Elliptisches Integral

Ein elliptisches Integral ist ein Integral vom Typ

\int R \left(x,\sqrt{P(x)} \right) \mathrm dx,

wobei R eine rationale Funktion in zwei Variablen und P(x) ein Polynom dritten oder vierten Grades ohne mehrfache Nullstelle ist. Das Integral heißt elliptisch, weil Integrale dieser Form bei der Berechnung des Umfangs von Ellipsen und der Oberfläche von Ellipsoiden auftreten. Auch in der Physik gibt es weitreichende Anwendungen.

Elliptische Integrale lassen sich im Allgemeinen nicht durch elementare Funktionen darstellen, sie können aber durch Umformungen in eine Summe von elementaren Funktionen und Integralen der unten beschriebenen Form überführt werden. Diese Integrale heißen elliptische Integrale erster, zweiter und dritter Art.

I. Art: \int \frac {\mathrm dx}{\sqrt{(1 - x^2)(1 - k^2x^2)}}
II. Art: \int \sqrt {\frac {1 - k^2x^2}{1 - x^2}}\, \mathrm dx
III. Art: \int \frac {\mathrm dx}{(1 - nx^2) \sqrt {(1 - x^2)(1 - k^2x^2)}}

Dabei ist 0 < k < 1. Zum Teil wird in der Literatur auch der Parameter {\displaystyle m=k^{2}} statt k in den Funktionsaufruf eingesetzt und der Definitionsbereich auf {\displaystyle m<0} erweitert.

Vollständige elliptische Integrale

Graph der vollständigen elliptischen Integrale {\displaystyle K(m)} und {\displaystyle E(m)}

Definition der vollständigen elliptischen Integrale

Die Integrale mit unterer Integralgrenze 0 nennt man unvollständige elliptische Integrale. Ist zusätzlich die obere Integralgrenze \pi/2, spricht man im Falle der I. und II. Art von vollständigen elliptischen Integralen. Die vollständigen elliptischen Integrale I. und II. Art stehen im direkten Bezug zur Gauß’schen hypergeometrischen Funktion {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}.

{\displaystyle {\begin{aligned}K(k)&:=F({\tfrac {\pi }{2}},k)={\tfrac {\pi }{2}}\cdot {}_{2}F_{1}({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2})\\E(k)&:=E({\tfrac {\pi }{2}},k)={\tfrac {\pi }{2}}\cdot {}_{2}F_{1}(-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2})\\\Pi (n,k)&:=\Pi ({\tfrac {\pi }{2}},n,k)\end{aligned}}}

In der nachfolgenden Tabelle sind die vollständigen elliptischen Integrale in der Integraldarstellung mit den Parametern k und m dargestellt. Die Jacobi-Form lässt sich mit der Substitution {\displaystyle t=\sin \vartheta } in die Legendre-Normalform überführen. In den Funktions-Bibliotheken von Matlab, Wolfram-Alpha, Mathematica, Python (SciPy) und GNU Octave ist der Parameter {\displaystyle m=k^{2}} in Verwendung.

Definition der vollständigen elliptischen Integrale mit Parametern k und m
  Konvention mit Parameter k Konvention mit Parameter m
I. Art: Jacobi-Form {\displaystyle K(k):=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}} {\displaystyle K(m):=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-m\,t^{2})}}}}
I. Art: Legendre-Normalform {\displaystyle K(k):=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {{\text{d}}\vartheta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\vartheta }}}} {\displaystyle K(m):=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {{\text{d}}\vartheta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\vartheta }}}}
II. Art: Jacobi-Form {\displaystyle E(k):=\int _{0}^{1}{\sqrt {\frac {1-k^{2}t^{2}}{1-t^{2}}}}\,\mathrm {d} t} {\displaystyle E(m):=\int _{0}^{1}{\sqrt {\frac {1-m\,t^{2}}{1-t^{2}}}}\,\mathrm {d} t}
II. Art: Legendre-Normalform {\displaystyle E(k):=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\vartheta }}\;{\text{d}}\vartheta } {\displaystyle E(m):=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-m\sin ^{2}\vartheta }}\;{\text{d}}\vartheta }
III. Art: Jacobi-Form {\displaystyle \Pi (n,k):=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{(1-n\,t^{2}){\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}}} {\displaystyle \Pi (n,m):=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{(1-n\,t^{2}){\sqrt {(1-t^{2})(1-m\,t^{2})}}}}}
III. Art: Legendre-Normalform {\displaystyle \Pi (n,k):=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {{\text{d}}\vartheta }{(1-n\sin ^{2}\vartheta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\vartheta }}}}} {\displaystyle \Pi (n,m):=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {{\text{d}}\vartheta }{(1-n\sin ^{2}\vartheta ){\sqrt {1-m\sin ^{2}\vartheta }}}}}

Definition der komplementären elliptischen Integrale

Die komplementären vollständigen elliptischen Integrale K' und E' sind mit der komplementären Variable k' wie im Folgenden dargestellt definiert.

{\displaystyle {\begin{aligned}k'&:={\sqrt {1-k^{2}}}\\K'(k)&:=K(k')\\E'(k)&:=E(k')\end{aligned}}}

Darstellung per Potenzreihe

Die vollständigen elliptischen Integrale lassen sich als Potenzreihe darstellen. Die angegebenen Potenzreihen können zur numerischen Auswertung verwendet werden. Es ist jedoch darauf zu achten, dass die Konvergenz vom Argument k abhängig ist. Die Verwendung von Potenzreihen ist bezüglich der Rechenzeit nicht die effizienteste Methode zur numerischen Auswertung. Ist in einer physikalischen Anwendung klar, dass das Argument k in einem bezüglich der Genauigkeit geeignetem Bereich liegt, so bietet die Potenzreihen-Darstellung im Sinne der Linearisierung eine nützliche Methode zur Angabe von Näherungslösungen oder Faustformeln.

