Hermitesches Polynom

Plots der ersten fünf hermiteschen Polynome Hn

Die hermiteschen Polynome (nach Charles Hermite) sind Polynome mit folgenden äquivalenten Darstellungen:

H_n(x)=(-1)^n e^{x^2} \frac{\mathrm d^n}{\mathrm{d}x^n} e^{-x^2}\,,

bzw. H_n(x) = e^{x^2/2} \, \left(x - \frac{\mathrm d}{\mathrm{d}x}\right)^n \, e^{-x^2/2}\,.

Die hermiteschen Polynome (mit einem festen n) sind Lösungen der hermiteschen Differentialgleichung, einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung:

H_n''(x) - 2\,x\cdot H_n'(x) + 2\,n\cdot H_n(x)=0\qquad   (n=0,1,2,\dots).

Explizite Darstellung

Aus der ersten Darstellung erhält man mit der Formel von Faà di Bruno die explizite Darstellung

H_n(x)=(-1)^n \sum_{k_1+2k_2=n} \frac{n!}{k_1!k_2!} (-1)^{k_1+k_2} (2x)^{k_1}

also

H_0(x)=1
H_1(x)=2x
H_2(x)= (2x)^2 - 2 = 4x^2-2
H_3(x)= (2x)^3 - 6 (2x) = 8x^3-12x
H_4(x)= (2x)^4 - 12 (2x)^2 + 12 = 16x^4-48x^2+12

Hermitesche Polynome lassen sich durch folgende Rekursionsformeln berechnen (n \in \N_0, H_{-1}(x) := 0):

\qquad H_{n+1}(x) = 2\,x\, H_n(x) - 2\,n\,H_{n-1}(x)
\qquad H_n'(x) = 2\,n\,H_{n-1}(x)

Da bei jedem Iterationsschritt ein x hinzumultipliziert wird, sieht man schnell, dass H_n(x) ein Polynom von Grade n ist. Der Koeffizient der höchsten Potenz x^n ist 2^n. Für gerade n treten ausschließlich gerade Potenzen von x auf, entsprechend für ungerade n nur ungerade Potenzen, was sich mathematisch durch die Identität

H_n(-x) = (-1)^n \cdot H_n(x)

ausdrücken lässt.

Die rekursive Darstellung der o.g. Hermiteschen Polynome lässt sich durch die einfache Substitution n'=n+1 auch wie folgt schreiben:

H_{n}(x) = 2xH_{n-1}(x)-2(n-1)H_{n-2}(x) \,\,\,\,\,\quad\quad (n=1,2\ldots)

Orthogonalität

Die hermiteschen Polynome erfüllen bezüglich der Gewichtsfunktion e^{-x^2} die Orthogonalitätsrelation

\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \cdot H_n(x)\cdot H_m(x) \, dx=  2^n \cdot n! \cdot \sqrt{\pi} \cdot \delta_{nm}.

Das heißt, dass bestimmte reelle Funktionen nach den hermiteschen Polynomen in eine Reihe entwickelt werden können.

Andere Darstellung der hermiteschen Polynome

Plots der ersten fünf hermiteschen Polynome Hen (Physiker Konvention)

Eine andere Definitionsmöglichkeit der hermiteschen Polynome (Physiker Konvention) ist

He_n(x)= 2^{-n/2} H_n(x/\sqrt{2}) = (-1)^n e^{x^2/2} \frac{\mathrm d^n}{\mathrm{d}x^n} e^{-x^2/2}.

Sie sind bezüglich der Gewichtsfunktion e^{-x^2/2} orthogonal

\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2} \, He_n(x) \, He_m(x) \, dx = \sqrt{2\,\pi} \, n! \, \delta_{mn}

und erfüllen die Differentialgleichung

y'' - x\,y' + n\, y=0.

Sie lassen sich rekursiv durch

He_{n+1}(x) = x\,He_n(x) - n\,He_{n-1}(x)

bestimmen.

Binomischer Lehrsatz

Für die Hermiteschen Polynome gilt eine Formel, die eine ähnliche Gestalt hat wie der binomische Lehrsatz. Für a^2+b^2=1 ist

H_n(ax+by)=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^kb^{n-k}H_k(x)H_{n-k}(y).

Index mit negativem Wert

Die Ableitung der komplementären Fehlerfunktion 1 - \operatorname{erf}(x) = \operatorname{erfc}(x) ist

 \frac{\mathrm d}{\mathrm{d}x}\operatorname{erfc}(x)=-\frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}.

Damit kann die Darstellung der Hermiteschen Polynome auch folgendermaßen geschrieben werden:

H_n(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}(-1)^{(n+1)} e^{x^2} \frac{\mathrm d^{n+1}}{\mathrm{d}x^{n+1}} \operatorname{erfc}(x),

sodass man für n= -1 findet:

H_{-1}(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{x^2}  \operatorname{erfc}(x).

Die Funktionen höherer Indizes berechnen sich als:

H_{n-1}(x)=\frac{(-1)^{n}}{2^{-n}(-n)!} \frac{\mathrm d^{-n}}{\mathrm{d}x^{-n}} H_{-1}(x) oder rekursiv H_{n-1}(x)= \frac{1}{2n} H_{n}'(x) mit n=(-1,-2,-3,\dotsc).

Die so erhaltenen Funktionen genügen wie die Polynome mit positivem Index der hermiteschen Differentialgleichung.

Sie lauten:

H_{-1}(x)=\tfrac{1}{2} \sqrt{\pi}e^{x^2}  \operatorname{erfc}(x)
H_{-2}(x)=\tfrac{1}{2}(1- x \sqrt{\pi} e^{x^2}  \operatorname{erfc}(x))
H_{-3}(x)=\tfrac{1}{8}(-2x +(1+2x^2) \sqrt{\pi}e^{x^2}  \operatorname{erfc}(x))
\ldots

Anwendungen

Ihre Bedeutung erhalten die Hermite-Polynome durch ihre vielseitige Anwendbarkeit in der Physik. Zum Beispiel werden sie zur Konstruktion der orthonormierten Lösungsfunktionen des quantenmechanischen harmonischen Oszillators benötigt. Diese entsprechen den hermiteschen Funktionen, die man durch Multiplikation mit der gaußschen Normalverteilung und geeigneter Normierung erhält.

Eine weitere Anwendung finden sie in der Finite-Elemente-Methode als Formfunktionen.

Die Wahrscheinlichkeitsdichte der nicht-zentralen Studentschen t-Verteilung lässt sich ausdrücken mittels Hermitescher Polynomfunktionen, deren Index negative Werte hat.

Siehe auch

Formel von Faà di Bruno

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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 10.06. 2021