Jacobi-Polynom

Die Jacobi-Polynome (nach Carl Gustav Jacob Jacobi), auch hypergeometrische Polynome, sind eine Menge polynomieller Lösungen des Sturm-Liouville-Problems, die einen Satz orthogonaler Polynome bilden, und zwar auf dem Intervall [-1,1] bezüglich der Gewichtsfunktion (1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta } mit \alpha ,\beta >-1. Sie haben die explizite Form

P_{n}^{{(\alpha ,\beta )}}(x)={\frac  {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{{m=0}}^{n}{n \choose m}{\frac  {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac  {x-1}{2}}\right)^{m},

oder mit Hilfe der verallgemeinerten hypergeometrischen Funktion {}_{2}F_{1}:

P_{n}^{{(\alpha ,\beta )}}(x)={n+\alpha  \choose n}\,_{2}F_{1}\left(-n,1+n+\alpha +\beta ;\alpha +1;{\frac  {1-x}{2}}\right).

Rodrigues-Formel

P_{n}^{{(\alpha ,\beta )}}(x)={\frac  {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}(1-x)^{{-\alpha }}(1+x)^{{-\beta }}{\frac  {d^{n}}{dx^{n}}}\left[(1-x)^{{\alpha +n}}(1+x)^{{\beta +n}}\right],~~~\alpha ,\beta >-1

Rekursionsformeln

Man kann die Jacobi-Polynome auch mit Hilfe einer Rekursionsformel bestimmen.

P_{0}^{{(\alpha ,\beta )}}(x)=1
P_{1}^{{(\alpha ,\beta )}}(x)={\frac  {1}{2}}{\bigl (}\alpha -\beta +(\alpha +\beta +2)x{\bigr )}
a_{n}^{1}P_{{n+1}}^{{(\alpha ,\beta )}}(x)=(a_{n}^{2}+a_{n}^{3}x)P_{n}^{{(\alpha ,\beta )}}(x)-a_{n}^{4}P_{{n-1}}^{{(\alpha ,\beta )}}(x)

mit den Konstanten:

a_{n}^{1}=2(n+1)(n+\alpha +\beta +1)(2n+\alpha +\beta )
a_{n}^{2}=(2n+\alpha +\beta +1)(\alpha ^{2}-\beta ^{2})
a_{n}^{3}=(2n+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta +1)(2n+\alpha +\beta +2)
a_{n}^{4}=2(n+\alpha )(n+\beta )(2n+\alpha +\beta +2)

Eigenschaften

Der Wert für x=1 ist

P_{n}^{{(\alpha ,\beta )}}(1)={n+\alpha  \choose n}={\frac  {\Gamma (n+\alpha +1)}{\Gamma (\alpha +1)n!}}.

Es gilt die folgende Symmetriebeziehung

P_{n}^{{(\alpha ,\beta )}}(-x)=(-1)^{n}P_{n}^{{(\beta ,\alpha )}}(x)\,,

woraus sich der Wert für x=-1 ergibt:

P_{n}^{{(\alpha ,\beta )}}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta  \choose n}.

Sie erfüllen die Orthogonalitätsbedingung

\int _{{-1}}^{1}(1-x)^{{\alpha }}(1+x)^{{\beta }}P_{m}^{{(\alpha ,\beta )}}(x)P_{n}^{{(\alpha ,\beta )}}(x)\;dx={\frac  {2^{{\alpha +\beta +1}}}{2n+\alpha +\beta +1}}{\frac  {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)n!}}\delta _{{nm}}.

Ableitungen

Aus der expliziten Form können die k-ten Ableitungen abgelesen werden. Sie ergeben sich als:

{\frac  {{\mathrm  d}^{k}}{{\mathrm  d}x^{k}}}P_{n}^{{(\alpha ,\beta )}}(x)={\frac  {\Gamma (\alpha +\beta +n+1+k)}{2^{k}\;\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}P_{{n-k}}^{{(\alpha +k,\beta +k)}}(x).

Nullstellen

Die Eigenwerte der symmetrischen Tridiagonalmatrix

{\begin{pmatrix}a_{0}&b_{1}&0&\dots &0\\b_{1}&a_{1}&b_{2}&\ddots &\vdots \\0&b_{2}&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &b_{{n-1}}\\0&\dots &0&b_{{n-1}}&a_{{n-1}}\end{pmatrix}}

mit

a_{0}={\frac  {\beta -\alpha }{2+\alpha +\beta }}
a_{j}={\frac  {(\beta -\alpha )(\alpha +\beta )}{(2j+\alpha +\beta )(2j+2+\alpha +\beta )}},~~~j=1,\dots ,n-1
b_{j}={\sqrt  {{\frac  {4j(j+\alpha )(j+\beta )(j+\alpha +\beta )}{(2j-1+\alpha +\beta )(2j+\alpha +\beta )^{2}(2j+1+\alpha +\beta )}}}}

stimmen mit den Nullstellen von P_{n}^{{(\alpha ,\beta )}} überein. Somit bietet der QR-Algorithmus die Möglichkeit, die Nullstellen näherungsweise zu berechnen. Weiterhin kann man beweisen, dass sie einfach sind und im Intervall (-1,1) liegen.

Asymptotische Darstellung

Mit Hilfe der Landau-Symbole lässt sich folgende Formel aufstellen:

P_{n}^{{(\alpha ,\beta )}}(\cos \theta )={\frac  {\cos \left(\left[n+(\alpha +\beta +1)/2\right]\theta -\left[2\alpha +1\right]\pi /4\right)}{{\sqrt  {\pi n}}\left[\sin(\theta /2)\right]^{{\alpha +1/2}}\left[\cos(\theta /2)\right]^{{\beta +1/2}}}}+{\mathcal  {O}}\left(n^{{-3/2}}\right),~~~0<\theta <\pi .

Erzeugende Funktion

Für alle x\in {\mathbb  {R}},z\in {\mathbb  {C}},|z|<1 gilt

\sum _{{n=0}}^{\infty }P_{n}^{{(\alpha ,\beta )}}(x)z^{n}=2^{{\alpha +\beta }}[f(x,z)]^{{-1}}[1-z+f(x,z)]^{{-\alpha }}[1+z+f(x,z)]^{{-\beta }},~~~f(x,z)={\sqrt  {1-2xz+z^{2}}}.

Die Funktion

z\mapsto 2^{{\alpha +\beta }}[f(x,z)]^{{-1}}[1-z+f(x,z)]^{{-\alpha }}[1+z+f(x,z)]^{{-\beta }}

wird daher als erzeugende Funktion der Jacobi-Polynome bezeichnet.

Spezialfälle

Einige wichtige Polynome können als Spezialfälle der Jacobi-Polynome betrachtet werden:

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Extern Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 24.01. 2024