{\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{n}}}{\binom {2n}{n}}^{2}k^{2n}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}}\right]^{2}k^{2n}={\frac {\pi }{2}}{\biggl \{}1+\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {(2n-1)!}{2^{2n-1}n!(n-1)!}}{\biggr ]}^{2}k^{2n}{\biggr \}}}
{\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{n}(1-2n)}}{\binom {2n}{n}}^{2}k^{2n}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\biggl [}{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}}{\biggr ]}^{2}{\frac {k^{2n}}{1-2n}}={\frac {\pi }{2}}{\biggl \{}1-\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {(2n-1)!}{2^{2n-1}n!(n-1)!}}{\biggr ]}^{2}{\frac {k^{2n}}{2n-1}}{\biggr \}}}

Beweis für die Potenzreihen:

Es gelten diese beiden binomischen Maclaurin-Reihen für |kx| < 1:

{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{4^{n}}}{\binom {2n}{n}}k^{2n}x^{2n}}
{\displaystyle {\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{4^{n}(1-2n)}}{\binom {2n}{n}}k^{2n}x^{2n}}

Zusätzlich ist jenes Integral für alle Zahlen n ∈ ℕ₀ gültig:

{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{2n}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x={\frac {1}{4^{n}}}{\binom {2n}{n}}{\frac {\pi }{2}}}

Deswegen gilt für das vollständige elliptische Integral erster Art:

{\displaystyle K(k)=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}{\biggl [}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{4^{n}}}{\binom {2n}{n}}k^{2n}x^{2n}{\biggr ]}\mathrm {d} x=}
{\displaystyle =\int _{0}^{1}{\biggl [}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{4^{n}}}{\binom {2n}{n}}{\frac {k^{2n}x^{2n}}{\sqrt {1-x^{2}}}}{\biggr ]}\mathrm {d} x=\sum _{n=0}^{\infty }{\biggl [}\int _{0}^{1}{\frac {1}{4^{n}}}{\binom {2n}{n}}{\frac {k^{2n}x^{2n}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x{\biggr ]}=}
{\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {k^{2n}}{4^{n}}}{\binom {2n}{n}}{\biggl [}\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x{\biggr ]}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {k^{2n}}{4^{n}}}{\binom {2n}{n}}{\biggl [}{\frac {1}{4^{n}}}{\binom {2n}{n}}{\frac {\pi }{2}}{\biggr ]}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{n}}}{\binom {2n}{n}}^{2}k^{2n}}

Und für das vollständige elliptische Integral zweiter Art gilt:

{\displaystyle E(k)=\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}{\biggl [}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{4^{n}(1-2n)}}{\binom {2n}{n}}k^{2n}x^{2n}{\biggr ]}\mathrm {d} x=}
{\displaystyle =\int _{0}^{1}{\biggl [}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{4^{n}(1-2n)}}{\binom {2n}{n}}{\frac {k^{2n}x^{2n}}{\sqrt {1-x^{2}}}}{\biggr ]}\mathrm {d} x=\sum _{n=0}^{\infty }{\biggl [}\int _{0}^{1}{\frac {1}{4^{n}(1-2n)}}{\binom {2n}{n}}{\frac {k^{2n}x^{2n}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x{\biggr ]}=}
{\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {k^{2n}}{4^{n}(1-2n)}}{\binom {2n}{n}}{\biggl [}\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x{\biggr ]}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {k^{2n}}{4^{n}(1-2n)}}{\binom {2n}{n}}{\biggl [}{\frac {1}{4^{n}}}{\binom {2n}{n}}{\frac {\pi }{2}}{\biggr ]}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{n}(1-2n)}}{\binom {2n}{n}}^{2}k^{2n}}

Darstellung per unendlichem Produkt

In der folgenden Tabelle sind Produktdarstellungen des vollständigen elliptischen Integrals 1. Art und des komplementären elliptischen Integrals 1. Art angegeben. Oftmals wird auch die komplementäre Variable {\displaystyle k'={\sqrt {1-k^{2}}}} zur kompakteren Darstellung verwendet. Auffällig ist die Vertauschung von k_n und {\displaystyle k_{n}'={\sqrt {1-k_{n}^{2}}}} bezüglich der beiden Produktformeln beim Vergleich zum Komplementär.

Produktdarstellung des vollständigen elliptischen Integrals I. Art
  Vollständiges elliptisches Integral I. Art Komplementäres elliptisches Integral I. Art
Anfangswert {\displaystyle k_{0}:=k} {\displaystyle k_{0}:=k}
Rekursionsgleichung {\displaystyle k_{n+1}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}}} {\displaystyle k_{n+1}={\frac {2{\sqrt {k_{n}}}}{1+k_{n}}}}
Produktformeln {\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}}={\frac {\pi }{2}}\prod _{n=1}^{\infty }(1+k_{n})} {\displaystyle K'(k_{0})={\frac {\pi }{2}}\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{1+k_{n}}}={\frac {\pi }{2}}\prod _{n=1}^{\infty }(1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}})}

Darstellung per AGM-Algorithmus

Neben den Potenzreihen existiert eine Darstellung als Grenzwert des iterierten arithmetisch-geometrischen Mittelwertes (AGM-Algorithmus). Im Folgenden stellt a den arithmetischen Mittelwert, b den geometrischen Mittelwert und c eine Hilfsvariable dar. Die Anfangswerte {\displaystyle a_{0},b_{0},c_{0}} sind wie angegeben durch das Argument k definiert. Zu beachten ist, dass für k=1 das vollständige elliptische Integral I. Art ins Unendliche läuft. Deshalb kann {\displaystyle E(1)} nicht berechnet werden. Dies stellt jedoch kein Problem dar, da dieser Wert exakt zu {\displaystyle E(1)=1} bekannt ist. Bei einer Implementierung bedarf es also einer Fallunterscheidung. Die Parameter-Konvention {\displaystyle E(m),\;K(m)} lässt sich ebenfalls mit dem AGM-Algorithmus berechnen. Es bedarf ausschließlich der Substitution {\displaystyle m=k^{2}}. In der Praxis zeigt sich, dass bei Verwendung von double-precision ({\displaystyle \approx 16} dezimalen Nachkommastellen) eine Wahl von n=4 Rekursionsschritten die besten Ergebnisse liefert. Bei n>4 sinkt die Genauigkeit aufgrund von Rundungsfehlern. Diese geringe Anzahl an Rekursionsschritten zeigt die Effizienz des AGM-Algorithmus.

