Orthogonale Polynome

Unter orthogonalen Polynomen versteht man in der Mathematik eine unendliche Folge von Polynomen

P_{0}(x),P_{1}(x),P_{2}(x),\dots

in einer Unbekannten x, so dass P_n(x) den Grad n hat, die orthogonal bezüglich eines L^{2} Skalarproduktes sind.

Definition

Sei \mu ein Borel-Maß auf \mathbb {R} und betrachte man den Hilbertraum L^{2}({\mathbb  {R}},d\mu ) der bezüglich \mu quadratintegrierbaren Funktionen mit dem Skalarprodukt

\langle f,g\rangle =\int _{{{\mathbb  {R}}}}\overline {f(x)}g(x)d\mu (x).

Weiter sei \textstyle \int _{{{\mathbb  {R}}}}|x|^{n}d\mu (x)<\infty für alle n\in \mathbb {N} . Das ist zum Beispiel der Fall, wenn das Maß kompakten Träger besitzt. Insbesondere ist das Maß endlich und man kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit \mu ({\mathbb  {R}})=1 fordern. Im einfachsten Fall ist das Maß durch eine nicht-negative Gewichtsfunktion w(x) gegeben: d\mu (x)=w(x)dx.

Eine Folge von Polynomen P_{n}, n\in \mathbb {N} _{0}, heißt Folge orthogonaler Polynome, falls P_n(x) Grad n hat und verschiedene Polynome paarweise orthogonal sind:

\langle P_{m},P_{n}\rangle =0,\qquad m\neq n.

Konstruktion

Ist das Maß gegeben, so können die zugehörigen Polynome eindeutig mit Hilfe des Gram-Schmidt'schen Orthogonalisierungsverfahren aus den Monomen x^{n}, n\in \mathbb {N} _{0}, konstruiert werden. Dafür genügt es offensichtlich, die Momente

m_{n}=\int _{{{\mathbb  {R}}}}x^{n}d\mu (x)

zu kennen. Die Umkehrung ist als Stieltjes'sches Momentenproblem bekannt.

Normierung

Es sind verschiedene Möglichkeiten der Normierung in Verwendung. Um diese zu beschreiben, führen wir folgende Konstanten ein:

h_{n}=\langle P_{n},P_{n}\rangle =\int _{{{\mathbb  {R}}}}P_{n}(x)^{2}d\mu (x),\qquad {\tilde  {h}}_{n}=\langle P_{n}(x),x\,P_{n}(x)\rangle =\int _{{{\mathbb  {R}}}}x\,P_{n}(x)^{2}d\mu (x)

und

P_{n}(x)=k_{n}x^{n}+{\tilde  {k}}_{n}x^{{n-1}}+{\tilde  {{\tilde  {k}}}}_{n}x^{{n-2}}+\cdots .

Dann bezeichnet man die Polynome als orthonormal, falls h_{n}=1, und als monisch, falls k_{n}=1.

Rekursionsrelation

Orthogonale Polynome erfüllen eine dreistufige Rekursionsrelation

P_{{n+1}}(x)=(A_{n}x+B_{n})P_{n}(x)-C_{n}P_{{n-1}}(x)

(wobei P_{{-1}}(x)=0 im Fall n=0 zu setzen ist) mit

A_{n}={\frac  {k_{{n+1}}}{k_{{n}}}},\quad B_{n}=\left({\frac  {{\tilde  {k}}_{{n+1}}}{k_{{n+1}}}}-{\frac  {{\tilde  {k}}_{n}}{k_{n}}}\right)A_{n}=-{\frac  {{\tilde  {h}}_{n}}{h_{n}}}A_{n},\quad C_{n}={\frac  {A_{n}{\tilde  {{\tilde  {k}}}}_{n}+B_{n}{\tilde  {k}}_{n}-{\tilde  {{\tilde  {k}}}}_{{n+1}}}{k_{{n-1}}}}={\frac  {A_{n}}{A_{{n-1}}}}{\frac  {h_{n}}{h_{{n-1}}}},

und den Konstanten h_{n},k_{n},{\tilde  {k}}_{n},{\tilde  {{\tilde  {k}}}}_{n} aus dem vorherigen Abschnitt.

Die Rekursionsrelation kann auch äquivalent in der Form

a_{n}P_{{n+1}}(x)+b_{n}P_{n}(x)+c_{n}P_{{n-1}}(x)=x\,P_{n}(x)

mit

a_{n}={\frac  {k_{n}}{k_{{n+1}}}},\quad b_{n}={\frac  {{\tilde  {k}}_{n}}{k_{n}}}-{\frac  {{\tilde  {k}}_{{n+1}}}{k_{{n+1}}}}={\frac  {{\tilde  {h}}_{n}}{h_{n}}},\quad c_{n}={\frac  {{\tilde  {{\tilde  {k}}}}_{n}-a_{n}{\tilde  {{\tilde  {k}}}}_{{n+1}}-b_{n}{\tilde  {k}}_{n}}{k_{{n-1}}}}=a_{{n-1}}{\frac  {h_{n}}{h_{{n-1}}}},

geschrieben werden.

Speziell im Fall von orthonormalen Poynomen, h_{n}=1, erhält man eine symmetrische Rekursionsrelation c_{n}=a_{{n-1}} und die orthonormalen Polynome erfüllen genau die verallgemeinerte Eigenvektorgleichung des zugehörigen Jacobi-Operators. Das Maß d\mu ist das Spektralmaß des Jacobi-Operators zum ersten Basisvektor \delta _{{1,n}}.

Christoffel–Darboux-Formel

Es gilt

\sum _{{m=0}}^{n}{\frac  {P_{m}(x)P_{m}(y)}{h_{m}}}={\frac  {k_{n}}{h_{n}k_{{n+1}}}}{\frac  {P_{{n+1}}(x)P_{n}(y)-P_{n}(x)P_{{n+1}}(y)}{x-y}}

und im Fall x=y erhält man durch Grenzwertbildung

\sum _{{m=0}}^{n}{\frac  {P_{m}(x)^{2}}{h_{m}}}={\frac  {k_{n}}{h_{n}k_{{n+1}}}}{\left(P_{{n+1}}'(x)P_{n}(x)-P_{n}'(x)P_{{n+1}}(x)\right)}.

Nullstellen

Das Polynom P_{n} hat genau n Nullstellen, die alle einfach sind und im Träger des Maßes liegen. Die Nullstellen von P_{n} liegen strikt zwischen den Nullstellen von P_{{n+1}}.

Liste von Folgen orthogonaler Polynome

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 26.02. 2021