Laguerre-Polynome

Laguerre-Polynome (benannt nach Edmond Laguerre) sind spezielle Polynome, die auf dem Intervall [0,\infty ] ein orthogonales Funktionensystem bilden. Sie sind die Lösungen der laguerreschen Differentialgleichung. Eine wichtige Rolle spielen die Laguerre-Polynome in der theoretischen Physik, insbesondere in der Quantenmechanik.

Differentialgleichung und Polynome

Laguerresche Differentialgleichung

Die laguerresche Differentialgleichung

{\displaystyle x\,y''(x)+(1-x)\,y'(x)+n\,y(x)=0},

ist eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung für x>0 und n=0,1,2,\ldots

Sie ist ein Spezialfall der Sturm-Liouville-Differentialgleichung

{\displaystyle -\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)=ny}

Erste Polynome

Die ersten fünf Laguerre-Polynome

Die ersten fünf Laguerre-Polynome lauten

{\displaystyle {\begin{aligned}L_{0}(x)&=1\\L_{1}(x)&=-x+1\\L_{2}(x)&={\tfrac {1}{2}}(x^{2}-4x+2)\\L_{3}(x)&={\tfrac {1}{6}}(-x^{3}+9x^{2}-18x+6)\\L_{4}(x)&={\tfrac {1}{24}}(x^{4}-16x^{3}+72x^{2}-96x+24)\end{aligned}}}

In der Physik wird üblicherweise eine Definition verwendet, nach der die Laguerre-Polynome um einen Faktor n! größer sind.

Eigenschaften

Rekursionsformeln

Das Laguerre-Polynom {\displaystyle L_{n+1}(x)} lässt sich mit den ersten beiden Polynomen

{\displaystyle L_{0}(x)=1}
{\displaystyle L_{1}(x)=1-x}

über die folgende Rekursionsformel berechnen

{\displaystyle (n+1)L_{n+1}(x)={\big (}(2n+1-x)L_{n}(x)-nL_{n-1}(x){\big )}.}

Des Weiteren gelten folgende Rekursionsformeln:

{\displaystyle L_{n}'(x)=L_{n-1}'(x)-L_{n-1}(x)},
{\displaystyle (x-n-1)L_{n}'(x)=-(n+1)L_{n+1}'(x)-(2n+2-x)L_{n}(x)+(n+1)L_{n+1}(x)},
{\displaystyle xL_{n}'(x)=nL_{n}(x)-nL_{n-1}(x)}.

Eine explizite Formel für die Laguerre-Polynome lautet

{\displaystyle L_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k}}.
Beispiel
 

Es wird das Polynom {\displaystyle L_{3}(x)} für n=2 berechnet. Also

{\displaystyle L_{3}(x)={\tfrac {1}{3}}{\big (}(4+1-x)L_{2}(x)-2L_{1}(x){\big )}}.

Um dieses Polynom zu erhalten, ist es notwendig, das Polynom L_{2}(x) für n=1 zu bestimmen. Es ergibt sich

{\displaystyle L_{2}(x)={\tfrac {1}{2}}{\big (}(2+1-x)L_{1}(x)-1L_{0}(x){\big )}={\tfrac {1}{2}}{\big (}(3-x)(1-x)-1{\big )}={\tfrac {1}{2}}(3-4x+x^{2}-1)={\tfrac {1}{2}}{\big (}2-4x+x^{2}{\big )}}

Somit lautet das Polynom {\displaystyle L_{3}(x)}

{\displaystyle {\begin{aligned}L_{3}(x)&={\tfrac {1}{3}}{\big (}(4+1-x){\tfrac {1}{2}}(2-4x+x^{2})-2(1-x){\big )}={\tfrac {1}{6}}{\big (}(5-x)(2-4x+x^{2})-4+4x{\big )}\\&={\tfrac {1}{6}}(10-20x+5x^{2}-2x+4x^{2}-x^{3}-4+4x)={\tfrac {1}{6}}(6-18x+9x^{2}-x^{3}).\end{aligned}}}