AGM-Algorithmus zur Berechnung elliptischer Integrale
Anfangswerte Rekursionsgleichungen Elliptische Integrale
{\displaystyle a_{0}:=1} {\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}} {\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}}}\equiv {\frac {\pi }{2\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}}}}
{\displaystyle b_{0}:={\sqrt {1-k^{2}}}} {\displaystyle b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}}} {\displaystyle E(k)=\left(1-\sum _{n=0}^{\infty }2^{n-1}c_{n}^{2}\right)\cdot K(k)}
{\displaystyle c_{0}:=k} {\displaystyle c_{n+1}={\frac {a_{n}-b_{n}}{2}}} {\displaystyle \Pi (n,k)={\frac {1}{2}}\cdot \left(2+{\frac {n}{1-n}}\sum _{n=0}^{\infty }Q_{n}\right)\cdot K(k)}
{\displaystyle p_{0}:={\sqrt {1-n}}} {\displaystyle p_{n+1}={\frac {p_{n}^{2}+a_{n}b_{n}}{2p_{n}}}}  
{\displaystyle Q_{0}:=1} {\displaystyle Q_{n+1}={\frac {Q_{n}}{2}}\cdot {\frac {p_{n}^{2}-a_{n}b_{n}}{p_{n}^{2}+a_{n}b_{n}}}}  

Durch Substitution gemäß {\displaystyle \alpha _{n}={\sqrt {a_{2n}}}\;,\;\beta _{n}={\sqrt {b_{2n}}}} findet sich weiterhin der sogenannte Quartic-AGM-Algorithmus, dessen Iterationsvorschrift in der nachfolgenden Tabelle dargestellt ist. Die Bezeichnung „Quartic“ bezieht sich auf die Konvergenz des Algorithmus. Die Konvergenzordnung des Algorithmus in der oberen Tabelle ist quadratisch.

Quartic-AGM-Algorithmus zur Berechnung elliptischer Integrale
Anfangswerte Rekursionsgleichungen Elliptische Integrale
{\displaystyle \alpha _{0}:=1} {\displaystyle \alpha _{n+1}={\frac {\alpha _{n}+\beta _{n}}{2}}} {\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\alpha _{n}^{2}}}}
{\displaystyle \beta _{0}:=\left(1-k^{2}\right)^{1/4}} {\displaystyle \beta _{n+1}=\left({\frac {\alpha _{n}^{3}\beta _{n}+\beta _{n}^{3}\alpha _{n}}{2}}\right)^{1/4}} {\displaystyle E(k)=\left(1-\sum _{n=0}^{\infty }4^{n}\left(\alpha _{n}^{4}-\left({\frac {\alpha _{n}^{2}+\beta _{n}^{2}}{2}}\right)^{2}\right)\right)\cdot K(k)}

Spezielle Eigenschaften und Identitäten

Hier sind K', E' und k' wieder die komplementären Größen.

Spezielle Funktions-Werte

{\displaystyle {\begin{aligned}K(0)&={\frac {\pi }{2}}&\lim _{k\rightarrow 0}K'(k)&=\infty \\\lim _{k\rightarrow 1}K(k)&=\infty &K'(1)&={\frac {\pi }{2}}\\E(0)&={\frac {\pi }{2}}&E'(0)&=1\\E(1)&=1&E'(1)&={\frac {\pi }{2}}\\K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)&={\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}=K'\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)&E\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\left(\varpi +{\frac {\pi }{\varpi }}\right)=E'\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)\\\Pi (0,0)&={\frac {\pi }{2}}\\\lim _{k\rightarrow 1}\Pi (0,k)&=\infty \end{aligned}}}

Dabei bezeichnet \varpi die Lemniskatische Konstante.

Spezielle Identitäten

{\displaystyle {\begin{aligned}F({\tfrac {n\pi }{2}},m)&\equiv nK(m)\;,&n\in \mathbb {N} \\E({\tfrac {n\pi }{2}},m)&\equiv nE(m)\;,&n\in \mathbb {N} \\\Pi \left(m,{\frac {n\pi }{2}},m\right)&\equiv {\frac {nE(m)}{m-1}}\;,&n\in \mathbb {N} \end{aligned}}}
 
{\displaystyle {\begin{aligned}\Pi (0,m)&\equiv K(m)\\\Pi (n,0)&\equiv {\frac {\pi /2}{\sqrt {1-n}}}\\\Pi (m,m)&\equiv {\frac {E(m)}{1-m}}\end{aligned}}}
 
{\displaystyle {\begin{aligned}K(k)&\equiv {\frac {1}{1+k}}\;K\left({\frac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)&K'(k)&\equiv {\frac {2}{1+k}}\;K'\left({\frac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)\\K(k)&\equiv {\frac {2}{1+k'}}\;K\left({\frac {1-k'}{1+k'}}\right)&K'(k)&\equiv {\frac {1}{1+k'}}\;K'\left({\frac {1-k'}{1+k'}}\right)\\E(k)&\equiv {\frac {1+k}{2}}\;E\left({\frac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)+{\frac {k'^{2}}{2}}\;K\left(k\right)&E'(k)&\equiv (1+k)\;E'\left({\frac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)-k\;K'\left(k\right)\\E(k)&\equiv (1+k')\;E\left({\frac {1-k'}{1+k'}}\right)-k'\;K(k)&E'(k)&\equiv {\frac {1+k'}{2}}\;E'\left({\frac {1-k'}{1+k'}}\right)+{\frac {k^{2}}{2}}\;K'(k)\end{aligned}}}
{\displaystyle K(k)\equiv {\frac {3\operatorname {sn} [K(k)/3;k]}{2-\operatorname {sn} [K(k)/3;k]}}\;K{\bigl \{}k^{3}\operatorname {sn} [K(k)/3;k]^{4}{\bigr \}}}

Hierbei löst der Jacobische Sinus-Amplitudinis-Ausdruck {\displaystyle \operatorname {sn} [K(k)/3;k]} für x die Gleichung {\displaystyle k^{2}x^{4}-2k^{2}x^{3}+2x-1=0} auf.

Insgesamt gilt für alle Werte n ∈ ℕ und 0 ≤ k ≤ 1 folgende Formel:

{\displaystyle K(k)\equiv n{\biggl \{}\sum _{a=1}^{n}\operatorname {dn} {\bigl [}{\frac {2a}{n}}K(k);k{\bigr ]}{\biggr \}}^{-1}K{\biggl \{}k^{n}\prod _{a=1}^{n}\operatorname {sn} {\bigl [}{\frac {2a-1}{n}}K(k);k{\bigr ]}^{2}{\biggr \}}}

Hierbei ist sn der Sinus Amplitudinis und dn das Delta amplitudinis.

