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Hyperboloid

Einschaliges Hyperboloid
Zweischaliges Hyperboloid

Ein Hyperboloid ist im einfachsten Fall eine Fläche, die durch Rotation einer Hyperbel um eine ihrer Achsen entsteht.

Beide Flächen lassen sich durch eine quadratische Gleichung (analog zu den Gleichungen von Ellipsen und Hyperbel) beschreiben. Sie sind deshalb Spezialfälle von Quadriken (Kugel, Kegel, Paraboloid, …) und werden typischerweise von Ebenen in Kegelschnitten geschnitten.

Ein wesentlicher Unterschied zwischen einem ein- bzw- zweischaligen Hyperboloid ist:

Das einschalige Hyperboloid enthält Geraden, das zweischalige nicht.

Diese Eigenschaft macht das einschalige Hyperboloid für Architekten und Bauingenieure interessant, da sich einschalige Hyperboloide leicht aus Geraden modellieren lassen: z.B. Kühltürme. Einschalige Hyperboloide spielen auch in der synthetischen Geometrie eine Rolle: Eine Minkowski-Ebene ist die Geometrie der ebenen Schnitte eines einschaligen Hyperboloids. Während das einschalige Hyperboloid von Tangentialebenen in zwei sich schneidenden Geraden geschnitten wird (s.u.), hat ein zweischaliges Hyperboloid mit Tangentialebenen immer nur einen Punkt gemeinsam und ist deshalb geometrisch mehr mit einer Kugel verwandt.

Einschaliges Hyperboloid

Einschaliges Einheitshyperboloid H1

Einschaliges Hyperboloid: Erzeugung durch Rotation einer Hyperbel (oben) bzw. einer Gerade (unten: rot oder blau)
Einschaliges Hyperboloid: ebene Schnitte

Lässt man die Hyperbel x^{2}-z^{2}=1 in der x-z-Ebenen um ihre Nebenachse (d. h. z-Achse) rotieren (s. Bild), so erhält man das einschalige Einheits-Hyperboloid mit der Gleichung

(Bei der Rotation wird x^{2} durch x^{2}+y^{2} ersetzt.) Offensichtlich ist jeder Höhenschnitt mit einer Ebene z=z_{0} ein Kreis mit Radius {\displaystyle {\sqrt {1+z_{0}^{2}}}}. Der Schnitt der Ebene x=1 liefert die beiden Schnittgeraden (1,t,\pm t)^{\top },t\in \mathbb {R} . Durch Rotation dieser Geraden erhält man Parameterdarstellungen aller Geraden auf dem Hyperboloid:

g_{\alpha }^{\pm }:{\vec {x}}(t)={\begin{pmatrix}\cos \alpha \\\sin \alpha \\0\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}-\sin \alpha \\\cos \alpha \\\pm 1\end{pmatrix}}\ ,\quad t\in \mathbb {R} ,\ 0\leq \alpha \leq 2\pi \ .

Das einschalige Hyperboloid H_{1} lässt sich also auch durch Rotation der Geraden g_{0}^{+} oder g_{0}^{-} (windschief zur Rotationsachse) erzeugen (s. Bild).

Tangentialebenen von H1

Die Gleichung der Tangentialebene einer implizit durch f(x,y,z)=0 gegebenen Fläche in einem Punkt {\vec {x}}_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0}) ist f_{x}({\vec {x}}_{0})(x-x_{0})+f_{y}({\vec {x}}_{0})(y-y_{0})+f_{z}({\vec {x}}_{0})(z-z_{0})=0.

Für H1 ergibt sich

Ebene Schnitte von H1

Eine Ebene, die eine Hyperboloid-Gerade e enthält, ist entweder eine Tangentialebene und enthält damit eine zweite e schneidende Hyperboloid-Gerade oder enthält eine zu e parallele Hyperboloid-Gerade und ist damit „Tangentialebene in einem Fernpunkt“.

Affine Bilder von H1

Analog wie eine beliebige Ellipse als affines Bild des Einheitskreises aufgefasst werden kann, ist ein beliebiges einschaliges Hyperboloid das affine Bild des Einheitshyperboloids H_{1}. Die einfachsten affinen Bilder erhält man durch Skalierung der Koordinatenachsen:

Nur im Fall a=b sind die Höhenschnitte weiterhin Kreise (andernfalls Ellipsen). Ein solches Hyperboloid nennt man einschaliges Rotationshyperboloid.