Rodrigues-Formel

Das n-te Laguerre-Polynom lässt sich mit der Rodrigues-Formel wie folgt darstellen

{\displaystyle L_{n}(x)={\frac {\mathrm {e} ^{x}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}{\bigg (}x^{n}\mathrm {e} ^{-x}{\bigg )}}

und

{\displaystyle L_{n}(x)={\frac {1}{n!}}{\bigg (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}-1{\bigg )}^{n}x^{n}.}

Aus der ersten Gleichung berechnet sich das Laguerre-Polynom mit der Produktregel für höhere Ableitungen und den Identitäten {\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}{\big (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\big )}={\big (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\big )}^{(n)}}, {\displaystyle \left(\mathrm {e} ^{-x}\right)^{(k)}=(-1)^{k}\mathrm {e} ^{-x}} sowie {\displaystyle {\big (}x^{n}{\big )}^{(n-k)}={\tfrac {n!}{k!}}x^{k}} gemäß

{\displaystyle {\begin{aligned}L_{n}(x)&={\frac {\mathrm {e} ^{x}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}={\frac {\mathrm {e} ^{x}}{n!}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}^{(n)}={\frac {\mathrm {e} ^{x}}{n!}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\big (}\mathrm {e} ^{-x}{\big )}^{(k)}{\big (}x^{n}{\big )}^{(n-k)}\\\\&={\frac {\mathrm {e} ^{x}}{n!}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{k}\mathrm {e} ^{-x}{\frac {n!}{k!}}x^{k}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k}.\end{aligned}}}

Aus der zweiten Gleichung ergibt sich das Laguerre-Polynom mit dem binomischen Lehrsatz und der Identität {\displaystyle {\big (}{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\big )}^{(n-k)}x^{n}={\big (}x^{n}{\big )}^{(n-k)}={\tfrac {n!}{k!}}x^{k}} wie folgt

{\displaystyle {\begin{aligned}L_{n}(x)&={\frac {1}{n!}}{\bigg (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}-1{\bigg )}^{n}x^{n}={\frac {1}{n!}}{\bigg (}-1+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg )}^{n}x^{n}={\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{k}{\bigg (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg )}^{(n-k)}x^{n}\\\\&={\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{k}{\big (}x^{n}{\big )}^{(n-k)}={\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{k}{\frac {n!}{k!}}x^{k}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k}.\end{aligned}}}

Orthogonale Polynome

Da die Laguerre-Polynome für n\to \infty und/oder x\to \infty divergent sind, bilden sie keinen Prähilbertraum und keinen Hilbertraum. Deshalb wird eine Gewichtsfunktion eingeführt welche die Lösung der Differentialgleichung ungeändert lässt und welche dafür sorgt, dass die Laguerre-Polynome quadratintegrierbar werden. Unter diesen Voraussetzungen bilden die Eigenfunktionen L_{n} eine Orthonormalbasis im Hilbertraum {\displaystyle L^{2}([0,\infty ],w(x)\mathrm {d} x)} der quadratintegrierbaren Funktionen mit der Gewichtsfunktion {\displaystyle w(x)=\mathrm {e} ^{-x}}. Demzufolge gilt

{\displaystyle \langle L_{n},L_{m}\rangle =\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}L_{n}(x)L_{m}(x)\mathrm {d} x=\delta _{nm}.}

Hierbei bedeutet \delta_{nm} das Kronecker-Delta.