Ableitungen

Die vollständigen elliptischen Integrale erster und zweiter Art werden so abgeleitet:

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {{\text{d}}K(k)}{{\text{d}}k}}&={\frac {E(k)-(1-k^{2})\cdot K(k)}{k\cdot (1-k^{2})}}\\{\frac {{\text{d}}E(k)}{{\text{d}}k}}&={\frac {E(k)-K(k)}{k}}\end{aligned}}}

Beweis für die Ableitung des elliptischen Integrals erster Art:

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}K(k)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}{\frac {1}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {kx^{2}}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})^{3}}}}\mathrm {d} x=}
{\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}{k(1-k^{2}){\sqrt {(1-x^{2})}}}}\mathrm {d} x-\int _{0}^{1}{\frac {1}{k{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}}\mathrm {d} x-\int _{0}^{1}{\frac {k(1-2x^{2}+k^{2}x^{4})}{(1-k^{2}){\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})^{3}}}}}\mathrm {d} x=}
{\displaystyle ={\frac {1}{k(1-k^{2})}}E(k)-{\frac {1}{k}}K(k)-\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {kx{\sqrt {1-x^{2}}}}{(1-k^{2}){\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\mathrm {d} x={\frac {E(k)-(1-k^{2})K(k)}{k(1-k^{2})}}}

Beweis für die Ableitung des elliptischen Integrals zweiter Art:

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}E(k)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}{\frac {\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {-kx^{2}}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}\mathrm {d} x=}
{\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}{k{\sqrt {(1-x^{2})}}}}\mathrm {d} x-\int _{0}^{1}{\frac {1}{k{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}}\mathrm {d} x={\frac {E(k)-K(k)}{k}}}

Stammfunktionen

Ursprungsstammfunktion für das vollständige elliptische Integral erster Art:

{\displaystyle \int _{0}^{x}K(y)\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}{\frac {\arcsin(xz)}{z{\sqrt {1-z^{2}}}}}\mathrm {d} z}

Beispiel:

{\displaystyle \int _{0}^{1}K(y)\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}{\frac {\arcsin(z)}{z{\sqrt {1-z^{2}}}}}\mathrm {d} z=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}2\operatorname {Ti} _{2}{\bigl (}{\frac {z}{1+{\sqrt {1-z^{2}}}}}{\bigr )}\mathrm {d} z=2\operatorname {Ti} _{2}(1)=2G}

Ursprungsstammfunktion für das vollständige elliptische Integral zweiter Art:

{\displaystyle \int _{0}^{x}E(y)\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}{\biggl [}{\frac {\arcsin(xz)}{2z{\sqrt {1-z^{2}}}}}+{\frac {x{\sqrt {1-x^{2}z^{2}}}}{2{\sqrt {1-z^{2}}}}}{\biggr ]}\mathrm {d} z}

Beispiel:

{\displaystyle \int _{0}^{1}E(y)\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}{\biggl [}{\frac {\arcsin(z)}{2z{\sqrt {1-z^{2}}}}}+{\frac {1}{2}}{\biggr ]}\mathrm {d} z=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}{\biggl [}\operatorname {Ti} _{2}{\bigl (}{\frac {z}{1+{\sqrt {1-z^{2}}}}}{\bigr )}+{\frac {1}{2}}z{\biggr ]}\mathrm {d} z=\operatorname {Ti} _{2}(1)+{\frac {1}{2}}=G+{\frac {1}{2}}}

Dabei ist G die Catalansche Konstante und mit Ti₂(x) wird das Arkustangensintegral zum Ausdruck gebracht.

Umkehrfunktionen

Umkehrfunktionen oder algebraische Funktionen von Umkehrfunktionen der elliptischen Integrale heißen elliptische Funktionen. Sie sind mit den trigonometrischen Funktionen verwandt.

Unvollständige elliptische Integrale

Definition der unvollständigen elliptischen Integrale

Graph der elliptischen Integrale erster Art {\displaystyle F(\varphi ,m)} in Legendre-Form für verschiedene Parameter m
Graph der elliptischen Integrale zweiter Art {\displaystyle E(\varphi ,m)} in Legendre-Form für verschiedene Parameter m

In der nachfolgenden Tabelle sind die Definitionen der unvollständigen elliptischen Integrale in Jacobi-Form und in Legendre-Normalform angegeben. Die Jacobi-Form lässt sich mit der Substitution {\displaystyle t=\sin \vartheta } in die Legendre-Normalform überführen. Die unvollständigen elliptischen Integrale besitzen im Vergleich zu den vollständigen elliptischen Integralen einen zusätzlichen Freiheitsgrad, welcher der oberen Integrationsgrenze entspricht. Somit stellen die vollständigen elliptischen Integrale einen Spezialfall der Unvollständigen dar. In den Funktions-Bibliotheken von Matlab, Wolfram-Alpha, Mathematica, Python (SciPy) und GNU Octave ist der Parameter {\displaystyle m=k^{2}} und die Legendre-Normalform in Verwendung.

Definition der unvollständigen elliptischen Integrale mit Parametern k und m
  Konvention mit Parameter k Konvention mit Parameter m
I. Art: Jacobi-Form {\displaystyle F(x,k):=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}} {\displaystyle F(x,m):=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-m\,t^{2})}}}}
I. Art: Legendre-Normalform {\displaystyle F(\varphi ,k):=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \vartheta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\vartheta }}}} {\displaystyle F(\varphi ,m):=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \vartheta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\vartheta }}}}
II. Art: Jacobi-Form {\displaystyle E(x,k):=\int _{0}^{x}{\sqrt {\frac {1-k^{2}t^{2}}{1-t^{2}}}}\,\mathrm {d} t} {\displaystyle E(x,m):=\int _{0}^{x}{\sqrt {\frac {1-m\,t^{2}}{1-t^{2}}}}\,\mathrm {d} t}
II. Art: Legendre-Normalform {\displaystyle E(\varphi ,k):=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\vartheta }}\,\mathrm {d} \vartheta } {\displaystyle E(\varphi ,m):=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\vartheta }}\,\mathrm {d} \vartheta }
III. Art: Jacobi-Form {\displaystyle \Pi (n,x,k):=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{(1-n\,t^{2}){\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}}} {\displaystyle \Pi (n,x,m):=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{(1-n\,t^{2}){\sqrt {(1-t^{2})(1-m\,t^{2})}}}}}
III. Art: Legendre-Normalform {\displaystyle \Pi (n,\varphi ,k):=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \vartheta }{(1-n\sin ^{2}\vartheta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\vartheta }}}}} {\displaystyle \Pi (n,\varphi ,m):=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \vartheta }{(1-n\sin ^{2}\vartheta ){\sqrt {1-m\sin ^{2}\vartheta }}}}}

Additionstheoreme

Mit folgenden Theoremen können die unvollständigen elliptischen Integrale additiv verknüpft werden. Die Legendre-Normalform wird zur Darstellung verwendet.

