Zylinder (Geometrie)

Senkrechter Kreiszylinder: Höhe h, Radius r

Ein Zylinder (lat. cylindrus, altgriechisch κύλινδρος kýlindros, von κυλίνδειν kylíndein ‚rollen‘, ‚wälzen‘) ist im einfachsten Fall eine

Da solch eine Fläche unendlich ausgedehnt ist, beschneidet man sie normalerweise mit zwei parallelen Ebenen der Distanz h (s. Bild).

Da man sich einen geraden Kreiszylinder auch durch Rotation einer Strecke um die (parallele) Zylinderachse erzeugt denken kann, wird er auch Drehzylinder genannt. Die erzeugenden Strecken nennt man Mantellinien des Zylinders oder auch Erzeugende.

In der Technik versteht man unter einem Zylinder oft den Körper, der von der Mantelfläche und den beiden Schnittkreisflächen eingeschlossen wird.

In der Mathematik definiert man einen Zylinder allgemeiner (siehe Abschnitt allgemeiner Zylinder)

Kreiszylinder

In der Praxis spielt der senkrechte Kreiszylinder in verschiedenen Variationen eine wichtige Rolle. Deshalb werden hierfür konkrete Formeln angegeben.

Senkrechter Kreiszylinder

Gerader Kreiszylinder mit abgewickeltem Mantel

Es ergibt sich für

Ein gerader Kreiszylinder mit {\displaystyle h=2r} heißt gleichseitiger Zylinder. Diese Bezeichnung erklärt sich wie folgt: Schneidet man einen solchen Zylinder mit einer Ebene, die die Zylinderachse enthält, so erhält man ein Quadrat (mit der Seitenlänge 2r).

Ist der Querschnitt eine Ellipse mit den Halbachsen a,b, so ist

Hohlzylinder

Hohlzylinder

Besitzt ein gerader Kreiszylinder eine Bohrung entlang seiner Achse, so spricht man von einem Hohlzylinder. Für einen Hohlzylinder – etwa ein gerades Rohrstück – sind die bestimmenden Größen neben der Höhe h der Außenradius R und der Innenradius r. Die Wanddicke b ist somit R-r.

Ist die Höhe h eines Hohlzylinders kleiner als dessen Außenradius R, wird von einer Lochscheibe mit konzentrischer, kreisförmiger Öffnung gesprochen.

Zylinderabschnitt

schräg abgeschnittener gerader Kreis-Zylinder

Schneidet man einen geraden Kreiszylinder (Radius r) mit einer Ebene schräg ab, entsteht als Schnittkurve eine Ellipse. Hat der untere Zylinderabschnitt die minimale Höhe h_{1} und die maximale Höhe h_{2}, so hat die Schnittellipse

Der Zylinderabschnitt selbst hat

Bemerkung: Das Volumen und die Mantelfläche sind gleich dem des Zylinders mit der mittleren Höhe {\tfrac  {h_{1}+h_{2}}{2}}.

Volumenberechnung eines liegenden Kreiszylinders (Tank-Problem)

Teilweise gefüllter liegender Zylinder (Tank)

Die Berechnung des Inhalts V eines teilweise gefüllten liegenden Kreiszylinders kann anhand der Länge L, des Radius r sowie der Füllhöhe h vorgenommen werden. Nach der oben angegebenen Gleichung Volumen = Grundfläche · Höhe ergibt sich das Volumen der Füllung durch Multiplikation des Flächeninhalts des Kreissegments mit der Länge L des Zylinders:

V=r^{2}L\left(\arccos \left({\frac  {r-h}{r}}\right)-(r-h){\frac  {{\sqrt  {2rh-h^{2}}}}{r^{2}}}\right).

Allgemeiner Zylinder

Definition eines allgemeinen Zylinders und Beispiel schiefer Kreiszylinder
Beispiele von Zylindern: oben Kreiszylinder und elliptischer Zylinder, unten: Prismen

In der Mathematik definiert man einen Zylinder(-Mantel) allgemeiner:

Ist die Kurve ein Kreis, entsteht ein schiefer Kreiszylinder. Falls {\vec  a}\perp \varepsilon _{0} ist, ergibt sich ein senkrechter Kreiszylinder.

Ist c_{0} eine geschlossene Kurve, kann man die Mantelfläche mit den beiden Begrenzungsflächen wieder als Oberfläche eines Körpers auffassen. Ist die Kurve c_{0} nicht geschlossen, z.B. ein Parabelbogen (siehe unten), so ist der Zylinder nur die oben erklärte Mantelfläche, die allerdings Teil einer Oberfläche eines Körpers sein kann.

Die geometrische Besonderheit einer Zylinderfläche besteht in der folgenden Tatsache:

Insbesondere diese Eigenschaft macht die Zylinderfläche für die Herstellung von Blechverkleidungen interessant.

Eigenschaften eines allgemeinen Zylinders

Schiefer Zylinder: Bezeichnungen

Volumen, Mantelfläche und Oberfläche eines allgemeinen Zylinders berechnen sich wie folgt:

wobei G die Grundfläche (von c_{0} eingeschlossene Fläche) und h die Höhe ist (siehe Cavalierisches Prinzip).