Beweis
 

Teil 1: Zunächst wird gezeigt, dass die Laguerre-Polynome mit dem Gewicht {\displaystyle w(x)=\mathrm {e} ^{-x}} orthogonal sind, für n\neq m gilt demnach {\displaystyle \langle L_{n},L_{m}\rangle =\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}L_{n}(x)L_{m}(x)\mathrm {d} x=0.}

Mit dem Sturm-Liouville-Operator {\displaystyle \textstyle {\mathcal {L}}=-\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)} ergeben sich für die Laguerre-Polynome {\displaystyle L_{n},L_{m}} folgende Ausgangsgleichungen:

(1) {\displaystyle \quad {\mathcal {L}}L_{n}=-\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}{\frac {\mathrm {d} L_{n}}{\mathrm {d} x}}\right)=nL_{n}}

und

(2) {\displaystyle \quad {\mathcal {L}}L_{m}=-\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}{\frac {\mathrm {d} L_{m}}{\mathrm {d} x}}\right)=mL_{m}}.

Wird Gleichung (1) von links mit L_{m} multipliziert und von Gleichung (2), welche ebenfalls von links mit L_{n} multipliziert wird, subtrahiert, so ergeben sich die beiden Gleichungen:

(3) {\displaystyle \quad L_{n}{\mathcal {L}}L_{m}-L_{m}{\mathcal {L}}L_{n}=-L_{n}\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}{\frac {\mathrm {d} L_{m}}{\mathrm {d} x}}\right)+L_{m}\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}{\frac {\mathrm {d} L_{n}}{\mathrm {d} x}}\right)}

und

(4) {\displaystyle \quad L_{n}{\mathcal {L}}L_{m}-L_{m}{\mathcal {L}}L_{n}=(m-n)L_{m}L_{n}}.

Zunächst wird Gleichung (3) zusammengefasst. Mit der Produktregel für Ableitungen, der Term {\displaystyle \textstyle -\mathrm {e} ^{x}} bleibt hierbei unberücksichtigt, ergeben sich folgende Darstellungen

{\displaystyle \textstyle L_{n}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}{\frac {\mathrm {d} L_{m}}{\mathrm {d} x}}\right)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}L_{n}{\frac {\mathrm {d} L_{m}}{\mathrm {d} x}}\right)-\left(x{\mathrm {e} }^{-x}{\frac {\mathrm {d} L_{m}}{\mathrm {d} x}}\right){\frac {\mathrm {d} L_{n}}{\mathrm {d} x}}}

und

{\displaystyle \textstyle L_{m}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}{\frac {\mathrm {d} L_{n}}{\mathrm {d} x}}\right)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}L_{m}{\frac {\mathrm {d} L_{n}}{\mathrm {d} x}}\right)-\left(x{\mathrm {e} }^{-x}{\frac {\mathrm {d} L_{n}}{\mathrm {d} x}}\right){\frac {\mathrm {d} L_{m}}{\mathrm {d} x}}}.

Auf diese Weise wird erkennbar, dass der zweite Term in beiden Ableitungen gleich ist und bei der Differenzenbildung verschwindet, also:

(5) {\displaystyle {\begin{aligned}\quad L_{n}{\mathcal {L}}L_{m}-L_{m}{\mathcal {L}}L_{n}&=-\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}L_{n}{\frac {\mathrm {d} L_{m}}{\mathrm {d} x}}\right)+\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}L_{m}{\frac {\mathrm {d} L_{n}}{\mathrm {d} x}}\right)\\\\&=-\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg (}x{\mathrm {e} }^{-x}\left(L_{n}{\frac {\mathrm {d} L_{m}}{\mathrm {d} x}}-L_{m}{\frac {\mathrm {d} L_{n}}{\mathrm {d} x}}\right){\bigg )}\\\\&=-\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg (}x{\mathrm {e} }^{-x}W(L_{n},L_{m}){\bigg )},\\\end{aligned}}}

wobei {\displaystyle W(L_{n},L_{m})=\left|{\begin{smallmatrix}L_{n}&L_{m}\\L_{n}'&L_{m}'\end{smallmatrix}}\right|} die Wronski-Determinante der Funktionen {\displaystyle L_{n},L_{m}} bedeutet.

