Rotationsparaboloid

Eine rotierte Parabel ergibt einen Rotationsparaboloid

Ein Rotationsparaboloid ist in der Mathematik eine Rotationsfläche, die durch Rotation einer Parabel um ihre Symmetrieachse entsteht.

Beispiele aus dem täglichen Leben sind Reflektoren von Scheinwerfern oder Parabolspiegel der Astronomie.

Wenn man eine Flüssigkeit gleichmäßig um eine senkrechte Achse dreht, überlagern sich Schwerkraft und Fliehkraft, und die Flüssigkeitsoberfläche nimmt die Form eines Rotationsparaboloids an. So funktioniert das Quecksilber-Teleskop. Auf diese Weise kann man auch Parabolspiegel für Spiegelteleskope gießen, um danach nicht so viel Material abschleifen zu müssen, da die beim Guss erhaltene Oberfläche bereits ein Rotationsparaboloid darstellt.

Zur Verwendung von Rotationsparaboloiden als Spiegel siehe im Artikel über die Parabolspiegel.

Das Rotationsparaboloid ist ein Sonderfall des elliptischen Paraboloids.

Mathematische Darstellung

Die Formeln gelten für ein Rotationsparaboloid, das von einer zur z-Achse senkrechten Ebene in der Höhe abgeschnitten wird und dort den Radius hat.

Gleichung: $z={\frac {h}{r^{2}}}(x^{2}+y^{2})\ ,0\leq z\leq h\$
Brennpunkt (siehe Parabel): $\left(0,0,{\frac {r^{2}}{4h}}\right)$
Volumen: $V = \frac{\pi}{2} \cdot r^2 \cdot h$
Oberfläche (ohne Deckkreisfläche): $A_{O}={\frac {\pi r}{6h^{2}}}\cdot \left(\left(r^{2}+4h^{2}\right)^{\frac {3}{2}}-r^{3}\right)$
Höhe des Schwerpunkts: $h_S = \frac{2}{3}\cdot h$

Basierend auf einem Artikel in

Wikipedia.de