Da ein beliebiges einschaliges Hyperboloid (wie das Einheitshyperboloid) Geraden enthält, ist es eine Regelfläche. Da jede Tangentialebene (eines einschaligen Hyperboloids) in der Nähe seines Berührpunktes die Fläche schneidet, hat es eine negative Gauß-Krümmung und ist deswegen nicht-abwickelbar, im Gegensatz zu den Regelflächen Kegel oder Zylinder (Gauß-Krümmung 0). Aus der üblichen Parameterdarstellung einer Hyperbel mit Hyperbelfunktionen erhält man die folgende Parameterdarstellung des Hyperboloids {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}-{\tfrac {z^{2}}{c^{2}}}=1\ :

{\vec {x}}(s,t)=\left({\begin{array}{lll}a\cosh s\cos t\\b\cosh s\sin t\\c\sinh s\end{array}}\right),\quad s\in \mathbb {R} ,\ 0\leq t\leq 2\pi \ .

Bemerkung: Das einschalige Hyperboloid und das hyperbolische Paraboloid sind projektiv äquivalent.

Zweischaliges Hyperboloid

Das zweischalige Einheitshyperboloid H2

Zweischaliges Hyperboloid: Erzeugung durch Rotation einer Hyperbel
Zweischaliges Hyperboloid: ebene Schnitte

Lässt man die Hyperbel -x^{2}+z^{2}=1 in der x-z-Ebenen um ihre Hauptachse (d. h. z-Achse) rotieren (s. Bild), so erhält man das zweischalige Einheits-Hyperboloid mit der Gleichung -x^{2}-y^{2}+z^{2}=1 oder in üblicher Form

Der Schnitt der Ebene z=z_{0} mit H_{2} ist ein Kreis (falls z_{0}^{2}>1) oder ein Punkt (falls z_{0}=\pm 1) oder leer (falls z_{0}^{2}<1). H_{2} besteht aus zwei Teilen, entsprechend den zwei Teilen der Hyperbel.

Tangentialebenen von H

Die Tangentialebene von H_{2} in einem Punkt (x_{0},y_{0},z_{0}) hat die Gleichung (s.o.)

Ebene Schnitte von H2

Affine Bilder von H2

Ein beliebiges zweischaliges Hyperboloid ist das affine Bild des Einheitshyperboloids H_{2}. Die einfachsten affinen Bilder erhält man durch Skalierung der Koordinatenachsen:

Nur im Fall a=b sind die nicht trivialen Höhenschnitte weiterhin Kreise (andernfalls Ellipsen). Ein solches Hyperboloid nennt man zweischaliges Rotationshyperboloid.

Für ein zweischaliges Hyperboloid {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}-{\tfrac {z^{2}}{c^{2}}}=-1\ : ergibt sich die folgende Parameterdarstellung:

{\vec {x}}(s,t)=\left({\begin{array}{lll}a\sinh s\cos t\\b\sinh s\sin t\\\pm c\cosh s\end{array}}\right),\quad s\in \mathbb {R} ,\ 0\leq t\leq 2\pi \ .

Bemerkung: Das zweischalige Hyperboloid ist projektiv zur Einheitskugel äquivalent.

Symmetrieeigenschaften der Hyperboloide

Wie Ellipsen und Hyperbel haben auch Hyperboloide Scheitel und Nebenscheitel und Symmetrien. Die Hyperboloide {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,\quad {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1\ sind offensichtlich

Doppelkegel

Doppelkegel

Den Doppelkegel x^{2}+y^{2}-z^{2}=0 kann man als Grenzfläche zwischen den Scharen von ein- bzw. zweischaligen Hyperboloiden x^{2}+y^{2}-z^{2}=c^{2} bzw. x^{2}+y^{2}-z^{2}=-c^{2} auffassen. Er entsteht durch Rotation der gemeinsamen Asymptoten der Erzeuger-Hyperbeln.

Gemeinsame Parameterdarstellung

Es gibt verschiedene Möglichkeiten Hyperboloide zu parametrisieren. Eine einfache Möglichkeit, das einschalige und zweischalige Hyperboloid und den Kegel zu parametrisieren, ist:

{\vec {x}}(s,t)=\left({\begin{array}{lll}a{\sqrt {s^{2}+d}}\cos t\\b{\sqrt {s^{2}+d}}\sin t\\cs\end{array}}\right)

Für d=1 ergibt sich ein einschaliges, für d=-1 ein zweischaliges Hyperboloid und für d=0 ein Doppelkegel.

Wasserturm in Frankreich in Form eines einschaligen Hyperboloids

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in: externer Link Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 02.12. 2020