Zur Berechnung der Wronski-Determinante mittels der Abelschen Identität wird die Differentialgleichung
{\displaystyle \textstyle {\mathcal {L}}y=-\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x\mathrm {e} ^{-x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)y=-xy''-\mathrm {e} ^{x}{\big (}x\mathrm {e} ^{-x}{\big )}'y'=-xy''-{\big (}1-x{\big )}y'=0} oder {\displaystyle \textstyle y''+{\frac {1-x}{x}}y'=0} betrachtet, so dass eine hebbare Singularität bei x=0 entsteht. Die Koeffizientenmatrix des Fundamentalsystems lautet dann {\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0&1\\0&-{\tfrac {1-x}{x}}\end{smallmatrix}}\right)} und deren Spur ist {\displaystyle \mathrm {Spur} {\Bigg (}\left({\begin{smallmatrix}0&1\\0&-{\tfrac {1-x}{x}}\end{smallmatrix}}\right){\Bigg )}=-{\frac {1-x}{x}}}. Somit lautet die Abelsche Identität:

{\displaystyle W(L_{n},L_{m})(x)=W(L_{n},L_{m})(0)\exp \left(\int _{0}^{x}{\bigg (}1-{\frac {1}{\xi }}{\bigg )}\mathrm {d} \xi \right)}.

Da L_{n} und L_{m} linear unabhängig sind, ist {\displaystyle W(L_{n},L_{m})(0)>0} – bei genauer Betrachtung ist {\displaystyle W(L_{n},L_{m})(0)=1} – und es ergibt sich folgendes Resultat:

{\displaystyle {\begin{aligned}W(L_{n},L_{m})(x)&=W(L_{n},L_{m})(0)\exp \left(\int _{0}^{x}{\bigg (}1-{\frac {1}{\xi }}{\bigg )}\mathrm {d} \xi \right)=W(L_{n},L_{m})(0)\exp {\Bigg (}{\bigg [}\xi -\ln \xi {\bigg ]}_{0}^{x}{\Bigg )}\\&=\lim _{\xi \to x}W(L_{n},L_{m})(0)\exp {\Big (}\xi -\ln \xi {\Big )}-\lim _{\xi \to 0}W(L_{n},L_{m})(0)\exp {\Big (}\xi -\ln \xi {\Big )}\\&=\lim _{\xi \to x}W(L_{n},L_{m})(0){\frac {\exp(\xi )}{\exp(\ln \xi )}}-\lim _{\xi \to 0}W(L_{n},L_{m})(0){\frac {\exp(\xi )}{\exp(\ln \xi )}}\\&=\lim _{\xi \to x}W(L_{n},L_{m})(0){\frac {\mathrm {e} ^{\xi }}{\xi }}+\lim _{\xi \to 0}W(L_{n},L_{m})(0){\frac {\mathrm {e} ^{\xi }}{\xi }}\\&=W(L_{n},L_{m})(0){\frac {\mathrm {e} ^{x}}{x}}+\lim _{\xi \to 0}W(L_{n},L_{m})(0){\frac {\mathrm {e} ^{\xi }}{\xi }}+C.\end{aligned}}}

Die Integrationskonstante wird {\displaystyle C=-\lim _{\xi \to 0}W(L_{n},L_{m})(0){\frac {\mathrm {e} ^{\xi }}{\xi }}} gewählt und Gleichung (5) wird mit {\displaystyle \mathrm {e} ^{-x}} multipliziert, so dass folgt:

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {e} ^{-x}{\big (}L_{n}{\mathcal {L}}L_{m}-L_{m}{\mathcal {L}}L_{n}{\big )}&=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg (}x{\mathrm {e} }^{-x}W(L_{n},L_{m})(0){\frac {\mathrm {e} ^{x}}{x}}{\bigg )}\\&=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg (}W(L_{n},L_{m})(0){\bigg )}\end{aligned}}}

Nach Umformen und Trennung der Variablen lautet die Gleichung nun:

{\displaystyle -\mathrm {e} ^{-x}{\big (}L_{n}{\mathcal {L}}L_{m}-L_{m}{\mathcal {L}}L_{n}{\big )}\mathrm {d} x=\mathrm {d} {\bigg (}W(L_{n},L_{m})(0){\bigg )}}

Auf beiden Seiten der Gleichung stehen nun eindimensionale Pfaffsche Formen und da {\displaystyle W(L_{n},L_{m})(0)} eine konstante Funktion ist, gilt {\displaystyle \mathrm {d} {\Big (}W(L_{n},L_{m})(0){\Big )}=0}. Für die Berechnung der verbleibenden Pfaffschen Form ist eine geeignete Parametrisierung {\displaystyle \varphi (t)=t,\varphi (t_{0})=0,\varphi (t_{1})=\infty ,{\dot {\varphi }}(t)=1} zu wählen. Das Integral lautet nun:

{\displaystyle \int _{\varphi }\omega =\int _{0}^{\infty }\omega _{\varphi (t)}({\dot {\varphi }}(t))\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\infty }w{\Big (}L_{n}{\mathcal {L}}L_{m}-L_{m}{\mathcal {L}}L_{n}{\Big )}\mathrm {d} t=0}.[1]

Demnach verschwindet das Integral längs dem Intervall [0,\infty ], so dass unter Verwendung von Gleichung (4) gilt:

{\displaystyle 0=(m-n)\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}L_{m}L_{n}\mathrm {d} t}

Diese Bedingung kann nur erfüllt werden, wenn:

{\displaystyle \langle L_{n},L_{m}\rangle =\langle L_{m},L_{n}\rangle =0}.


Teil 2: Im Folgenden wird gezeigt, dass die Laguerre-Polynome mit dem Gewicht {\displaystyle w(x)=\mathrm {e} ^{-x}} beschränkt sind,[2] für n=m gilt demnach {\displaystyle \langle L_{n},L_{m}\rangle =\int \mathrm {e} ^{-x}L_{n}(x)L_{m}(x)\mathrm {d} x=1}, oder abkürzend {\displaystyle \langle L_{n},L_{n}\rangle =1}.

Für den Beweis wird einerseits die Reihendarstellung {\displaystyle L_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k}} und anderseits die Rodrigues-Formel {\displaystyle L_{n}(x)={\frac {\mathrm {e} ^{x}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}} benutzt. Es gilt:

{\displaystyle \langle L_{n},L_{n}\rangle =\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k}{\frac {\mathrm {e} ^{x}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}\mathrm {d} x=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\int _{0}^{\infty }x^{k}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}\mathrm {d} x}.

Für n=0 mit {\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} ^{n=0}}{\mathrm {d} x^{n=0}}}{\big (}\mathrm {e} ^{-x}x^{0}{\big )}=\mathrm {e} ^{-x}x^{0}} ergibt sich:

{\displaystyle \langle L_{n},L_{n}\rangle =\int _{0}^{\infty }x^{0}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{0}{\bigg )}\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}\mathrm {d} x=-{\bigg [}\mathrm {e} ^{-x}{\bigg ]}_{0}^{\infty }=1}.

Wird nun für n>0 das Laguerre-Polynom zerlegt, so folgt:

{\displaystyle \langle L_{n},L_{n}\rangle =\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\int _{0}^{\infty }x^{k}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}\mathrm {d} x+{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\int _{0}^{\infty }x^{n}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}\mathrm {d} x.}

Durch diese Zerlegung wird der Grad des Polynoms in der Summe um 1 reduziert und in der Folge gilt {\displaystyle \langle L_{(n-1)},L_{n}\rangle =0}, wie in Teil 1 gezeigt. Es verbleibt somit lediglich der zweite Term, der mit partieller Integration berechnet wird, also:

{\displaystyle {\begin{aligned}\langle L_{n},L_{n}\rangle &={\frac {(-1)^{n}}{n!}}\int _{0}^{\infty }x^{n}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}\mathrm {d} x\\&={\frac {(-1)^{n}}{n!}}{\bigg [}x^{n}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{(n-1)}}{\mathrm {d} x^{(n-1)}}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}{\bigg ]}_{0}^{\infty }-n{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\int _{0}^{\infty }x^{(n-1)}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{(n-1)}}{\mathrm {d} x^{(n-1)}}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}\mathrm {d} x\end{aligned}}}

Die Stammfunktion wurde mithilfe der Produktregel berechnet und es ergibt sich im Grenzwert {\displaystyle \textstyle \lim _{x\to 0}x^{n}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{(n-1)}}{\mathrm {d} x^{(n-1)}}}{\big (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\big )}=\sum _{k=0}^{n-1}\lim _{x\to 0}x^{n}{\frac {1}{n!}}{\binom {n}{k}}{\big (}\mathrm {e} ^{-x}{\big )}^{k}{\big (}x^{n}{\big )}^{(n-k)}=0}. Dasselbe Resultat wird im Grenzwert {\displaystyle \textstyle \lim _{x\to \infty }} erhalten. Da dieses Ergebnis für alle n partiellen Integrationen gilt, folgt:

{\displaystyle {\begin{aligned}\langle L_{n},L_{n}\rangle &=(-1)^{1}n{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\int _{0}^{\infty }x^{(n-1)}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{(n-1)}}{\mathrm {d} x^{(n-1)}}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}\mathrm {d} x\\&=(-1)^{2}n(n-1){\frac {(-1)^{n}}{n!}}\int _{0}^{\infty }x^{(n-2)}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{(n-2)}}{\mathrm {d} x^{(n-2)}}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}\mathrm {d} x\\&\;\;\vdots \\&=(-1)^{n}n!{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\int _{0}^{\infty }x^{(n-n)}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{(n-n)}}{\mathrm {d} x^{(n-n)}}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}\mathrm {d} x\\&={\frac {(-1)^{2n}}{n!}}\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n}\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{n!}}\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n}\mathrm {d} x\end{aligned}}}

Mittels weiterer n-facher partieller Integration oder Integrationstabelle folgt {\displaystyle \textstyle \int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n}\mathrm {d} x=n!} und somit:

{\displaystyle \langle L_{n},L_{n}\rangle =1}.

Aus Teil 1 und Teil 2 ergibt sich:

{\displaystyle \langle L_{n},L_{m}\rangle =\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}L_{n}(x)L_{m}(x)\mathrm {d} x=\delta _{nm}.}

Erzeugende Funktion

Eine erzeugende Funktion für das Laguerre-Polynom lautet

{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }L_{n}(x)\,t^{n}={\frac {1}{1-t}}e^{-{\frac {tx}{1-t}}}}

Zugeordnete Laguerre-Polynome

Einige zugeordnete Laguerre-Polynome

Die zugeordneten (verallgemeinerten) Laguerre-Polynome hängen mit den gewöhnlichen Laguerre-Polynomen über

{\displaystyle L_{n}^{k}(x)=(-1)^{k}\,{\frac {{\rm {d}}^{k}}{{\rm {d}}x^{k}}}\,L_{n+k}(x)\qquad k=0,1,\dotsc }

zusammen. Ihre Rodrigues-Formel lautet

L_{n}^{k}(x)={\frac  {{\mathrm  {e}}^{x}\,x^{{-k}}}{n!}}\,{\frac  {{{\rm {d}}}^{n}}{{{\rm {d}}}x^{n}}}\,({\mathrm  {e}}^{{-x}}\,x^{{n+k}}).