Bei einem Prisma lässt sich die Grundfläche G entweder direkt (Rechteck) oder durch eine geeignete Zerlegung in Drei- und/oder Rechtecke berechnen (siehe Flächeninhalt). Ist c_{0} eine stückweise glatte Kurve, kann man durch geeignete Integrale direkt oder numerisch den Inhalt bestimmen.

wobei U der Umfang (Bogenlänge) des Querschnitts c_{\perp } (Schnittkurve \perp zu den Mantellinien) und l die Länge des Mantels ist (siehe Bild). Man beachte: c_{\perp } kann man als senkrechte Parallelprojektion der Leitkurve c_{0} auf irgendeine Querschnittsebene (senkrecht zu den Mantellinien) auffassen.

Bei einem senkrechten Zylinder ist l=h und U die Länge der Leitkurve c_{0}.

Bei einem schiefen Zylinder der Höhe h ist l={\tfrac  {h}{\cos \varphi }}\ , wobei \varphi der Winkel der Zylinderachse (Richtung von {\vec {a}}) und der Normalen der Ebene \varepsilon _{0} ist. Die Querschnittkurve c_{\perp } ist im Falle eines schiefen Kreis- oder elliptischen Zylinders eine Ellipse, bei einem Prisma ein Polygon. Der Umfang U ist bei einem Polygon einfach die Summe der Kantenlängen, bei einem Kreis 2\pi r. Bei einer stückweise glatten Leitkurve c_{0} kann man versuchen, die Länge der Querschnittkurve c_{\perp } mit Hilfe eines Kurvenintegrals zu berechnen. Aber selbst bei einer Ellipse, die kein Kreis ist, ist dies schon ein Problem (siehe elliptisches Integral), das man nur numerisch lösen kann.

Analytische Beschreibung

schiefer elliptischer Zylinder in allgemeiner Lage
senkrechter Kreiszylinder in allgemeiner Lage
parabolischer Zylinder
hyperbolischer Zylinder

Die Mantelfläche eines senkrechten Kreiszylinders mit Radius R und Höhe h, der auf der x-y-Ebene steht und die z-Achse als Achse besitzt, lässt sich durch eine Gleichung in x,y und eine Ungleichung für z beschreiben:

Will man den Vollzylinder beschreiben, muss man R durch r mit 0\leq r\leq R ersetzen.

Ersetzt man die Kreisgleichung durch die Gleichung einer Ellipse, erhält man die Beschreibung eines senkrechten elliptischen Zylinders:

Eine Parameterdarstellung eines senkrechten Kreis- bzw. elliptischen Zylinders erhält man, in dem man die übliche Parameterdarstellung eines Kreises bzw. einer Ellipse verwendet:

Die Gleichung eines im Raum beliebig gelagerten Zylinders ist schwierig anzugeben. Die Parameterdarstellung eines beliebigen elliptischen Zylinders dagegen relativ einfach:

Dabei ist {\vec  q}_{0} der Mittelpunkt der Bodenellipse und {\vec  f}_{1},{\vec  f}_{2},{\vec  f}_{3} sind drei linear unabhängige Vektoren. {\vec  f}_{3} zeigt in Richtung der Zylinderachse (siehe Bild).

Sind die drei Vektoren {\vec  f}_{1},{\vec  f}_{2},{\vec  f}_{3} paarweise orthogonal und ist |{\vec  f}_{1}|=|{\vec  f}_{2}|=R, so wird durch die Parameterdarstellung ein senkrechter Kreiszylinder mit Radius R und Höhe |{\vec  f}_{3}| beschrieben (siehe Bild).

Diese Art von Parameterdarstellung ist sehr flexibel. z.B. stellt

einen parabolischen Zylinder in allgemeiner Lage dar (siehe Bild, Parabel).

Ein senkrechter parabolischer Zylinder lässt sich analog zum senkrechten Kreiszylinder auch durch

beschreiben.

Die Parameterdarstellung

stellt einen hyperbolischen Zylinder in allgemeiner Lage dar (siehe Hyperbel).

Ein senkrechter hyperbolischer Zylinder lässt sich analog zum senkrechten elliptischen Zylinder durch

beschreiben.

Anwendungsbeispiele

Silo

zylinderförmige Getreidesilos

Getreidesilos haben oft die Form eines Zylinders.

Ein zylinderförmiges Getreidesilo mit dem Durchmesser 12 Meter und der Höhe 60 Meter wird zu 40 Prozent mit Weizen gefüllt. Es ist also {\displaystyle r=6\ \mathrm {m} } und {\displaystyle h=0{,}4\cdot 60\ \mathrm {m} =24\ \mathrm {m} }.

Daraus ergeben sich das Volumen und die Oberfläche:

Das Getreidesilo wird also mit etwa 2714 Kubikmetern Weizen gefüllt. Die Oberfläche beträgt etwa 1131 Quadratmeter.

Siehe auch

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 01.05. 2021