Elliptische Integrale erster Art:

{\displaystyle F[\arctan(x),k]+F[\arctan(y),k]=F\left[\arctan \left({\frac {x{\sqrt {k'^{2}y^{2}+1}}}{\sqrt {y^{2}+1}}}\right)+\arctan \left({\frac {y{\sqrt {k'^{2}x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right),k\right]}

Elliptische Integrale zweiter Art:

{\displaystyle E[\arctan(x),k]+E[\arctan(y),k]=E\left[\arctan \left({\frac {x{\sqrt {k'^{2}y^{2}+1}}}{\sqrt {y^{2}+1}}}\right)+\arctan \left({\frac {y{\sqrt {k'^{2}x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right),k\right]+{\frac {k^{2}xy}{k'^{2}x^{2}y^{2}+x^{2}+y^{2}+1}}\left({\frac {x{\sqrt {k'^{2}y^{2}+1}}}{\sqrt {y^{2}+1}}}+{\frac {y{\sqrt {k'^{2}x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right)}

Mit folgendem Theorem können arithmetische Mittlungen durchgeführt werden:

{\displaystyle F[\arcsin(x),k]+F[\arcsin(y),k]=2F\left[\arcsin \left({\frac {{\sqrt {1+x}}{\sqrt {1+y}}-{\sqrt {1-x}}{\sqrt {1-y}}}{{\sqrt {1+kx}}{\sqrt {1+ky}}+{\sqrt {1-kx}}{\sqrt {1-ky}}}}\right),k\right]}

Modultransformation

Mit folgenden Formeln wird der Modul transformiert:

{\displaystyle F[\arcsin(x),k]={\frac {2}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}F\left[\arcsin \left[{\frac {(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x}{1+{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\right],{\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right]}
{\displaystyle E[\arcsin(x),k]=(1+{\sqrt {1-k^{2}}})E\left[\arcsin \left[{\frac {(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x}{1+{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\right],{\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right]-{\sqrt {1-k^{2}}}F[\arcsin(x),k]+{\frac {k^{2}x{\sqrt {1-x^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}}

Für alle Werte n ∈ ℕ und 0 ≤ k ≤ 1 gilt folgende Formel:

{\displaystyle \left[\sum _{a=1}^{n}\operatorname {dn} [{\frac {2a}{n}}K(k);k]\right]F[\arctan(x),k]=F\left[\sum _{a=1}^{n}\arctan \left[\operatorname {dn} [{\frac {2a}{n}}K(k);k]x\right],k^{n}\prod _{a=1}^{n}\operatorname {sn} [{\frac {2a-1}{n}}K(k);k]^{2}\right]}

Unvollständige elliptische Integrale als Stammfunktionen für algebraische Wurzelfunktionen

Mit dieser Formel lassen sich die Kehrwerte der Quadratwurzeln von Polynomen vierten Grades integrieren:

{\displaystyle {\frac {\sqrt {2af+2cd-be+{\sqrt {(4ac-b^{2})(4df-e^{2})}}}}{2{\sqrt {2}}}}\,{\frac {1}{\sqrt {(ax^{2}+bx+c)(dx^{2}+ex+f)}}}=}
{\displaystyle ={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,F\left[\arcsin \left({\frac {{\sqrt {4df-e^{2}}}\cdot (2ax+b)+{\sqrt {4ac-b^{2}}}\cdot (2dx+e)}{{\sqrt {4a\,(4df-e^{2})(ax^{2}+bx+c)}}+{\sqrt {4d\,(4ac-b^{2})(dx^{2}+ex+f)}}}}\right),\;{\sqrt {\frac {2af+2cd-be-{\sqrt {(4ac-b^{2})(4df-e^{2})}}}{2af+2cd-be+{\sqrt {(4ac-b^{2})(4df-e^{2})}}}}}\right]}

Hierbei müssen die Werte a, d, {\displaystyle 4ac-b^{2}} und {\displaystyle 4df-e^{2}} alle vier positiv sein.

Beispiel:

{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {(x^{2}+2x+3)(4x^{2}+5x+6)}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {2}{3{\sqrt {3}}}}{\sqrt {13-{\sqrt {142}}}}\,F\left[\arcsin \left({\frac {{\sqrt {2}}(8x+5)+{\sqrt {71}}(x+1)}{4{\sqrt {2}}{\sqrt {4x^{2}+5x+6}}+{\sqrt {71}}{\sqrt {x^{2}+2x+3}}}}\right),{\frac {13-{\sqrt {142}}}{3{\sqrt {3}}}}\right]}
{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {(x^{2}+2x+3)(4x^{2}+5x+6)}}}\mathrm {d} x=}
{\displaystyle ={\frac {2}{3{\sqrt {3}}}}{\sqrt {13-{\sqrt {142}}}}\,F\left[\arcsin \left({\frac {13+{\sqrt {142}}}{4{\sqrt {15}}+{\sqrt {213}}}}\right),{\frac {13-{\sqrt {142}}}{3{\sqrt {3}}}}\right]-{\frac {2}{3{\sqrt {3}}}}{\sqrt {13-{\sqrt {142}}}}\,F\left[\arcsin \left({\frac {5{\sqrt {2}}+{\sqrt {71}}}{8{\sqrt {3}}+{\sqrt {213}}}}\right),{\frac {13-{\sqrt {142}}}{3{\sqrt {3}}}}\right]=}
{\displaystyle ={\frac {2}{3{\sqrt {3}}}}{\sqrt {13-{\sqrt {142}}}}\,F\left[\arcsin \left({\frac {{\sqrt {5}}-2}{3}}{\sqrt {13+{\sqrt {142}}}}\right),{\frac {13-{\sqrt {142}}}{3{\sqrt {3}}}}\right]}

