Auflösen nach r liefert zunächst {\displaystyle r={\frac {\varepsilon d}{1-\varepsilon \cos \varphi }}}. Setzt man {\displaystyle p=r(\pi /2)=\varepsilon d}, so erhält man die Polardarstellung der nichtausgearteten Kegelschnitte:

p ist dabei der Halbparameter (halbe Breite des Kegelschnitts am Brennpunkt) und \varepsilon die numerische Exzentrizität. Wählt man den Halbparameter p fest, so erhält man Kegelschnitte mit dem Nullpunkt als gemeinsamen Brennpunkt, und zwar

für \varepsilon=0 den Kreis mit Mittelpunkt {\displaystyle M=(0,0)} und Radius {\displaystyle R=p},
für {\displaystyle 0<\varepsilon <1} die Ellipse mit dem Mittelpunkt {\displaystyle M=(e,0),\ e={\frac {p\;\varepsilon }{1-\varepsilon ^{2}}}} und den Halbachsen {\displaystyle a={\frac {e}{\varepsilon }},\ b={\sqrt {a^{2}-e^{2}}}},
für \varepsilon =1 die Parabel mit dem Scheitel {\displaystyle S=(-{\frac {p}{2}},0)} und der Gleichung {\displaystyle x={\frac {y^{2}-p^{2}}{2p}}},
für \varepsilon>1 die Hyperbel mit dem Mittelpunkt {\displaystyle M=(-e,0),\ e={\frac {p\;\varepsilon }{\varepsilon ^{2}-1}}} und den Halbachsen {\displaystyle a={\frac {e}{\varepsilon }},\ b={\sqrt {e^{2}-a^{2}}}}.

Kegelschnittbüschel

Sind die Gleichungen {\displaystyle f_{1}(x,y)=0,\ f_{2}(x,y)=0} zweier Kegelschnitte gegeben, so lassen sich durch die Linearkombination

der Gleichungen neue Kegelschnitte erzeugen. Da proportionale Paare (a_{1},a_{2}) und {\displaystyle (ta_{1},ta_{2})} äquivalente Gleichungen ergeben und daher zum selben Kegelschnitt gehören, schreibt man die Linearkombination oft so:

Kreisbüschel zu zwei vorgegebenen Kreisen (rot)
Kegelschnittbüschel zu 3 Geraden (rot: Kreis für {\displaystyle \mu ={\tfrac {5}{9}}}, magenta: Ellipse, blau: Parabel für {\displaystyle \mu ={\tfrac {1}{5}}}, grün: Hyperbel)
Kegelschnitt-Büschel durch 4 Punkte

Diese Gleichung beschreibt in eindeutiger Weise durch den Parameter \mu jeweils einen Kegelschnitt.

Beispiel Kreisbüschel:

Für die zwei Kreisgleichungen

{\displaystyle f_{1}(x,y)=(x-2)^{2}+y^{2}-1=0}
{\displaystyle f_{2}(x,y)=(x+2)^{2}+y^{2}-1=0}

beschreibt {\displaystyle (1-\mu )f_{1}(x,y)-\mu f_{2}(x,y)=0} mit {\displaystyle \mu \neq 1/2} ein Büschel von Kreisen (s. Bild). (Für {\displaystyle \mu =1/2} heben sich die quadratischen Terme auf und es ergibt sich die Gerade x=0.)

Beispiel Kegelschnittbüschel durch 2 Punkte mit vorgegebenen Tangenten:

Das folgende Beispiel baut aus 3 Geraden {\displaystyle g_{1},g_{2},g_{3}} ein Büschel von Kegelschnitten auf. Es sei:

{\displaystyle g_{0}:f_{0}(x,y)=y=0}
{\displaystyle g_{1}:f_{1}(x,y)=y/2-x-1=0}
{\displaystyle g_{2}:f_{2}(x,y)=y/2+x-1=0}

Dann beschreibt die Gleichung

{\displaystyle (1-\mu )f_{1}(x,y)\cdot f_{2}(x,y)-\mu f_{0}(x,y)^{2}=0}

mit dem Scharparameter \mu ein Büschel von Kegelschnitten durch die beiden Punkte {\displaystyle P_{1}=g_{0}\cap g_{1}} und {\displaystyle P_{2}=g_{0}\cap g_{2}}. Jeder Kegelschnitt berührt die beiden Geraden {\displaystyle g_{1},g_{2}} in diesen Punkten. Das Kegelschnittbüschel ist also durch die beiden Punkte P_1, P_2 und die beiden Tangenten {\displaystyle g_{1},g_{2}} in diesen Punkten bestimmt. (Ein Kegelschnitt ist immer durch 5 Vorgaben eindeutig bestimmt!) Beide Kegelschnitte, mit der die Linearkombination gebildet wird, sind ausgeartete Kegelschnitte ({\displaystyle f_{1}f_{2}=0} ist ein Geradenpaar und {\displaystyle f_{0}^{2}=0} ist eine Doppelgerade).

