Jacobi-Polynom
Die Jacobi-Polynome (nach Carl Gustav Jacob Jacobi), auch hypergeometrische Polynome, sind eine Menge polynomieller Lösungen des Sturm-Liouville-Problems, die einen Satz orthogonaler Polynome bilden, und zwar auf dem Intervall bezüglich der Gewichtsfunktion mit . Sie haben die explizite Form
oder mit Hilfe der verallgemeinerten hypergeometrischen Funktion :
Rodrigues-Formel
Rekursionsformeln
Man kann die Jacobi-Polynome auch mit Hilfe einer Rekursionsformel bestimmen.
mit den Konstanten:
Eigenschaften
Der Wert für ist
- .
Es gilt die folgende Symmetriebeziehung
woraus sich der Wert für ergibt:
Sie erfüllen die Orthogonalitätsbedingung
Ableitungen
Aus der expliziten Form können die -ten Ableitungen abgelesen werden. Sie ergeben sich als:
Nullstellen
Die Eigenwerte der symmetrischen Tridiagonalmatrix
mit
stimmen mit den Nullstellen von überein. Somit bietet der QR-Algorithmus die Möglichkeit, die Nullstellen näherungsweise zu berechnen. Weiterhin kann man beweisen, dass sie einfach sind und im Intervall liegen.
Asymptotische Darstellung
Mit Hilfe der Landau-Symbole lässt sich folgende Formel aufstellen:
Erzeugende Funktion
Für alle gilt
Die Funktion
wird daher als erzeugende Funktion der Jacobi-Polynome bezeichnet.
Spezialfälle
Einige wichtige Polynome können als Spezialfälle der Jacobi-Polynome betrachtet werden:
- für : Legendre-Polynome
- Gegenbauer-Polynome
- Tschebyschow-Polynome erster und zweiter Ordnung
- der Radialterm der Zernike-Polynome
Literatur
- Eric W. Weisstein: Jacobi Polynomial. In: MathWorld (englisch).
- Sherwin Karniadakis: Spectral/hp Element Methods for CFD. 1. Auflage. Oxford University Press, New York 1999, ISBN 0-19-510226-6.
- I. S. Gradshteyn, I. M. Ryzhik: Table of Integrals, Series, and Products. 5. Auflage. Academic Press Inc., Boston, San Diego, New York, London, Sydney, Tokyo, Toronto 1994, ISBN 0-12-294755-X.
- Peter Junghanns: EAGLE-GUIDE Orthogonale Polynome. 1. Auflage. Books on Demand, Leipzig 2009, ISBN 3-937219-28-5.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 24.01. 2024