Im Gegensatz dazu sind uneigentliche Integrale von Minus Unendlich bis Plus Unendlich von den Kehrwerten der Quadratwurzeln aus nullstellenfreien quartischen Polynomen immer als vollständige elliptische Integrale erster Art darstellbar. Beispielsweise gilt:

{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {x^{4}+x^{3}+1}}}\mathrm {d} x=2{\sqrt {\sec[{\tfrac {1}{3}}\arcsin({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}})]}}K{\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+2{\sqrt {3}}\tan[{\tfrac {1}{3}}\arcsin({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}})]}}{\bigr \}}}

Alternative Darstellungen

Symmetrische Carlson-Formen

Die symmetrischen Carlson-Formen sind eine alternative Menge an Funktionen, durch die die klassischen elliptischen Integrale ausgedrückt werden können. Die moderneren Carlson-Formen wurden erst in den 1960er Jahren erfunden, während die Legendre-Formen bereits 1825 formuliert worden waren. Die Carlson-Formen bieten einige Vorteile gegenüber den klassischen elliptischen Integralen.

Unvollständige elliptische Integrale

Unvollständige elliptische Integrale können mit Hilfe der symmetrischen Carlson-Formen R_{F}, R_{D} und {\displaystyle R_{J}} ausgerückt werden:

{\displaystyle F(\varphi ,m)=\sin \varphi \;R_{F}({\cos ^{2}}\varphi ,1-{m\sin ^{2}}\varphi ,1)}
{\displaystyle E(\varphi ,m)=\sin \varphi \;R_{F}({\cos ^{2}}\varphi ,1-{m\sin ^{2}}\varphi ,1)-{\tfrac {1}{3}}{m\sin ^{3}}\varphi \;R_{D}({\cos ^{2}}\varphi ,1-{m\sin ^{2}}\varphi ,1)}
{\displaystyle \Pi (n,\varphi ,m)=\sin \varphi \;R_{F}({\cos ^{2}}\varphi ,1-{m\sin ^{2}}\varphi ,1)+{\tfrac {1}{3}}{n\sin ^{3}}\phi \;R_{J}({\cos ^{2}}\varphi ,1-{m\sin ^{2}}\varphi ,1,1-{n\sin ^{2}}\varphi )}

(für {\displaystyle 0\leq \varphi \leq 2\pi } und {\displaystyle 0\leq {m\sin ^{2}}\varphi \leq 1})

Vollständige elliptische Integrale

Vollständige elliptischen Integrale erhält man durch Einsetzen von φ = π/2:

{\displaystyle K(m)=R_{F}\left(0,1-m,1\right)}
{\displaystyle E(m)=R_{F}\left(0,1-m,1\right)-{\tfrac {1}{3}}mR_{D}\left(0,1-m,1\right)}
{\displaystyle \Pi (n,m)=R_{F}\left(0,1-m,1\right)+{\tfrac {1}{3}}nR_{J}\left(0,1-m,1,1-n\right)}

Bulirsch-Integrale

Eine alternative Darstellung der unvollständigen elliptischen Integrale sind die Bulirsch-Integrale

{\displaystyle \operatorname {el1} (x,k_{c})=\int _{0}^{\arctan x}{\frac {1}{\sqrt {{\cos ^{2}}\theta +k_{c}^{2}\,{\sin ^{2}}\theta }}}\,\mathrm {d} \theta }
{\displaystyle \operatorname {el2} (x,k_{c},a,b)=\int _{0}^{\arctan x}{\frac {a+b\,{\tan ^{2}}\theta }{\sqrt {(1+{\tan ^{2}}\theta )(1+k_{c}^{2}\,{\tan ^{2}}\theta )}}}\,\mathrm {d} \theta }
{\displaystyle \operatorname {el3} (x,k_{c},p)=\int _{0}^{\arctan x}{\frac {1}{({\cos ^{2}}\theta +p\,{\sin ^{2}}\theta ){\sqrt {{\cos ^{2}}\theta +k_{c}^{2}\,{\sin ^{2}}\theta }}}}\,\mathrm {d} \theta } .

Diese sind äquivalent zu den Legendre-Normalformen:

{\displaystyle F(\varphi ,m)=\operatorname {el1} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}})}
{\displaystyle E(\varphi ,m)=\operatorname {el2} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}},1,1-m)}
{\displaystyle \Pi (n,\varphi ,m)=\operatorname {el3} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}},1-n)}

Eine verallgemeinerte Version der vollständigen elliptischen Integrale ist das Bulirsch-Integral

{\displaystyle \operatorname {cel} (k_{c},p,a,b)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {a\cos ^{2}\theta +b\sin ^{2}\theta }{(\cos ^{2}\theta +p\sin ^{2}\theta ){\sqrt {\cos ^{2}\theta +k_{c}^{2}\sin ^{2}\theta }}}}\,\mathrm {d} \theta }

Es gilt

{\displaystyle {\begin{aligned}K(m)&=\operatorname {cel} ({\sqrt {1-m}},1,1,1)\\E(m)&=\operatorname {cel} ({\sqrt {1-m}},1,1,1-m)\\\Pi (n,m)&=\operatorname {cel} ({\sqrt {1-m}},1-n,1,1)\end{aligned}}}

Die Funktion cel hat den Vorteil, dass bestimmte in der Praxis vorkommende Kombinationen der normalen elliptischen Integrale als gemeinsame Funktion dargestellt werden können, und damit numerische Instabilitäten und undefinierte Wertebereiche vermieden werden können.