Die zugeordneten Laguerre-Polynome erfüllen die zugeordnete Laguerre-Gleichung

{\displaystyle x\,y''(x)+(k+1-x)\,y'(x)+n\,y(x)=0,\qquad n=0,1,\dotsc }

Die ersten zugeordneten Laguerre-Polynome lauten:

L_{0}^{k}(x)=1
L_{1}^{k}(x)=-x+k+1
L_{2}^{k}(x)={\frac  {1}{2}}\,\left[x^{2}-2\,(k+2)\,x+(k+1)(k+2)\right]
{\displaystyle L_{3}^{k}(x)={\frac {1}{6}}\,\left[-x^{3}+3\,(k+3)\,x^{2}-3\,(k+2)\,(k+3)\,x+(k+1)\,(k+2)\,(k+3)\right]}

Zur Berechnung lässt sich die Rekursionsformel

{\displaystyle (n+1)L_{n+1}^{k}(x)=(2n+1+k-x)L_{n}^{k}(x)-(n+k)L_{n-1}^{k}(x)}

verwenden.

Der Sturm-Liouville-Operator lautet

{\displaystyle {\mathcal {L}}=-\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x^{k+1}\mathrm {e} ^{-x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)}

und mit der Gewichtsfunktion {\displaystyle \mathrm {e} ^{-x}} gilt:

{\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{k}L_{m}^{k}(x)L_{n}^{k}(x)\mathrm {d} x=0\qquad m\neq n}
{\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{k}\left(L_{n}^{k}(x)\right)^{2}\mathrm {d} x={\frac {\Gamma (n+k+1)}{n!}}\qquad n=0,1,\dotsc }

Zugeordnete Laguerre-Polynome lassen sich als Wegintegrale ausdrücken:

{\displaystyle L_{n}^{k}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{C}{\frac {\mathrm {e} ^{-{\frac {xt}{1-t}}}}{(1-t)^{k+1}\,t^{n+1}}}\;dt,}

Dabei ist C ein Weg, der den Ursprung einmal im Gegenuhrzeigersinn umrundet und die wesentliche Singularität bei 1 nicht einschließt.

Wasserstoffatom

Die Laguerre-Polynome haben eine Anwendung in der Quantenmechanik bei der Lösung der Schrödinger-Gleichung für das Wasserstoffatom bzw. im allgemeinen Fall für ein Coulomb-Potential. Mittels der zugeordneten Laguerre-Polynome lässt sich der Radialanteil der Wellenfunktion schreiben als

R_{{nl}}(r)=D_{{nl}}\,{\mathrm  {e}}^{{-\kappa \,r}}\,(2\,\kappa \,r)^{l}\,L_{{n-l-1}}^{{2\,l+1}}(2\,\kappa \,r)

(Normierungskonstante D_{{nl}}, charakteristische Länge \kappa , Hauptquantenzahl n, Bahndrehimpulsquantenzahl l). Die zugeordneten Laguerre-Polynome haben hier also eine entscheidende Rolle. Die normierte Gesamtwellenfunktion ist durch

{\displaystyle \Psi _{n,l,m}(r,\vartheta ,\varphi )={\sqrt {\frac {4\,(n-l-1)!}{(n+l)!\;n\,(na_{0}/Z)^{3}}}}\left[{\frac {2r}{na_{0}/Z}}\right]^{l}\exp {\left\{-{\frac {r}{na_{0}/Z}}\right\}}\;L_{n-l-1}^{2l+1}\left({\frac {2r}{na_{0}/Z}}\right)\;Y_{l,m}(\vartheta ,\varphi )}

gegeben, mit der Hauptquantenzahl n, der Bahndrehimpulsquantenzahl l, der magnetischen Quantenzahl m, dem bohrschen Radius a_{0} und der Kernladungszahl Z. Die Funktionen L_{n}^{l}(r) sind die zugeordneten Laguerre-Polynome, Y_{{l,m}}(\vartheta ,\varphi ) die Kugelflächenfunktionen.

Anmerkungen

  1. Wegen der linearen Parametrisierung kann o.B.d.A. das Differential {\displaystyle \mathrm {d} t=\mathrm {d} x} gewählt werden.
  2. In der Physik wird statt beschränkt üblicherweise der Begriff normiert verwendet.
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 25.03. 2021