Beispiel Kegelschnittbüschel durch 4 Punkte:

In diesem Fall ist das Büschel eine Linearkombination zweier paralleler Geradenpaare, die sich in den 4 Punkten {\displaystyle (\pm 1,\pm 1)} schneiden (s. Bild):

{\displaystyle a_{1}(x^{2}-1)+a_{2}(y^{2}-1)=0}

Durch jeden Punkt der Ebene, der von den Grundpunkten des Büschels verschieden ist, geht genau ein (eventuell ausgearteter) Kegelschnitt des Büschels. Z.B. erhält man zum Nullpunkt (0,0) für {\displaystyle a_{1}=1,a_{2}=-1} das Geradenpaar {\displaystyle y^{2}=x^{2}}.

Kegelschnittbüschel werden in der Literatur ausführlich untersucht.

Äquivalenz nicht ausgearteter Kegelschnitte

Eine Ellipse ist aber mit einer affinen Abbildung nicht (z.B.) auf eine Parabel abbildbar. Ergänzt man aber die affine Koordinatenebene zu einer projektiven Ebene und fügt einer Parabel den Fernpunkt ihrer Achse hinzu, so lässt sich eine Ellipse mit einer projektiven Abbildung auf eine so erweiterte Parabel abbilden. Das Analoge gilt für eine um die zwei Fernpunkte ihrer Asymptoten ergänzte Hyperbel.

Beispiele:

  1. Die projektive Abbildung mit (x,y)\to (\tfrac{x}{1+y},\tfrac{1-y}{1+y}) bildet den Einheitskreis x^2+y^2=1 auf die Parabel y=x^2 ab.
  2. Die projektive Abbildung mit (x,y)\to (\tfrac{1}{x},\tfrac{y}{x}) bildet die Parabel y=x^2 auf die Hyperbel y=\tfrac{1}{x} ab.

Anwendungen und Beispiele

Kegelschnitte beschreiben die Bahnen von Himmelskörpern
Kegelschnitt in der Architektur: Kathedrale von Brasilia

Eine Anwendung finden die Kegelschnitte in der Astronomie, da die Bahnen der Himmelskörper genäherte Kegelschnitte sind.

Auch in der Optik werden sie verwendet – als Rotationsellipsoid für Autoscheinwerfer, als Paraboloid oder Hyperboloid für Spiegelteleskope usw.

Geschichte

Der griechische Mathematiker Menaichmos untersuchte an Platons Akademie die Kegelschnitte mit Hilfe eines Kegelmodells. Er fand dabei heraus, dass sich das delische Problem auf die Bestimmung des Schnittpunkts zweier Kegelschnitte zurückführen lässt. Danach behandelte Aristaios von Samos (Aristaios der Ältere) in einem nicht mehr erhaltenen Buch das Problem der Konstruktion von Kegelschnitten in Bezug auf drei oder vier Geraden, was später in der Begründung der analytischen Geometrie von René Descartes wieder aufgenommen wurde. Euklid schrieb vier Bücher über Kegelschnitte, die uns aber nicht erhalten sind. Die gesamten Kenntnisse der antiken Mathematiker über die Kegelschnitte fasste Apollonios von Perge in seinem achtbändigen Werk Konika zusammen, wobei Apollonios wie Euklid den synthetischen Zugang zur Geometrie bevorzugte. Die Werke von Euklid, Apollonios und Aristaios wurden ab der Renaissance in Westeuropa wieder aufgegriffen und weiterentwickelt. Die Beschreibung von Kegelschnitten durch Koordinatengleichungen wurde von Fermat und Descartes eingeführt.

Kegelschnitte über beliebigen Zahl-Körpern

Kegelschnitte lassen sich auch über beliebigen Körpern definieren. Es bleiben dabei erstaunlich viele Inzidenz- und Symmetrieeigenschaften erhalten. Siehe projektiver Kegelschnitt und für Kegelschnitte über endlichen Körpern den Artikel Quadratische Menge.

Kegelschnitte und Benz-Ebenen

Kegelschnitte spielen bei den Benz-Ebenen, das sind Möbius-Ebenen (Geometrie der Kreise), Laguerre-Ebenen (Geometrie der Parabeln) und Minkowski-Ebenen (Geometrie der Hyperbeln), eine wichtige Rolle.

Siehe auch

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 20.10. 2021