{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda \,K(m)+\mu \,E(m)&=\operatorname {cel} ({\sqrt {1-m}},1,\lambda +\mu ,\lambda +\mu (1-m))\\\lambda \,K(m)+\mu \,\Pi (n,m)&=\operatorname {cel} ({\sqrt {1-m}},1-n,\lambda +\mu ,\lambda (1-n)+\mu )\end{aligned}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {K(m)-E(m)}{m}}&=\operatorname {cel} ({\sqrt {1-m}},1,0,1)\\{\frac {(m-1)K(m)+E(m)}{m}}&=\operatorname {cel} ({\sqrt {1-m}},1,1,0)\\{\frac {\Pi (n,m)-K(m)}{n}}&=\operatorname {cel} ({\sqrt {1-m}},1-n,0,1)\end{aligned}}}

Numerische Auswertung

Die elliptischen Integrale können mit Hilfe des oben genannten arithmetisch-geometrischen Mittelwertes (AGM) effizient berechnet werden. Sie können auch zur Auswertung in die symmetrische Carlson-Form überführt werden. Zur numerischen Auswertung der Carlson-Formen existieren zum AGM ähnliche Algorithmen. Eine Annäherung mit Hilfe von gebrochenrationalen Funktionen höherer Ordnung ist auch möglich. Eine direkte numerische Quadratur z.B. mit dem tanh-sinh-Verfahren ist ebenfalls möglich.

Bezug zur Gammafunktion

Für alle n ∈ ℕ gilt folgender Zusammenhang zwischen der Gammafunktion und den elliptischen Integralen:

{\displaystyle {\frac {2^{2/n}\Gamma (1+1/n)^{2}}{\Gamma (1+2/n)}}=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{n}}}}\mathrm {d} x}

Bei der Berechnung des abgebildeten Integrals für die Werte n = 3, 4, 6 und 8 erhält man folgende Resultate:

{\displaystyle {\frac {{\sqrt[{3}]{4}}\,\Gamma (4/3)^{2}}{\Gamma (5/3)}}=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{3}}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {1}{\sqrt[{4}]{3}}}F[2\arctan({\frac {{\sqrt[{4}]{3}}x}{{\sqrt {1+x+x^{2}}}+{\sqrt {1-x}}}}),{\frac {{\sqrt {3}}+1}{2{\sqrt {2}}}}]\mathrm {d} x=}
{\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt[{4}]{3}}}F[2\arctan({\frac {1}{\sqrt[{4}]{3}}}),{\frac {{\sqrt {3}}+1}{2{\sqrt {2}}}}]={\frac {2}{3{\sqrt[{4}]{3}}}}K({\frac {{\sqrt {3}}+1}{2{\sqrt {2}}}})={\frac {2}{\sqrt[{4}]{27}}}K({\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}})}
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}\,\Gamma (5/4)^{2}}{\Gamma (3/2)}}=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {1}{\sqrt {2}}}F[\arcsin({\frac {{\sqrt {2}}x}{\sqrt {1+x^{2}}}}),{\frac {1}{\sqrt {2}}}]\mathrm {d} x={\frac {1}{\sqrt {2}}}K({\frac {1}{\sqrt {2}}})}
{\displaystyle {\frac {{\sqrt[{3}]{2}}\,\Gamma (7/6)^{2}}{\Gamma (4/3)}}=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{6}}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {1}{2{\sqrt[{4}]{3}}}}F[2\arctan({\frac {{\sqrt[{4}]{3}}x}{\sqrt {1-x^{2}}}}),{\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}]\mathrm {d} x={\frac {1}{\sqrt[{4}]{3}}}K({\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}})}
{\displaystyle {\frac {{\sqrt[{4}]{2}}\,\Gamma (9/8)^{2}}{\Gamma (5/4)}}=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{8}}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {1}{2}}F[\arctan({\frac {x{\sqrt {1+x^{2}}}}{\sqrt {1-x^{2}}}}),{\sqrt {2{\sqrt {2}}-2}}]+{\frac {1}{2}}F[\arcsin({\frac {x{\sqrt {1-x^{2}}}}{\sqrt {1+x^{2}}}}),{\sqrt {2}}-1]\mathrm {d} x=}
{\displaystyle ={\frac {1}{2}}K({\sqrt {2{\sqrt {2}}-2}})={\frac {1}{\sqrt {2}}}K({\sqrt {2}}-1)}

Mit der Berechnung dieser Integrale und der Anwendung der Eulerschen Formel des Ergänzungssatzes lassen sich die Gamma-Funktionswerte ermitteln.

Anwendungsbeispiele

Umfang einer Ellipse

Eine klassische Anwendung ist die Berechnung des Umfangs einer Ellipse. Im Folgenden ist eine Ellipsen-Parameterform {\displaystyle {\boldsymbol {x}}(\psi )} mit den Halbachsen a, b angegeben. Das Ergebnis stellt sich mit dem vollständigen elliptischen Integral II. Art dar. Hierbei ist die Parameter-Konvention {\displaystyle m=k^{2}} verwendet.

{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {x}}(\psi )&={\begin{pmatrix}a\cos \psi \\b\sin \psi \end{pmatrix}}\\U&=\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {x}}}{{\text{d}}\psi }}\right\|\,{\text{d}}\psi =\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}\psi +b^{2}\cos ^{2}\psi }}\;{\text{d}}\psi =4b\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-{\frac {b^{2}-a^{2}}{b^{2}}}\sin ^{2}\psi }}\;{\text{d}}\psi =4b\cdot E\left({\sqrt {1-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}}}\,\right)=4a\cdot E\left({\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}\,\right)\end{aligned}}}

Die Äquivalenz der letzten beiden Ausdrücke ist ersichtlich, wenn vorher a statt b ausgeklammert wird. Im letzten Ausdruck ist m>0 für a>b. Die zugehörige Anwendung des unvollständigen elliptischen Integrals II. Art ergibt sich, indem die obere Integrationsgrenze als Variable \psi wie im Folgenden angesetzt wird. Damit ergibt sich die Bogenlänge s der Ellipse in Abhängigkeit vom Parameter \psi .

{\displaystyle s(\psi )=\int _{0}^{\psi }{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}\xi +b^{2}\cos ^{2}\xi }}\;{\text{d}}\xi =b\cdot E\left(\psi ,\;{\sqrt {1-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}}}\,\right)}

Umfang und Flächeninhalt einer Cassinischen Kurve

Die Cassinischen Kurven gehorchen für den Fall a < c folgender Relation für kartesische Koordinaten:

{\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2a^{2}(x^{2}-y^{2})=c^{4}-a^{4}}

Dabei ist a die Brennweite und c ist der Abstand zwischen Brennpunkt und Schnittstelle von Graph und Ordinatenachse.

