Numerische Integration

Numerische Integration sucht einfache Approximationen des Wertes

In der numerischen Mathematik bezeichnet numerische Integration (traditionell auch als numerische Quadratur bezeichnet) die näherungsweise Berechnung von Integralen. Oft kann man Integrale nicht geschlossen lösen, weil für den Integranden keine Stammfunktion angegeben werden kann oder er nur durch diskrete Werte, etwa Messungen, gegeben ist. Dann versucht man, Näherungswerte zu ermitteln.

Dazu wird das Integral einer Funktion über dem Intervall [a,b] dargestellt als Summe aus dem Wert Q(f) einer Quadraturformel und dem Fehler E(f) :

$\int_{a}^{b}f(x)\,dx= Q(f) + E(f)\,.$

Eine Quadraturformel besteht dabei im Allgemeinen aus einer gewichteten Summe von Funktionswerten

$Q(f) = (b-a)\sum_{i=0}^n w_i f(x_i).$

Die Stellen $x_0,\ldots, x_n$ heißen Stützstellen und die Zahlen $w_0,\ldots,w_n$ Gewichte. Es existieren verschiedene Ansätze, wie Stützstellen und Gewichte so gewählt werden können, dass der Quadraturfehler E(f) möglichst klein wird.

Eine Quadraturformel hat den Genauigkeitsgrad (oder auch Exaktheitsgrad) , wenn sie alle Polynome bis zum Höchstgrad exakt integriert, und die größtmögliche natürliche Zahl mit dieser Eigenschaft ist.

Ebenso wie das Integral sind Quadraturformeln lineare Operatoren.

Interpolatorische Quadraturformel

Eine wichtige Klasse von Quadraturformeln ergibt sich durch die Idee, die Funktion f(x) durch ein Interpolationspolynom p_n(x) vom Grad zu approximieren und dieses dann zu integrieren. Die Gewichte ergeben sich dann als die Integrale der Lagrange-Polynome zu den gegebenen Stützstellen. Nach Konstruktion haben diese Quadraturformeln mindestens den Genauigkeitsgrad . Die Quadraturformel lautet also

$\int_a^b f(x) dx \approx \int_a^b p_n(x) dx = (b-a) \sum_{i=0}^n w_i f(x_i)$

mit den Gewichten

$w_i = \frac{1}{(b-a)} \int_a^b L_{in}(x) dx$

und den Lagrangepolynomen

$L_{in}(x) = \frac{(x-x_0)\cdots(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\cdots(x-x_n)}{(x_i-x_0)\cdots(x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\cdots(x_i-x_n)}.$

Falls die Integrationsgrenzen Stützstellen sind, spricht man von abgeschlossenen Quadraturformeln, sonst von offenen. Werden die Stützstellen äquidistant gewählt, so ergeben sich unter anderen die Newton-Cotes-Formeln. Zu den abgeschlossenen Newton-Cotes-Formeln gehören die Sehnentrapezregel und die Simpson-Regel, zu den offenen gehört die Tangententrapezregel. Die Newton-Cotes-Formeln für gerades haben sogar den Genauigkeitsgrad n+1 . Zu den offenen Quadraturformeln gehören auch die Gauß-Quadraturformeln.

Fehlerabschätzung

Mit [c,d] sei das kleinste Intervall bezeichnet, das die Stützstellen $x_{i}$ und das Intervall [a,b] enthält. Ferner sei (n+1)-mal stetig differenzierbar auf [c,d] . Gemäß der Interpolationsgüte des Interpolationspolynoms gibt es ein $\xi(x) \in [c,d]$ , so dass gilt:

$f(x) - p_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi(x))}{(n+1)!} \prod_{i=0}^n (x-x_i).$

Durch Integration erhält man die Fehlerformel für die numerische Quadratur

$E(f) = \int_a^bf(x) dx - \int_a^bp_n(x) dx = \frac{1}{(n+1)!} \int_a^b f^{(n+1)}(\xi(x))\prod_{i=0}^n (x-x_i)dx.$

Falls $f^{(n+1)}(x)=0$ für alle $x \in [c,d]$ gilt, ist der Quadraturfehler gleich 0. Da das für alle Polynome bis zum Grad der Fall ist, ist der Genauigkeitsgrad dieser Quadraturformeln mindestens .

Aus dieser Fehlerformel folgt die Fehlerabschätzung

$\left| E(f) \right| \le {1 \over (n+1)!}\ \max_{c\le x \le d} {\left| f^{(n+1)}(x) \right|} \int_a^b \left|\prod_{i=0}^n (x-x_i)\right|dx.$

Falls die Funktion $\prod_{i=0}^n (x-x_i)$ im Intervall [a,b] ihr Vorzeichen nicht wechselt, d.h. wenn keine Stützstelle im Intervall (a,b) liegt, kann man mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Integralrechnung folgende Darstellung für das Restglied herleiten:

$E(f) = \frac{f^{(n+1)}(\zeta)}{(n+1)!} \int_a^b \prod_{i=0}^n (x-x_i)dx.$

mit einer Zwischenstelle $\zeta\in[c,d].$

Ähnliche Formeln für den Quadraturfehler erhält man auch bei speziellen Verteilungen der Stützstellen im Intervall [a,b] , etwa für die Newton-Cotes-Formeln oder die Gauß-Quadraturformeln.

Ist die Funktion nur stetig, so gelten obige Aussagen nicht, der Fehler kann sehr groß werden.

Weitere Quadraturformeln

Der Versuch, die Fehlerordnung der Quadraturformel zu minimieren, führt auf die Gauß-Quadratur. Diese nutzen die Theorie orthogonaler Polynome, um Formeln zu erhalten, die den Genauigkeitsgrad haben, wobei die Anzahl der genutzten Funktionsauswertungen ist.

Um die Anzahl der Funktionsauswertungen zu minimieren, bei gleichzeitiger Möglichkeit den Fehler zu kontrollieren, verwendet man oft das Rombergsche Extrapolationsverfahren. Hierbei werden die Integralwerte von immer kleiner werdenden 'Streifen' zu einer verschwindenden Streifenbreite hin extrapoliert.

Summierte Quadraturformeln

Um das Integral noch besser annähern zu können, unterteilt man das Intervall [a,b] in nebeneinanderliegende Teilintervalle. Die Teilintervalle müssen nicht die gleiche Länge haben. In jedem Teilintervall wendet man im Folgenden die gleiche Näherung für die einzelnen Flächen an und addiert danach die entstandenen Näherungen. Von besonderem Interesse sind adaptive Formeln, die keine weitere Unterteilung eines Intervalls vornehmen, wenn der in dem Intervall geschätzte Fehler unterhalb einer Schranke liegt.

Monte-Carlo-Integration

Ein Verfahren, das nicht versucht, eine Näherungsformel für die zu integrierende Funktion heranzuziehen, ist die Monte-Carlo-Integration. Anschaulich gesagt wird hierbei das Integral dadurch bestimmt, dass zufällige Punkte $x_{1},\dots ,x_{n}$ im Integrationsintervall [a,b] (horizontal) erzeugt werden. Dann ergibt sich eine Näherung des Integrals als Durchschnitt der Funktionswerte dieser Stellen

$S_n(f)=\frac {b-a}n \sum_{i=1}^n f(x_i).$

Der Vorteil ist die vergleichsweise einfache Implementierung sowie die relativ einfache Erweiterbarkeit auf Vielfachintegrale. Der Rechenaufwand ist etwas höher im Vergleich zu Quadrationsformeln.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de