Für den Umfang der Cassinischen Kurve gilt:

{\displaystyle U=4cK{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\frac {1}{2}}\arcsin {\bigl (}{\frac {a^{2}}{c^{2}}}{\bigr )}{\bigr ]}{\bigr \}}}

Für den Flächeninhalt der Cassinischen Kurve gilt:

{\displaystyle A=2c^{2}E{\bigl (}{\frac {a^{2}}{c^{2}}}{\bigr )}}

Mathematisches Pendel

Eine klassische Anwendung der elliptischen Integrale ist die exakte Bewegung eines Pendels, bei welcher die Schwingungsdauer bei gegebenem Maximalauslenkungswinkel und gegebener Fadenlänge auf folgende Weise berechnet werden kann:

{\displaystyle T(\varphi _{\max })=4{\sqrt {\frac {l}{g}}}\,K[\sin({\tfrac {1}{2}}\varphi _{\max })]=4{\sqrt {\frac {l}{g}}}\sec({\tfrac {1}{4}}\varphi _{\max })^{2}\,K[\tan({\tfrac {1}{4}}\varphi _{\max })^{2}]}

Dabei ist g ≈ 9,81 m/s² die Fallbeschleunigung der Erde.

Elektrisches Skalarpotential einer homogenen, kontinuierlichen, ringförmigen Ladungsverteilung

Eine klassische Problemstellung aus der Elektrostatik ist die Berechnung des elektrischen Skalarpotentials {\displaystyle \varphi _{e}} bei gegebener räumlicher Ladungsverteilung. Bei einer homogenen, kontinuierlichen, ringförmigen Ladungsverteilung lässt sich das elektrische Skalarpotential mit Hilfe des vollständigen elliptischen Integrals 1. Art beschreiben. Das Ergebnis ist hier mit der Parameter-Konvention {\displaystyle K(m)} mit {\displaystyle m=k^{2}} angegeben. In der angegebenen Lösung repräsentiert Q die elektrische Gesamtladung, R den Radius des Ringes und \varepsilon _{0} die Vakuum-Permittivität. Weiterhin ist das Skalarpotential mit den Zylinderkoordinaten {\displaystyle (\rho ,\varphi ,z)} angegeben. Da keine Abhängigkeit bezüglich der Azimut-Koordinate \varphi besteht, ist ersichtlich, dass es sich um eine zylindersymmetrische Problemstellung handelt.

{\displaystyle \varphi _{e}(\rho ,z)={\frac {Q}{4\pi ^{2}\varepsilon _{0}}}\int _{0}^{\pi }{\frac {{\text{d}}\psi }{\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}+R^{2}-2R\rho \cos \psi }}}={\frac {Q}{2\pi ^{2}\varepsilon _{0}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {(\rho +R)^{2}+z^{2}}}}\cdot K\left({\frac {4R\rho }{(\rho +R)^{2}+z^{2}}}\right)}

Elektrisches Skalarpotential einer homogenen, kontinuierlichen, ringförmigen Dipolverteilung

Neben der einfachen Ladungsverteilung besteht ebenfalls die Möglichkeit, eine ringförmige Verteilung axial ausgerichteter Dipole zu betrachten. Die Lösung des elektrischen Skalarpotentials ist im Folgenden angegeben. Dabei repräsentiert p_{z} die z-Komponente des elektrischen Dipolmoments, R den Radius des Ringes und \varepsilon _{0} die Vakuum-Permittivität. Das Ergebnis ist hier mit der Parameter-Konvention {\displaystyle E(m)} mit {\displaystyle m=k^{2}} angegeben.

{\displaystyle \varphi _{e}(\rho ,z)={\frac {p_{z}\cdot z}{4\pi ^{2}\varepsilon _{0}}}\int _{0}^{\pi }{\frac {{\text{d}}\psi }{{\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}+R^{2}-2R\rho \cos \psi }}^{3}}}={\frac {p_{z}}{2\pi ^{2}\varepsilon _{0}}}\cdot {\frac {z}{((\rho -R)^{2}+z^{2})\cdot {\sqrt {(\rho +R)^{2}+z^{2}}}}}\cdot E\left({\frac {4R\rho }{(\rho +R)^{2}+z^{2}}}\right)}

Magnetisches Vektorpotential eines ringförmigen stromdurchflossenen Leiters

Ein Beispiel aus der Magnetostatik stationärer Ströme stellt die Berechnung des Magnetfeldes eines stromdurchflossenen Ringleiters dar. Es bietet sich die Berechnung des magnetischen Vektorpotentials \boldsymbol{A} an, aus dem sich in weiterer Betrachtung mit Hilfe der Rotation die magnetische Flussdichte bestimmen lässt. Hier repräsentiert I die elektrische Stromstärke, R den Radius des Ringleiters und \mu _{0} die Vakuum-Permeabilität. Weiterhin ist das magnetische Vektorpotential mit den Zylinderkoordinaten {\displaystyle (\rho ,\varphi ,z)} und mit dem Einheits-Basisvektor {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{\varphi }} in azimutaler Richtung angegeben. Die Lösung stellt sich durch eine Kombination von vollständigem elliptischen Integral 1. und 2. Art dar. Das Ergebnis ist hier mit der Parameter-Konvention {\displaystyle E(m),\;K(m)} mit {\displaystyle m=k^{2}} angegeben. Zur numerischen Auswertung der angegebenen Funktion eignet sich besonders das weiter oben angegebene Bulirsch-Integral {\displaystyle \operatorname {cel} ()}. Der Vorteil ist eine höhere numerische Stabilität in der Umgebung \rho =0.

{\displaystyle {\boldsymbol {A}}(\rho ,z)={\boldsymbol {e}}_{\varphi }\cdot {\frac {\mu _{0}IR}{2\pi }}\cdot \int _{0}^{\pi }{\frac {\cos \psi \;{\text{d}}\psi }{\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}+R^{2}-2R\rho \cos \psi }}}={\boldsymbol {e}}_{\varphi }\cdot {\frac {\mu _{0}I}{2\pi }}\cdot {\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\rho ^{2}+R^{2}+z^{2}}{\sqrt {(\rho +R)^{2}+z^{2}}}}K\left({\frac {4R\rho }{(\rho +R)^{2}+z^{2}}}\right)-{\sqrt {(\rho +R)^{2}+z^{2}}}E\left({\frac {4R\rho }{(\rho +R)^{2}+z^{2}}}\right)\right)}
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 14.09. 2021